CHAPITRE V. LE IVe SIÈCLE APRES JÉSUS-CHRIST III
pirique de Nicomaque pour revenir au vieux système classique, dans lequel les nombres sont représentés par des lignes. Quand cela est nécessaire il fait une construction et la preuve qui en découle est rigoureusement déductive. Il peut être utile de faire remarquer que, dans cet ouvrage, quelques propositions d'Euclide, telles que les propositions 3 et 8 du livre II, sont appliquées aux nombres et non aux grandeurs.
Son Arithmétique constitue son principal ouvrage. C'est en réalité un traite d'algèbre, dans lequel il emploie les symboles algébriques et traite les problèmes par l'analyse.
Diophante suppose, comme on le fait dans presque toutes les algèbres modernes, que les raisonnements sont réversibles. Il applique cette algèbre à la recherebe des solutions de plusieurs problèmes sur les nombres. îsous nous proposons d'examiner successivement la notation usitée, les méthodes d'analyse employées et les matières faisant l'objet de l'ouvrage.
En premier lieu, en ce qui concerne la notation, Diophante emploie toujours un symbole pour représenter la quantité inconnue dans ses équations, mais comme il ne fait usage que d'un seul symbole, il ne peut faire intervenir plus d'une quantité inconnue à la fois (i). La quantité inconnue est appelée o àpiGfio- et est représentée par s' ou <r. On l'imprime généralement comme <;. Au pluriel elle était dénotée par çç ou ;;ot. Ce symbole peut être une
corruption de a? ou peut avoir été mis pour le mot «rcupo;, un tas (2), ou encore il est possible que ce soit le sigma final de ce mot. Le carré d'une quantité inconnue est appelé Suvap.^ et se représente par o J ; le cube de la même quantité s'appelle xj^oç et s'écrit xu ; et ainsi de suite jusqu'à la sixième puissance.
Les coefficients de la quantité inconnue et ses puissances sont numériques et le coefficient s'écrit immédiatement après la quantité qu'il multiplie ; ainsi
ç' a = x et çç01 la = « ta = 1 1 x%
(') On trouvera cependant plus loin, pp. in, lia (exemple 3) un exemple de problème contenant deux quantités inconnues. (*) Voir ci-dessus, page 5.
Un terme absolu est regardé comme un certain nombre d'unités ou fjiovaSec et se représente par p. ; ainsi :
fJL8 0t= I, (Jt5 IX = II.
Il n'a aucun signe pour l'addition qui s'indique par une simple juxtaposition. La soustraction est représentée par 4s et ce symbole affecte tous ceux qui le suivent. L'égalité s'indique par t. Ainsi
se lit
(x8 -+- Sx) — (5x2 h- i) = a.
Diophante introduisit également une notation à peu près semblable pour les fractions dans lesquelles figuraient les quantités inconnues, mais nous ne croyons pas utile d'entrer ici dans des détails à ce sujet.
Il faut observer que tous ces symboles ne sont que de simples abréviations de langage et Diophante, en développant ses démonstrations, intercalait ces abréviations dans le texte.
Dans plusieurs manuscrits on trouve en marge un résumé, dans lequel les symboles seuls se trouvent transcrits, et qui constitue réellement une algèbre symbolique , mais celte addition est probablement due à quelque copiste plus récent.
Cette introduction d'un diminutif ou d'un symbole, à la place d'un mot représentant une quantité inconnue indique, un progrès plus grand que ne pourrait se l'imaginer une personne non familiarisée avec le sujet, et ceux qui n'ont jamais fait intervenir de tels symboles abré via tifs n'arrivent qu'avec peine à suivre les raisonnements compliqués de l'algèbre. Il est assez vraisemblable qu'un pareil système aurait été créé plus tôt, sans l'incommode système de numération adopté par les Grecs dans lequel chaque lettre de l'alphabet représentait un nombre particulier, ce qui rendait impossible leur usage pour désigner un nombre quelconque.
Passons en second lieu à l'examen des méthodes algébriques indiquées dans l'ouvrage de Diophante. Il commence par quelques définitions et par l'explication de sa notation. En indiquant la signification du symbole moins, il constate qu'une soustraction multipliée par une soustraction donne une addition ; il veut dire
