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CHAP1XRE V. — LE IVe SIÈCLE APRÈS ^6U S -CHRIST Il5

On a donc

x = (x — aa) -h (x — a4) -+- (a: — 37) -+- (x — ao)

doù

<et les nombres sont 9, 7, 4 et 1 1 .

20 Diviser un nombre tel que i3, 711/ es/ /a somme de deux carrés 4 et 9, en ffeux au/m carrés (livre II, prop. 10).

Puisque, dit-il, les carrés donnés sont 22 et 3a, il prendra (x -+• a)a et (mx — 3)* pour les carrés cherchés.

En supposant m = 2, il pose l'équation

(x H- a)a -h (a« — 3)2 = i3 doù

Les carrés cherchés sont donc

— g- et

3° Trouver deux carrés tels qaen ajoutant à leur produit soit r un, soit Fautre, on ait deux nouveaux carrés (livre II, prop. 29).

Soient x2 et y2 les nombres cherchés. D'après les conditions imposées x*yl -+- y2 et oc*y2 H- x2 sont des carrés.

La première somme sera un carré si x2 -H 1 est un carré. Il suppose que ce dernier peut être pris égal à (x — 2)2 ce qui lui donne

ensuite

doit être un carré et dans ce but il suppose que

or1 + 9 = (3 v — 4,*

d'où il tire

Les carrés cherchés sont, par suite,

X et -42- 76 et 57G-

Il faut se rappeler que Diophante n'employait qu'un seul symbole pour désigner une quantité inconnue et dans l'exemple mentionne il commence par appeler les inconnues x* et i, puis aussitôt la valeur de x trouvée, il remplace le i par le symbole usité pour représenter l'inconnue et détermine cette seconde inconnue à son tour.

4° Trouver un triangle rectangle (rationnel) tel que la bissectrice de Fun des angles aigus soit rationnelle (livre VI, problème 18).

Fig. iG.

Voici sa solution. Soit ABC un triangle rectangle en C remplissant les conditions de l'énoncé.

Représentons la bissectrice AD par 5x et DC par 3x, alors

AC = tix.

Supposons ensuite que BC soit un multiple de 3, 3 ^ar exemple. Par suite

BD = 3 — 3x et AB = 4 — 4*.

Alors

(4 — kxy = 3* + {ix)* dou

lui multipliant par 32 nous obtenons pour les cotés des triangles 28, 96 et 100, et pour la bissectrice 35.

5° Un homme achète x mesures de vin, les unes à 8 drachmes, les autres à 5. Il paie pour le tout un nombre de drachmes représenté par un carré, tel que si on y ajoute 60 le nombre résultant est égala x1. Trouver le nombre des mesures achetées à chaque prix (livre V, prob. 33).

Le prix payé est x% — 60 ; on doit par conséquent avoir

8x>ar2 — 60 et 5x<ss — 60