CHAPITRE VH. — SYSTÈMES DE NUMERATION l3l

l'avons déjà fait) que les Egyptiens employaient le symbole représentant le mot tas, pour indiquer, en algèbre, une quantité inconnue.

Le nombre 5 est généralement représenté par la main ouverte, et on prétend que dans presque toutes les langues les mots cinq et main ont la même racine. Il est possible que dans les temps primitifs les hommes ne comptaient pas réellement au delà de cinq et, lorsque les objets dont ils voulaient faire le dénombrement étaient plus nombreux, ils les exprimaient par multiples de cinq. Ainsi le symbole X des Romains pour 10 représentait probablement deux V opposés par le sommet et il parait remonter à une époque où Ton comptait par cinq ('). Notons qu'aujourd'hui encore à Java et chez les Aztèques la semaine a une durée de cinq jours.

Presque toutes les races sur lesquelles nous avons aujourd'hui quelques renseignements paraissent cependant avoir fait usage des doigts des deux mains pour représenter les nombres. Elles pouvaient donc compter jusqu'à dix inclusivement et par là elles furent naturellement conduites à prendre dix comme racine de leur système de numération. En Anglais, par exemple, tous les mots désignant les nombres supérieurs à dix sont exprimés d'après le système décimal : eleven et twelve, qui paraissent tout d'abord faire exception, sont dérivés de mots anglo-saxons signifiant respectivement un et dix, deux et dix (2).

Quelques peuples semblent avoir été plus loin encore et avoir compté par multiples de vingt en faisant usage des doigts de leurs pieds. On prétend qu'il en était ainsi chez les Aztèques. On doit observer que l'on compte encore en Angleterre certaines choses (par exemple les troupeaux de moutons) par scores, le mot score signifiant une raie, une marque, faite sur chaque individu entrant dans la constitution d'un groupe de vingt ; tandis qu'en France on parle de quatre-vingt comme si à une certaine époque, les objets avaient été comptés par multiples de vingt. Cependant nous ne présentons cette remarque que sous réserves car il nous semble

(*) Voir aussi Odyssée, IV, 4i3-4i5, on y fait une allusion apparente à une semblable coutume.

(*) En France les mois onze, douze, treize, quatorze, quinze et seize font exception ; ce sont des expressions empruntées du latin ; undecim, duodreim, tredecim, quatuordecim, quiniccim, sexdccim et consacrées par l'usage. (N. du T).

l32 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

avoir vu le mot octante dans de vieux ouvrages français et il est certain (*) qu'autrefois les mots septante et nouante étaient communément employés pour soixante-dix et quatre-vingt-dix (2). Quelques dialectes lçs ont conservés.

Les seules tribus qui, d'après les récits qui nous sont parvenus, ne compteraient pas par 5 ou multiples de 5 sont les Bolans de l'Afrique occidentale et les Maories ; on prétend que les premiers comptent par multiples de sept et les seconds par multiples de onze.

Il est relativement facile de compter jusqu'à 10, mais les peuplades primitives éprouvèrent de grandes difficultés pour évaluer les nombres supérieurs ; cette difficulté fut surmontée tout d'abord en apparence par l'intervention de deux hommes (comme cela se pratique encore dans le sud de l'Afrique), l'un comptant au moyen de ses doigts jusqu'à 10 et le second comptant le nombre de groupes de 10 unités ainsi formés. Il est clair que cette opération revient pour nous à indiquer par une marque conventionnelle chaque multiple de dix, mais on prétend que dans beaucoup de tribus on n'est jamais parvenu à faire compter les indigènes audelà de 10 à moins de les laisser opérer avec deux hommes.

Plusieurs peuplades cependant, que leurs tendances portaient à la civilisation, allèrent plus loin et imaginèrent un moyen de représenter les nombres avec des cailloux ou des jetons disposés par tas de dix ; cette idée perfectionnée donna naissance à son tour à l'abaque ou suan-pan. Ces instruments étaient en usage chez des peuples si éloignés les uns des autres, comme les Etrusques, les Grecs, les Egyptiens, les Indiens, les Chinois et les Mexicains, qu'ils furent, pense-t-on, inventés indépendamment dans des centres différents. Ils sont encore communément employés en Russie, en Chine et au Japon.

Sous sa forme la plus simple (voir fig. 19), l'abaque est une

(*) Voir par exemple Practique... à ciffrer, de V. M. de Kempte*. Anvers, i556.

(*) Les mots Septante, Octante et Nouante, auxquels un usage que nous croyons regrettable a substitué les mots soLrantc-dis, quatre-vingt, quatre-vingtdix, sont encore usités dans quelques localités du Midi de la France, en Belgique et en Suisse.

Gondorcct avait proposé de substituer unante et daanie à dix et vingt pour la régularité qui aurait été parfaite en maintenant les dénominations septante, octante et nouante. (N. du T).