CHAPITRE IV

Des décous^ertes faites sur la mesure du cercle y à Vaide des nouwaux calculs ^ où Ton esquisse par occasion Vkistoire de la naissance du calcul intégral.

I. C'est aux calculs modernes qu'on doit les plus grandes lumières sur ce sujet, m. II. Objet de l'arithmétique de l'infini. Découvertes de TVallis^et jusqu'où il les pousse , 112. III. Il est arrêté à la mesure du cercle , et imagine les interpolations. Idée

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et exemple de cette méthode, iiS. IV. Bci^naie la i^^mdeur du cercle par une suite infinie de tteabres, ii8. Y. Il regarde la quadrature définie comme impossiUe, et sur quel fondement. Nouveaux motifs de se le persuader^ 120. Vl. Aolie expression de la grandeur du cercle, donnée par Brouncker, en fraction d'une forme particulière, 1 22. Yll. Usage qu'a fedt dans la suite Euler des fractions de cette espèce , 124. YlII. Développement de la manière dont Newton, travaillant d'après les idées de PFallis, trouve la première suite générale pour le cercle, 126. IX. Autres moyens qui se présentent ensuite à lui , i3i. X. Il les communique à Barrow, à Collins, de même que presque tout le calcul moderne , les quadratures et rectifications des courbes, la méthode des suites, etc. Diverses expressions qu'il donne des arcs et des segmens circulaires ,182. XI. Jacques Gregory devine le principe de Newton, et ajoute à ses découvertes. Suite qu'il avaût trouvée précédemment pour le cercle. Il donne celle de l'arc par la tangente et plusieurs autres. Éloge de ce géomètre. Justice que lui r^uà Newton, 137. XII. Leib» nitz trouve de son côté la même suite. On le défend contre l'accusation de plagiat que lui ont intentéequelques Anglais, \^o. XIII. La même suite trouvée par de Lagnj". Autre motif d'apologie pour Leilh^ mtz, 142. XI Y. Diverses expressions particulières de la grandeur du cercle ou de ses parties, i44*

Xlj TABLE DES MATIERES.

XV. Utilité évidente de ces suites quand elles convergent sensiblement, i45. XVI. Manière de les employer commodément pour en tirer des approximations en grands nombres. Exemple de cette méthode, 147. XVII. Avantages de la suite par la tangente , et la manière de s'en servir, 162. XVIÏI. Emploi qu'en ont fait quelques géomètres modernes , comme Sharp, Machin, de Lagnjr, Approximation en soixante-treize chiffres donnée par le premier , poussée à cent un par le second et à cent vingt-huit par le dernier, i55. XIX. Défauts qu'ont assez souvent les suites , et en particulier celle de l'arc par la tangente, 157. XX. Moyen par lequel Euler remédie à celui de l'irrationalité, i58. XXI. Manière dont il obvie au peu de convergence de la suite qui exprime l'arc de 4^° p&r la tangente, avec un exemple. Formule de iSim^^a/t aussi éclaircie par un exemple , 161 . XXII. Utilité des suites pour en tirer, dans la pratique , des expressions d'un calcul simple et cependant assez exact. Exemples qu'on en donne d'après Newton, Leibnitz, etc. Moyen de l'auteur pour trouver', par approximation , la somme d'une suite , 166. XXIII. Exposition de la méthode de quarrer les courbes par la connaissance d'un petit nombre d'ordonnées équidistantes, et son application au cercle. Essai de commentaire sur la méthode différentielle de A^eiW(J/î, 176. XXIV. Autre

TABLB DES MATIÈRES. xiîj

méthode donnée par Simpson, appliquée au cercle, 190. XXY. Précis d'un écrit de Jean Bemoulli sur la mesure du cercle , 194*