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seconde, c'est-à-dire supposant un cercle dont le rajon fût au moins de 4 9^0 ooo ooo demidiamètres de la terre , on ne se tromperait pas de l'épaisseur d'un cheveu sur cette immense cifconfërence ^'\ Mais que dis-je ? le rapport donne' par Ludolph Van Ceiilen, rapport composé seulement de trente-cinq chiffres, est déjà plus que suffisant pour prévenir cette erreur. Néanmoins, quelle disproportion de l'exactitude de l'un avec celle de l'autre! Les plus communes notions de l'Arithmétique suffisent pour en donner une idée.

Si l'histoire des efforts que le problème de la quadrature du cercle a occasionés, n'était que celle des pjgmées en Géométrie qui l'ont entrepris, elle mériterait bien peu la curiosité des lecteurs ; mais les tentatives des géomètres anciens et modernes , pour qui cette recherche a été quelquefois le motif d'autres découvertes très intéressantes , ou qui , désespérant d'atteindre précisément au but, se sont bornés à en approcher de plus en plus , à l'aide de certaines méthodes fort ingénieuses; ces tenta-

(') Le demi-diamètre de la tene est de i633 lieues de 2000 toises ou 6366 kilomètres.

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tives, dis-je, nous présentenl des traits dignes d'attention : ce sont proprement les seules dont il sera question ici. Le temps m'est trop précieux pour avoir donné un seul instant à déterrer quelque ridicule auteur de quadrature; si j'ai parlé de quelques-uns d'eux dans un chapitre à part, c'est uniquement de ceux qui se sont présentés à moi dans le cours d'autres recherches.

Quelque peu dignes que soient ces hommes singuliers d'occuper le loisir d'un écrivain judicieux, je ne puis résister à l'envie d'en tracer un portrait, qui sera avoué de tous ceux qui ont eu occasion de traiter avec eux.

Trois sortes de personnes travaillent à quarrer le cercle avec une pleine confiance en leurs succès. Je comprends dans la première classe ces gens qui, sans avoir la moindre connaissance de la Géométrie, ni des moyens qu'elle emploie dans ses recherches, s'engagent dans celle de la quadrature , sans savoir presque en quoi consiste l'état de la question. On les voit proposer, avec une assurance qui excite la pitié, de grossiers mécanismes, incapables même, quand on les admettrait, de conduire à des à peu près de quelque exactitude. Celui-ci entoure le cercle d'un fil délié ,

el pense avoir par ce moyen la circonférence avec la dernière précision. Il y en a qui, après cette belle opération, partagent ce fil en quatre parties égales, pour faire cFune d'elles le coté d'un quarré qu'ils prétendent égal au cercle, lis ignorent cette vérité, que la Géométrie démontrait presque encore au berceau , savoir, que, de toutes les figures d'égal contour, le cercle est celle qui renferme le plus d'étendue. On en trouvera qui proposeront de faire rouler un cercle sur un plan bien uni, ou d'en peser un, formé d'une matière bien égale et uniformément épaisse, contre un quarré de même matière; et j'ai vu souvent de ces gens, dont toute la Géométrie consistait à mener mécaniquement une perpendiculaire ou une parallèle, faire, après bien des mystères, l'ouverture de quelqu'un de ces ridicules moyens de quarrer le cercle, et insulter ensuite, par un souris moqueur, aux géomètres qui n'avaient pas su les imaginer.

Il y a d'autres chercheurs de quadrature qui , un peu plus instruits dans la Géométrie, semblent ne s'en servir que pour s'égarer dans un labyrinthe de paralogismes. Les premiers dont j'ai parlé , gens du moins peu incommodes, se contentent avec une espèce de sa-

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tisfaction philosophique d'être en possession du secret ; mais ceux de la seconde classe ne manquent guère de fatiguer les géomètres, et surtout les académies, par leur importunité à solliciter l'examen et le jugement de leur prétendue découverte ; ils la portent de tribunal en tribunal, c'est-à-dire d'académie en académie; de celles de la province, car elles ont souvent des quadratures à examiner en premier ressort, à celle de la capitale. Ils se plaignent avec amertume d'une espèce de déni de justice, quand on refuse de les écouter, et ils manquent rarement de récuser leurs juges, ou de les prendre à partie s'ils en sont condamnés ^'\ Vainement viendra-t-on quelquefois à bout de leur montrer la faiblesse de leurs raisonnemens : bientôt l'édifice est réparé ; bientôt engagé dans un dédale aussi tortueux que le premier, notre pauvre quadrateur vient de nouveau harceler son juge : heureux celui-ci, quand il peut promptement l'obliger à le récuser et à le citer devant le public , en lui

tO En 1778, un quadrateur fît assigner l'Académie des Sciences devant un tribunal de justice : celui du Châtelet de Paris.

dévoilant sa découverte. Une espèce de fatalité' semble avoir ordonné que tous ceux qui se persuadent une fois d'être en possession de la quadrature du cercle , vivront et mourront dans cette persuasion intime. C'est une manie qui, pire que celle du he'ros de la Manche, ne les quitte pas même dans leurs derniers momens ; il n'en est aucun qui manque d'en appeler au jugement d'une postérité plus équitable, à moins que, de mauvaise humeur contre leur siècle , ils n'aiment mieux s'en venger en cachant leur secret. « Ingrats contemporains, » siècle barbare ! s'écriait un d'eux dans ses » derniers instans , je voulais vous enseigner » la plus belle découverte qui ait jamais été )) faite , je voulais vous désabuser des erreurs » grossières dont vous portez le joug ! vous » m'avez rebuté : hé bien, je sortirai de ce » monde sans l'éclairer. » Effectivement , il mourut sans faire part de son précieux secret, et les géomètres n'ont pas eu la complaisance de le regretter. . •-

Il y a une troisième espèce de quadrateurs, plus singuliers encore , mais moins incommodes, en ce que leur manière de penser a bientôt terminé l'examen de leur découverte. Ce sont ces esprits d'une trempe, ce me sem-

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ble, inconnue aux siècles passes, qui savent se jouer des principes les plus évidens de la Géométrie, qui ont le courage de heurter de front les axiomes du sens commun. M. Liger^ je ne le nomme que parce qu'il s'est nommé si souvent dans les Mercures et ailleurs; M. Liger vous dira, avec une grande assurance, que le tout n'est pas plus grand que la partie ; que la racine quarrée de 288 est exactement la même que celle de 289 ; que 5o a la même racine que 49 > ^tc. Il fera plus, il entreprendra de vous le prouver par un mécanisme à peine capable d'en imposer à l'artisan grossier qui le pratique. Il établit enfin une Géométrie toute nouvelle sur les débris de l'ancienne. Prétendre désabuser des esprits de cette espèce, cest vouloir perdre son temps: quand on est venu h un pareil excès de rêverie , on a perdu le droit d'être frappé de l'évidence.

J'ai souvent remarqué avec surprise combien peu ceux qui se livrent à rechercher la quadrature du cercle, ou qui croient la posséder, sont instruits de ce que les géomètres ont trouvé sur ce sujet ; à peine connaissent-ils les plus simples approximations ; et , à coup sur, la manière dont on y est parvenu leur

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est absolument incoiiiiue; car il est métaphysiquement impossible que , les connaissant, on se fasse illusion : aussi leur ignorance à cet égard est extrême; j'en appelle au témoignage intérieur des quadrateurs , sans doute en grand nombre, qui liront ceci.

Cette remarque m'a porté à croire qu'un moyen peut-être efîicace de diminuer le nombre de ceux qui s'adonnent à cette recherche, était de rassembler, sous un même point de vue , les découvertes réelles de la Géométrie sur ce problème fameux. Il est, en effet, à présumer que , si les vérités qu'on a exposées plus haut et plusieurs autres qu'on développe dans le cours de cet ouvrage, étaient plus universellement connues , on verrait moins de ces malheureuses victimes d'une entreprise mal réfléchie. A ia vérité, j'espère peu de ceux qui ont déjà résolu le problème; la plupart sont dans la disposition prochaine de nier les vérités les mieux établies , dès que la contradicdiction les y conduira. Le coup est porté , et l'on peut leur appliquer ce vers d^ Horace ,

Et tribus Anticjrix caput insanabile. . .

{^Ars poet. , v. Soo.)

Mais je ne doute point que cette histoire ne

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soit propre à préserver du même travers ceux qui n'ont point encore l'esprit préoccupé. Elle pourra aussi servir à rendre le repos à quelques personnes de bonne foi , qui, privées des moyens de s'informer de ce qu'on a déjà fait, s'épuisent en efforts inutiles. Les gens sensés à qui la Géométrie est peu connue, pourront prendre ici une connaissance exacte de la question , et porter un jugement sain et équitable sur les prétentions de ceux dont la vaine confiance pourrait peut -être leur en imposer. Pour écarter enfin cette foule de quadrateurs qui obsèdent les académies , ne pourrait-on pas les obliger à s'instruire ici , comme par un préliminaire, des vérités reçues, de l'aveu unanime des géomètres , sur la grandeur du cercle ? Les réduisant par ce moyen ou à les contester ou à les admettre, ils seront, dans le premier cas, indignes d'être écoutés; et, dans le second , la conviction intime de leur erreur sera peut-être bien prochaine : je dis peutêtre, car je n'oserais l'assurer : l'ignorant, de même que l'homme de mauvaise foi, sait se ménager mille ressources que tout autre n'aurait jamais imaginées.

J'ai enfin pensé que cette suite de découvertes sur la mesure du cercle, rassemblées

DE l'auteur. i5

SOUS le même point de vue , pouvait former un spectacle propre à flatter la curiosité des géomètres. Plusieurs d'entre elles méritent l'attention des plus habiles, comme tenant de près au développement et à la perfection que la Géométrie a reçue dans le dernier siècle. C'est ce que l'on verra clairement dans le chapitre IV, où j'expose les inventions successives de TVallis, Brouncker, Newton; inventions toutes liées ensemble et aboutissant au calcul intégral et à plusieurs autres méthodes analytiques de grande importance.

L'utilité qui parait devoir résulter d'un ouvrage de cette nature, et l'agrément qu'il présente pour ceux qui sont un peu curieux de connaître les pas de l'esprit humain , avaient, ce semble, frappé avant moi un analyste habile (M. de Lagiij) : le Commercium philosophicwn et math maticiinij ^"^ entre Leihiitz et Bernoiilll j nous apprend qu'il l'avait projeté. Ce géomètre, le fléau des quadrateurs de son temps, était en état de remplir parfaitement cet objet, et j'ai été surpris de voir que M. Leihnitz, dans le même recueil de lettres, semble se défier de

t^) Pages 3oo, 3o2, W vol.

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sa capacité, et craindre qu'il ne donnât qu'un ouvrage imparfait, à moins qu'il ne le lui communiquât ou à M. Bernoulli. J'ai recherche' quelle pouvait être la cause d'une défiance si mal fondée , et je pense l'avoir trouvée. Leihnitz craignait apparemment que M. de Lagnj n'ajoutât trop de foi à ce qu'il appelait les calomnies des Anglais, au sujet de ses découvert er. dans les nouveaux calculs, dont l'une est la quadrature du cercle exprimée par une suite infinie de nombres; découverte dont il fut pendant long-temps fort jaloux, et que les Anglais l'ont accusé d'avoir empruntée de Gregorj. D'un autre côté, M. de Lagji)', quoique connaissant les calculs de l'infini, fut toujours un de ceux qui négligèrent avec affectation d'en faire usage ; et peut-être , à cet égard, était-il à craindre en effet qu'il ne leur rendît pas toute la justice qui leur était due. Je saisis cette occasion de justifier un autre académicien encore vivant, qu'on voit traité dans le même endroit avec autant d'injustice '^'^ Celui-ci méritait encore moins d'être enve-

CO C'est Nicole : il était né en i683 et mourut en 1758. . ;i ,^:v- . /•.

loppé dans ce jugement précipité, qui n'avait aucun fondement, si ce n'est que l'un et l'autre de ces académiciens n'étaient point connus de Leibnitz. Mais comment le dernier l'aurait-il été , puisqu'il ne faisait alors que d'entrer dans la carrière de la Géométrie? Les savans mémoires qu'il a donnés bientôt après dans les recueils de l'Académie , et qui prouvent qu'il était dès lors également versé dans l'une et l'autre analyse , auraient non-seulement calmé les craintes de Leibnitz^ mais lui auraient attiré son estime.

Je n'ai rien dit, dans le cours de cet Ouvrage, de l'auteur de l'étrange prospectus et de quelques autres pièces de la même nature , qui nous annoncèrent l'été passé la quadrature du cercle. Par égard pour son nom et ses autres qualités qui le rendent estimable à ceux qui le connaissent , en même temps qu'ils le plaignent de sa manière de penser, qui n'a peut-être jamais eu d'exemple, je voulais me taire sur la singularité de ses prétentions, malgré le bruit qu'elles faisaient dans le monde. J'espérais que quelques amis ou versés , ou du moins plus instruits dans la Géométrie, le remettraient sur la voie de la vérité; mais la publication de sa prétendue quadrature , dans un

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petit iii-4° magnifiquement orné de cartouches, vient de m'apprendre qu'apparemment on y a travaillé sans succès; et j'ai cru ne pouvoir me dispenser d'en porter le jugement qu'elle mérite. Les siècles à venir croiraientils, si ce monument ne le leur attestait, qu'on ait pu avancer des propositions aussi absurdes, aussi directement contraires à la saine raison , que celles sur lesquelles cet auteur appuie sa prétendue découverte, et qu'il substitue aux axiomes jusqu'ici reçus de l'aveu de tous les hommes? Deux figures ne sont plus égales quand elles se touchent dans tous leurs points , dans toute leur étendue ; il suffit, suivant M. de Causajis y qu'elles se touchent dans quelques points , c'est-à-dire dans ceux où elles peuvent se toucher. De là , suit aussi ce nouveau principe , digne rejeton d'un axiome de cette espèce , que la partie est égale au tout. Que dis-je? que dans chaque tout on peut assigner plusieurs parties qui lui soient égales. Aussi le quarré est, dit-il, précisément égal au cercle qu'il renferme , et même celui-ci à une autre figure dont les angles saillans s'appuient seulement sur sa circonférence. L'auteur enfin détermine la figure de la terre, les longitudes, la déclinaison de l'aiguille aimantée, sur des

raisons qui n'en seraient ni plus ni moins valables, quand la terre serait de forme cubique ou pyramidale. Je me couvrirais de ridicule auprès des lecteurs sensés, si j'entreprenais d'opposer les moindres raisonnemens à ces prétentions. Il n'est personne, faisant usage de sa raison, qui ne soit persuadé que les vérités métaphysiques contestées par M. de C. sont plus certaines qu'il ne l'est que jamais son prospectus singulier ait vu le jour, qu'il y ait eu des souscriptions ouvertes pour parier contre lui , et qu'il ait publié sa quadrature. Pour tout autre enfin que lui-même, elles sont plus incontestables que son existence propre.

Au reste , il est bien facile de reconnaître la cause de l'erreur de M. <ie C : elle a sa source dans la méprise où il donne sur la simple définition de l'angle et sur ce qui le constitue. La surface renfermée entre ses côtés, la longueur de ces côtés n'entrent pour rien dans la grandeur d'un angle , et cette grandeur ne sert à rien pour déterminer la surface qu'il renferme avec une troisième ligne qui le borne. M. de C. suppose néanmoins le contraire, et en fait le fondement de sa quadrature. C'est en savoir encore trop peu en Géomé-