CHAPITRE PREMIER

En quoi consiste la quadrature du cercle; diverses manières de la considérer ; quel degré d'utilité on doit lui assigner.

Quarrer le cercle, ou, pour s'e'noncer plus généralement, une figure quelconque, c'est assigner l'étendue précise qu'elle renferme. Une raison fort naturelle a donné lieu à cette manière de parler. Le quarré est, de toutes les figures, la plus simple, la plus aisée à mesurer, une seule de ses dimensions étant connue. Cela fit penser aux géomètres qu'ils ne pouvaient donner une idée plus distincte de la grandeur d'une surface quelconque , qu'en déterminant le quarré qui l'égalerait; de là,

mesurer une figure, quarrer une figure, devinrent et sont encore des termes synonymes en Géométrie.

Il s'agit donc, dans la quadrature du cercle, de trouver l'étendue du cercle, comme, dans la Géométrie élémentaire, on trouve celle d'un triangle ou d'une figure rectiligne ; je veux dire , avec cette exactitude et cette précision qui sont la vérité même. Cette comparaison me servira encore à faire sentir quelle est la nature des voies que la Géométrie admet seules pour y parvenir. Il serait ridicule de mesurer, le dirai-je, avec un compas, ou nn fil , ou de telle autre manière mécanique qu'on voudra, la hauteur d'un triangle, lorsque ses côtés donnés, ou telles autres conditions du problème, suffisent pour déterminer cette hauteur : c'est au raisonnement seul à le faire. Il en doit être de même dans la question présente : il y a un rapport entre l'étendue du cercle et celle du quarré de son diamètre , entre la longueur de ce diamètre et la circonférence, il y a, dis -je, un rapport déterminé et lié avec les propriétés du cercle : on ne doit donc employer, pour parvenir à sa connaissance.

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que le raisonnement et le calcul fondés sur ces propriétés. Toute voie mécanique est interdite; l'esprit géométrique s'en indigne et la rejette, non par une fausse délicatesse, mais parce que, quelque perfection qu'on lui supposât, aucune d'elles n'est capable de conduire à la même exactitude que le raisonnement. Je demande pardon aux géomètres d'entrer dans ce détail; mais je les prie en même temps de faire attention que, quelque élémentaire qu'il soit , il n'est encore que trop de personnes K qui il peut être utile, et qui, sans cet avis, seraient capables de tenter ces moyens réprouvés par la Géométrie.

On appelle quadrature absolue celle que je viens de décrire , et par laquelle on a exactement et précisément la grandeur d'une figure. On quarre ainsi la parabole et plusieui's autres figures curvilignes ; on fait plus , on connaît aussi avec cette exactitude l'étendue d'un grand nombre de segmens de surfaces courbes, soit sphériques, cylindriques, coniques, etc. Je ne nomme ici que les plus connues; mais il y en a un plus grand nombre encore que l'on désespère de connaître jamais dans cette per-

fection; et parmi celles qui résistent ainsi à tous les efforts de la Géométrie, le cercle se présente le premier.

On s'étonnera, sans doute, que ce qui est si facile dans les figures recti lignes devienne tout à coup si difficile dès le premier pas que l'on fait vers les figures courbes j la surprise augmentera même en faisant attention qu'un grand nombre de figures , en apparence moins simples que le cercle, sont cependant susceptibles de quadrature absolue. Je vais tacher d'en donner une raison : ne serait-elle point que cette simplicité attribuée au cercle n'est qu'imaginaire, et nullement celle de la nature? Sur quel motif, en effet, regardonsnous le cercle comme plus simple que les autres figures? Nous y sommes déterminés par l'uniformité de son contour, par l'égalité constante des lignes tirées de son centre à sa circonférence , égalité qui facilite beaucoup sa description. Mais ces avantages s'évanouissent aux yeux du géomètre qui analyse les propriétés de cette fi'gure ; il n'y voit qu'une espèce particulière d'ellipse , dans laquelle l'égalité accidentelle de deux lignes a rendu

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égales toutes celles qui s'étendent de son centre à sa circonférence. Du reste, cette égiililé n'influe en rien sur les rapports de ses ordonnées aux abscisses, sur celui des polygones inscrits et circonscrits qui le limitent. Les courbes où ces rapports sont plus simples , comme la parabole, quoique moins régulières à nos yeux , sont absolument quairables : le cercle où il est plus compliqué sera probablement toujours rebelle à la Géométrie.

Lorsque les courbes ne sont pas susceptibles de quadrature absolue^ les géomètres se bornent à substituer à la vérité, un à peu près qui n'en diffère qu'insensiblement. C'est là , ce qu'on appelle quadrature approchée ; expédient, il est vrai , toujours employé avec regret, mais néanmoins fort souvent nécessaire; il a fallu y recourir pour le cercle, et peutêtre la Géométrie y a plus gagné que si l'on eût bientôt trouvé sa quadrature absolue. L'impossibilité d'y parvenir a d'autant mieux fait éclater la sagacité et l'esprit de ressource des habiles géomètres; elle a été le motif d'une foule d'inventions qu'ils ont imaginées pour atteindre le but ou pour en approcher. On en

trouvera des exemples remarquables dans la suite de cette Histoire.

La nature du cercle établit une telle liaison entre la mesure de sou aire et la longueur de sa circonfërenee, que l'une étant connue, l'autre l'est aussi nécessairement. On aura donc également la solution du problème, soit qu'on détermine immédiatement quelque espace rectiligne égal au cercle, soit qu'on trouve une ligne égale à sa circonférence. Avant Arcliimede j inventeur de ce rapport, on tentait le premier moyen; depuis lui, jusqu'à la nouvelle Géométrie, les efforts des géomètres s'étaient principalement tournés vers la dimension de la circonférence : il est aujourd'hui libre de choisir l'une ou l'autre de ces deux voies ; les nouveaux calculs s'y prêtent également. Mais, il faut bien le remarquer, cet avantage est particulier au cercle ; c'est peutêtre la seule figure courbe dont la rectification et la quadrature tiennent de si près l'une à l'autre <^'\

(0 En général, la détermination d'une ligne droite égale à l'arc quelconque d'une courbe, est ce qu'on ap-

On sait encore que la détermination du centre de gravité d'un arc ou d'une portion quelconque de cercle , la tangente de la spirale et de plusieurs autres courbes , la terminaison de la quadratiùce, donneraient la quadrature du cercle; mais tous ces problèmes en dépendent eux-mêmes, comme je le fais voir ailleurs, si intimement, que de quelque manière qu'on les envisage, c'est toujours elle qui se présente la première. Ils ne sauraient jamais servir de moyens pour y parvenir.

Les géomètres distinguent deux manières de quarrer les courbes, bien inégales en perfection; ils nomment l'une définie ^ et l'autre indéjijiie. En appliquant ceci à l'objet présent, la quadrature définie du cercle serait la mesure de son aire , ou entière , ou seulement de

pelle sa rectification-. Descartes croyait que la proportion entre les droites et les courbes ne pouvait être connue par les Jiommes (Géométrie, e'dit. de lôS^, p. 340 ; et Jacobi Bernoulli Opéra, t. II. p. 680); mais , peu après sa mort , on découvrit une infinité de courbes rectifiables. . '-

quelque segment déterminé, comme CDBP, ou APB {fig. I ) , les lignes CP , ou PA , ou AE ayant , au rayon , une certaine raison déterminée. Si quelque méthode donnait en général la quadrature d'un segment quelconque, quel que fût le rapport de CP, ou PA, ou AE, avec le rayon , on aurait la quadrature indéfinie du cercle. Ce serait peu faire, on ose le dire, pour la Géométrie que de trouver la première. Pour résoudre le problème dans toute son étendue, il faudrait assigner la dernière; et il y a encore loin de l'une à l'autre ; car pour passer de la quadrature définie du cercle à celle de ses parties quelconques, il resterait à résoudre ce problème , plus difficile que le premier : trouver la raison de deux arcs dont on connaîtrait les sinus ou les tangentes ^ etc. Pour le dire, en un mot, la quadrature indéfinie du cercle et de ses parties est autant au-dessus de celle qui occupe infructueusement les vulgaires quadrateurs, que celle-ci est au-dessus de la mesure des surfaces rectilignes.

Il est à propos de discuter, avant d'aller plus loin , quel est le degré d'utilité de la quadrature du cercle , soit absolue , soit appro-

chëe. Quant à la première, nous pensons, avec M. de Maupertuis ^'^, que la Ge'ométrie présente aujourd'hui quantité de recherches plus intéressantes. La quadrature définie du cercle ne serait presque d'aucune utilité : les travaux des habiles géomètres, dont j'exposerai bientôt les découvertes , ont fait connaître son rapport avec les figures rectilignes assez exactement pour n'avoir presque rien à désirer; et j'ai rendu sensible , par un exemple frappant (p. 6), la prodigieuse exactitude à laquelle il est aisé d'atteindre. Il y aurait quelque avantage, j'en conviens, dans la quadrature indéfinie, ou autrement l'intégration absolue de quelquesunes de ces formules , dœ s/aa — xx , ou

adx

dx \ 2 ax — XX , ou — - — > ou , etc .

y aa — XX

Mais, je le remarque encore, c'est moins à cause du cercle que les analystes le désireraient, que parce qu'on aurait par là la mesure absolue d'une infinité d'autres courbes qui dépendent d'expressions de cette forme. Comme il est non-seulement probable, mais bien démontré (yoyezXe chap. III, §§X et XI), qu'on n'y parviendra jamais , on regarde

-") Lettre sur le progrès des sciences.

3o HITOIBE DE LA QUADRATURE

comme résolu tout problème qui conduit légitimement à la quadrature du cercle ou de Thyperbole; et il l'est en effet, même dans la pratique, puisque l'on a des méthodes assez simples pour trouver, avec une exactitude presque indéfinie, la grandeur d'un arc ou d'un segment circulaire quelconque. Que manque-t-ildonc aux arts, à la Géométrie même, dans l'absence de la quadrature absolue du cercle? rien du tout. Une détermination probablement enveloppée dans des rapports très compliqués , serait une stérile connaissance pour l'esprit humain ; on aurait plus d'obligation, je le dis avec confiance, à celui qui réduirait la rectification de l'ellipse et de l'hyperbole aux quadratures de ces deux courbes.

Je ne remarque presque qu'à regret, et comme un trait de simplicité, la croyance où sont la plupart des chercheurs de la quadrature du cercle , que les souverains , s'intéressant aux travaux des géomètres, ont promis une récompense considérable à celui qui y réussirait. D'autres , aussi simples , ou même plus simples encore , se sont imaginé que le problème des longitudes en dépendait. Ajoutons à ces pré-

DU CERCLE. 3l

tentions celle que les plus grands géomètres ont recherché ou recherchent la quadrature du cercle, comme si ce problème était l'objet unique et le but de toute la Géométrie. Ce sont là trois points sur lesquels ces bonnes gens ne manquent guère d'insister beaucoup ^"^ : il faut les en désabuser. Il n'j a aucune récompense promise ou à espérer pour celui qui quarrera le cercle. Il est ridicule de prétendre que les longitudes en dépendent. La raison de la circonférence au diamètre n'entre pour rien dans aucun problème de navigation; et si quelqu'un la supposait , comme c'est un problème de pure pratique , il serait plus que suffisamment résolu par quelqu'une des plus simples approximations du cercle : celle de Métius , par exemple, qui diffère de la vérité de moins d'un i ooo ooo", et dont l'erreur sur toute la circonférence de la terre ne va pas 3 21 toises ^'^. Il j a aussi peu de réalité dans les prétendues recherches des grands géomètres sur la quadrature du cercle : nous en avons assez dit , dans l'article précédent , pour

^"^ Voyez le sieur Basselin , dans sa Quadrature. ^'^ La cil-conférence du ine'ridien étant de 40000 000 de mètres, la i 000000* est seulement de 40 mètres.

faire connaître qu'ils ont eu des vues plus générales en la recherchant. C'est en avoir d'excessivement bornées en Géométrie, que de n'y voir rien de plus intéressant que cette question. Je reviens à mon sujet.

Quant à la quadrature approchée du cercle et des ligures courbes, il est évident, pour qui connaît l'objet de la Géométrie, qu'elle devient nécessaire dès qu'on suppose la mesure absolue impossible, ou encore inconnue. Mille problèmes , soit dans les Mathématiques pures, soit dans les sciences physico-mathématiques, ramènent sans cesse à cette mesure. Il n'en faut pas davantage pour justifier les géomètres de leurs peines à se procurer des approximations si peu différentes de la vérité , qu'elles puissent en tenir lieu dans tous les cas. S'ils ont quelquefois passé les bornes de cette nécessité, on le leur pardonnera quand on aura fait attention que c'est à cette curiosité , en apparence inutile, quoique souvent justifiée par les plus heureuses découvertes, que toutes les sciences doivent leur avancement.

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