Histoire des sciences mathématiques et physiques
Nous avons montré ce qu'eût pu être l'Algèbre qui est en puissance dans les ouvrages des géomètres grecs; nous allons tâcher d'expliquer pourquoi la marche suivie par eux n'a pas été reprise chez les Arabes et dans le moyen âge ; pourquoi ce qui était un commencement de science n'est pas devenu une doctrine complète, au lieu de disparaître entièrement; enfin, comment s'est constituée l'Algèbre, lors de ses premiers développements.
Pendant que les géomètres grecs travaillaient incidemment à construire la véritable Algèbre, instrument indispensable dans toutes leurs recherches et au perfectionnement duquel ils eussent dû toujours présider, un nouvel ordre d'études naissait et se développait rapidement; quelques propriétés des nombres avaient donné l'éveil, et la foule des esprits médiocres se dirigeait vers un point où les découvertes devaient être plus faciles.
Quatrième Période.
Les géomètres grecs, séduits par la beauté et l'utilité réelle de leurs études, eurent d'ailleurs le tort grave de chercher incessamment à découvrir à l'aide des moyens qu'ils possédaient, sans prendre le temps de perfectionner ces moyens. Sans doute, il est admirable de voir Archimède, au moyen d'un instrument logistique aussi imparfait que la simple connaissance des transformations que peut subir une proportion, aborder les plus hautes questions géométriques et déjà poser les bases de l'analyse infinitésimale; mais si ce grand homme avait pu consacrer quelque temps aux théories algébriques, s'il avait seulement conçu l'Algèbre comme une Science à part, il nous eût épargné une reculade de quinze siècles. Il n'eût eu d'ailleurs que bien peu d'efforts à faire pour vaincre les calculateurs sur leur propre terrain.
Sans contredit, les premières notions arithmétiques durent prendre naissance avant les recherches géométriques; mais il ne résulte aucunement de cette antériorité nécessaire une dépendance quelconque entre les conceptions élémentaires de l'Algèbre et celles de l'Arithmétique. Outre que les travaux des géomètres grecs fournissent de la manière la plus palpable la preuve de l'indépendance des deux genres de spéculations, il est évident, d'ailleurs, que les questions qui y ont conduit sont de nature entièrement différente.
Les recherches arithmétiques, nées de la nécessité de régler équitablement les conditions des contrats civils, se bornèrent d'abord à des questions de nombres entiers; car, de quelque nature que fussent les choses à compter, l'unité se trouvait toujours immédiatement indiquée par la question, et, quelle qu'elle fût, elle était toujours indécomposable. Or, il n'est pas difficile de sentir quelle distance il a fallu franchir pour passer des pre-
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mières spéculations arithmétiques, essentiellement relatives à la détermination du nombre dans une collection d'objets indécomposables, à des recherches analogues sur les mesures de grandeurs capables de croître ou décroître d'une manière continue. Dans le premier cas, en effet, le nombre est apparent, visible; il serait impossible de ne pas le considérer comme une chose principale; tandis que, dans le second, il n'existera que par suite d'une opération préliminaire, et cette opération sera d'abord nécessairement jugée inutile, car les lois cherchées devant comprendre seulement ce qui est donné et ce qui est inconnu^, il sera impossible qu'on regarde comme opportune, avant tout examen préalable, l'introduction d'une autre grandeur auxiliaire, entièrement oisive, ou, du moins, n'ayant à jouer qu'un simple rôle de présence.
D'ailleurs, l'impossibilité de représenter la plupart des grandeurs par des nombres, à l'aide d'une même unité, n'aurait-elle pas dû tout d'abord faire renoncer à cette entreprise, si on en avait eu l'idée ?
Ainsi, quoique évidemment les anciens aient eu nécessairement r habitude de représenter par des nombres les longueurs, surfaces, volumes, temps, etc., puisque, autrement, ils n'eussent pu les désigner, il est cependant facile de comprendre que les géomètres n'aient pas dû supposer représentées en nombres les grandeurs sur lesquelles ils spéculaient.
L'addition et la soustraction des nombres entiers touchent sans doute de bien près à l'addition et à la soustraction des grandeurs, employées dès les premiers pas en Géométrie. La multiplication des nombres entiers, ou plutôt la répétition d'un même nombre entier, pour nous, ne diffère que bien peu, non plus, de la recherche d'une quatrième proportionnelle à trois grandeurs
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données, et l'on pourrait en dire autant de la division, quand le reste en est nul; mais il est clair que ces opérations arithmétiques, comparées à la construction graphique correspondante, se rapportent à des modifications bien plus particulières. De même, l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier carré parfait fournit bien la mesure d'une moyenne proportionnelle entre les deux grandeurs représentées par ce nombre et par l'unité; mais on discutait encore au moyen âge pour savoir si un nombre non carré a une racine, tant on était loin d'identitier les deux opérations arithmétique et géométrique.
La convergence entre les travaux des géomètres et ceux des arithméticiens, jusque-là étrangers les uns aux autres, ne commence véritablement à être présumable qu'à partir de Diophante ; l'établissement de l'identité des deux buts est dû aux efforts des géomètres de la Renaissance, précédés en cela par les Hindous et les Arabes. Toutefois^ chez eux, l'unité n'est pas encore cette grandeur indéterminée dont l'intervention ne sert qu'à rendre hypothétiquement exprimables en nombres toutes les grandeurs qui doivent entrer dans une même recherche; leurs unités sont généralement définies, par exemple dans toutes les questions de Trigonométrie, et ils ne s'en servent alors que pour représenter effectivement les grandeurs par des nombres qu'ils expriment; et lorsqu'ils résolvent arithmétiquement (on ne peut vraiment pas dire algébriquement) des problèmes de Géométrie, si l'unité reste bien véritablement arbitraire, ce sont les données qui sont numériques, en sorte que, si la méthode de solution pourrait être étendue à d'autres cas, du moins la solution obtenue ne convient qu'aux figures semblables à celle qui a été considérée.
Ce n'est qu'à partir de Descartes que l'unité abstraite, indéfinie,
a été conçue nettement et que le calcul algébrique a reçu par suite fa constitution actuelle ; encore même faut-il noter que Descartes ne se servait guère de l'unité que pour ramener au premier degré, les termes des équations qu'il écrivait, parla présence supposée de cette unité, à une puissance convenable, aux dénominateurs de ces différents termes.
Quant au calcul algébrique, s'il ne prend pas encore naissance dans cette période, il ne faut pas s'en étonner. En effet, les données étant toujours numériques, les calculs se font à mesure et de proche en proche, de façon que tous les résultats intermédiaires restent toujours numériques. Il n'y aurait que les expressions contenant l'inconnue qui pussent donner lieu à des calculs algébriques, mais cela arrive bien rarement, et, quand cela arrive, au lieu de se donner la peine d'établir les principes abstraits du calcul, on recourt à la Géométrie.
Ainsi nous verrons même Cardan établir la formule du cube d'un binôme en décomposant le cube construit sur la somme de deux lignes.
Durant toute cette période, l'Algèbre ne consiste que dans les procédés de résolution des équations numériques. Pour tout le reste, l'Algèbre reste tributaire de la Géométrie.
Au reste, Diophante et ses successeurs, qui ont cependant une idée évidemment nette de l'élimination d'une inconnue entre deux équations, ne la font jamais directement, parce qu'il faudrait alors effectuer un petit calcul algébrique, qui ne pourrait être expliqué que par des considérations indirectes de Géométrie. Ils ne l'effectuent qu'après avoir préparé la question de façon que l'inconnue à éliminer s'exprime en raison donnée par rapport à l'inconnue restante, jamais par la substitution d'un binôme seu-
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lement; ou, plutôt, iU la font mentalement, en choisissant, d'après les conditions de la question, une inconnue auxiliaire au moyen de laquelle toutes les inconnues indiquées dans l'énoncé s'expriment aisément. Au reste, c'est dans ce choix que Diophante se montre vrai ment supérieur, car il y met une habileté rare; mais aussi c'est là le défaut de son Algèbre, parce que, l'habileté ne s'enseignant pas, la plupart de ses lecteurs ne pourraient, malgré son exemple, réussira se tirer des difficultés où il se joue.
Enfin il convient encore de remarquer que, soit que l'on voulût, à cette époque, tirer des théorèmes d'Euclide des propositions d'Algèbre, soit qu'on voulût résoudre par l'Algèbre des problèmes de Géométrie, on avait toujours soin de prendre des données représentées en nombres entiers, afin que la méthode que nous avons vue employée par Ptolémée fût applicable; c'est-à-dire afin que les figures d'Euclide fournissent exactement les relations numériques cherchées, s'il s'agissait d'établir une proposition d'Algèbre, ou que ces mêmes théorèmes fournissent des relations exactes entre les mesures des parties de la figure, s'il s'agissait de trouver la valeur numérique du résultat d'une construction.
Le plus souvent même on s'arrangeait, dans le choix des données des problèmes de Géométrie, de façon que les inconnues eussent aussi des valeurs commensurables. C'est du reste ce que faisait toujours Diophante dans les questions d'Arithmétique abstraite qu'il se proposait.
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L Algèbre des Hindous.
Ce que nous venons de dire se rapporte particulièrement aux travaux des Arabes, des Juifs espagnols et enfin des Italiens, Léonard de Pise, Lucas de Burgos, Tartaglia et Cardan, qui, quoique ayant directement ou indirectement bénéficié des recherches des Hindous, n'en sont pas moins restés les disciples immédiats des Grecs, Euclide, Archimède, Apollonius et Ptolémée.
L'évolution scientifique dans l'Inde fut pour ainsi dire le contre-pied de ce qu'elle a été en Grèce. Les Hindous s'occupèrent peu de Géométrie, où d'ailleurs ils trouvèrent en assez grand nombre des théorèmes faux; et s'appliquèrent avec continuité et succès aux spéculations abstraites sur les nombres, spéculations qui les conduisirent à des résultats remarquables.
En Géométrie, ils vont, comme nous, droit à la mesure des grandeurs : surfaces de carrés, de rectangles ou de triangles, surface du cercle [que Brahma-gupta fait égale à R- \/'io ), surface de la sphère, volumes des parallélépipèdes et volume de la pyramide (qu'Aryabhata fait égal à la moitié du produit de la base par la hauteur), enfin volume de la sphère (que le même Aryabhata fait égal au produit de la surface d'un grand cercle par la racine carrée de cette surface).
En Arithmétique, ils parviennent directement aux notions du produit et du quotient, de la racine carrée et de la racine cubique, sans mélange apparent d'idées de quatrième proportionnelle, de moyenne proportionnelle, ou d'insertion de deux moyennes proportionnelles entre deux longueurs.
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Il paraît même que les incommensurables ne les étonnent ni ne les effrayent, si bien qu'en Algèbre ils en viennent aisément à laisser les données quelconques et à les représenter par les initiales des mots qui en définissent la nature.
Ils somment les progressions arithmétiques, résolvent complètement l'équation du second degré, enfin obtiennent toutes les solutions entières de certaines équations du premier et du second degré à deux inconnues.
En Trigorjométrie, ils se servent tout d'abord des sinus^ sans passer par les cordes.
Les ouvrages des Hindous qui nous sont parvenus ne contiennent, pour l'Arithmétique, que des règles de calcul; pour la Géométrie, que des énoncés de théorèmes ; et, pour l'Algèbre, que des résultats. Il serait donc bien difficile de savoir quelle marche ils suivirent pour parvenir à chacune de leurs découvertes.
On ne sait, par exemple, pas d'une façon certaine comment ils sont parvenus à la formule de résolution de l'équation générale du second degré.
Ils étaient médiocrement géomètres, et, d'un autre côté, tout porte à croire qu'ils n'ont pas connu les Éléments d'Euclide.On s'explique donc qu'ils n'aient pas eu l'idée de tirer cette formule de la construction qui fournit les deux côtés d'un rectangle dont on donne le demi-périmètre et la surface, en supposant, ce que nous admettons, qu'ils eussent su éliminer l'une des inconnues entre les deux équations
et
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Ils auraient pu parvenir à cette formule soit en faisant disparaître le second terme de l'équation, comme l'a fait Viète, soit en rendant carré parfait le premier membre de l'équation, comme nous le faisons.
M. Léon RoJet, dans son Algèbre d'Al-Khârizmi, démontre assez clairement pour qu'on puisse admettre le fait, queBhâskara et, probablement Brahmagupta résolvaient l'équation du second degré en en rendant le premier membre carré parfait.
Cependant je suis encore tenté d'admettre que la démonstration indienne fut d'abord celle que nous a transmise Mohammed ben Musa Al-Khârizmi et qui a été reproduite ensuite, avec des variantes presque insignifiantes, par Léonard de Pise et par Cardan.
Non seulement il me semble que la singularité de cette démonstration s'harmonise parfaitement avec la bizarrerie de la manière générale d'être et de penser des Hindous, mais on ne s'expliquerait pas, si la démonstration n'avait pas eu, du temps de Mohammed, un droit acquis de cité en Algèbre^ comment les Arabes, qui d'une part connaissaient Euclide et qui, de l'autre, savaient parfaitement effectuer le produit de deux binômes, auraient, et d'une façon si défectueuse, appliqué des considérations géométriques à une question dont la Géométrie avait fourni depuis si longtemps la solution directe et immédiate.
Cela était permis aux Hindous; ce serait d'autant plus inexcusable de la part des Arabes et des Italiens, s'ils n'avaient pas été retenus par le respect pour une tradition, qu'ils pouvaient plus aisément résoudre la question par une de nos méthodes abstraites, sans intervention d'aucune considération géométrique, ou au moins prendre la formule de résolution dans Diophante, en fai-
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sant directement l'élimination de l'une des inconnues entre les équations
et
de manière à tomber sur l'équation du second degré complète. Après avoir tiré des équations précédentes
X[X-p)^q, c'est-à-dire
x'~px = q, oa
X^-~px -r- q,
suivant leur manie de n'inscrire jamais un terme que dans le membre de l'équation où il serait additif (ce qui a pu les empêcher de trouver la bonne méthode de solution), ils n'auraient eu qu'à remarquer que Diophante avait trouvé la formule de l'inconnue en résolvant autrement les deux équations proposées. Ce simple rapprochement suffisait à la rigueur et aurait bien mieux valu que l'amphigouri géométrique qui a servi de démonstration jusqu'à Viète.
M. Léon Rodet attribue à cette démonstration géométrique une origine grecque; mais je ne vois pas à quel Grec en faire remonter l'invention.
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Invention des formules des mesures des surfaces et volumes.
Non seulement il n'y a aucunement lieu de douter que les géomètres grecs aient parfaitement su évaluer en nombres l'aire d'une surface polygonale, ou le volume d'un polyèdre, dont les dimensions linéaires leur auraient été fournies en nombres, mais il est même infiniment probable que l'art d'obtenir ces mesures avait de beaucoup précédé leurs spéculations théoriques.
Il n'y a pas d'inventeurs à citer pour des propositions telles que : un rectangle qui adeux stades de base et trois de hauteur, contient six carrés ayant un stade de côté ; un parallélépipède rectangle dont les côtés ont deux, trois et quatre stades, contient vingtquatre cubes ayant un stade de côté.
Il n'y en a pas d'avantage pour celles qui concernent les évaluations de l'aire d'un triangle ou du volume d'une pyramide, dont la base et la hauteur sont données en nombres exacts et entiers, au moins dès que la théorie a permis de constater qu'un triangle est la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et qu'une pyramide est le tiers du parallélépipède rectangle de base équivalente et de même hauteur, etc.
Mais il y a loin des règles pratiques d'évaluation, dans les cas simples qu'on vient de supposer, aux formules théoriques des mesures. Les deux conceptions sont si éloignées l'une de l'autre, que les besoins des praticiens et ceux des théoriciens à cet égard, étaient presque contraires, et que, d'ailleurs , les praticiens savaient parfaitement à l'avance ce qu'ils voulaient, tandis que les théoriciens non seulement n'ont rien préparé, mais n'ont même que
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bien péniblement entrevu les avantages qu'ils allaient obtenir en se plaçant au nouveau point de vue.
Ce que les praticiens cherchaient, c'étaient des évaluations aisément perceptibles, et, de même que pour rendre saisissable l'expression en nombres d'une distance,on l'a naturellement évaluée d'abord en stades, puis l'excédent en pas, le nouvel excédent en palmes, le troisième en doigts, etc. ; de même on a évalué l'aire d'un champ rectangulaire en stades carrés, en stades-pas et en pas carrés; en stades- palmes, en pas-palmes et en palmes carrées; en stades-doigts, pas-doigts, palmes-doigts et doigts carrés, etc.
Or ce n'était pas du tout ce qui pouvait convenir aux géomètres : pour que les formules des mesures des surfaces et volumes leur fussent utiles, c'est-à-dire pour qu'elles leur facilitassent l'établissement des relations entre les éléments des figures, au moyen des équations des mesures distinctes, quant à la forme, des surfaces ou des volumes équivalents, il fallait que ces formules ne dépendissent que d'une seule unité; c'est-à-dire il fallait que les unités de surface et de volume fussent reliées à l'unité de longueur, et que celle-ci fût unique.
Mais les géomètres ne se firent pas sciemment cette méthode; ils ne devinèrent pas à l'avance que l'emploi des formules des mesures des surfaces et volumes pourrait faciliter leurs recherches théoriques; au contraire, ce n'est que peu à peu et à la suite d'expériences longtemps répétées, sur une multitude d'exemples, qu'ils s'élevèrent à la conception nette de la méthode dont nous parlons.
Si nous en jugeons autrement, ce ne peut être que par suite des habitudes d'esprit que nous tenons de notre éducation; mais, pour peu qu'on y réfléchisse, on verra combien il était difficile
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d'apercevoir à l'avance le buta atteindre, qui était de faciliter la découverte des relations entre les éléments linéaires des figures.
Ce qu'il y a de certain, c'est que les géomètres grecs, malgré la grande intelligence dont ils ont donné tant de preuves, ne s'en doutèrent même pas.
Il ne faudrait pas aujourd'hui à un enfant une bien grande finesse pour dire : en prenant une unité de longueur suffisamment petite, on obtiendra, avec une approximation aussi grande qu'on le voudra, les mesures de toutes les surfaces et de tous les volumes, pourvu qu'on sache tout ce qui concerne ces surfaces et volumes, considérés en eux-mêmes.
Mais cette idée ne résout pas encore complètement la question : il y a encore une grande distance de la formule pratique de l'aire d'un rectangle, exprimée en carrés d'un très petit côté, à la formule théorique
où b et h désignent les mesures indéfiniment approchées de la base et de la hauteur du rectangle.
Ce dernier pas ne pouvait être franchi que par un peuple en possession d'un système de numération assez parfait pour suggérer le sentiment de la possibilité p 'exprimer exactement le rapport de deux grandeurs incommnsuradbles, malgré l'inaccessibilité réelle de cette exactitude.
Or les Grecs étaient bien loin de posséder un système de numération capable de leur inspirer une pareille idée.
Les Hindous seuls ont eu anciennement un pareil système de numération, mais aussi l'invention de leur svstèmede numération les a-t-elle naturellement conduits à celledes formules des mesures.
M. Marie. — Histoire des Sciences, II. 2*
iS Quatrième Période.
Ces deux inventions, inséparables Tune de l'autre, ont apparu en même temps et ont excité la même admiration chez les mêmes esprits, au moyen âge, où Ton voittous les traités d'Arithmétique contenir la théorie géométrique des mesures des surfaces et des volumes et tous les traités de Géométrie contenir, de même, l'exposition du systèmedécimal de numération, dansles chapitres relatifs aux mesures des surfaces et des volumes. 11 y a même des ouvrages qui ne contiennent que l'une et l'autre théorie ; tel est le suivant : Liber in quo terrarum corporumque continentur mensurationes Ababiichri qui dicebatur Heus, translatus a magistro Girardo Cremonensi de arabico in latinwn, in Toleto , abbreviatits (Abrégé du livre d'Ababuchri, dit Heus, contenant les mesures des surfaces et volumes, traduit de l'arabe en latin par Gérard de Crémone) dont la Bibliothèque nationale possède plusieurs copies.
Je le répète, les deux inventions ne doivent pas être plus séparées dans l'histoire des idées qu'elles ne l'ont été dans l'histoire des faits.
Progrès de la Géométrie.
Ils sont presque entièrement dus à Pappus et se résument essentiellement dans le théorème relatif aux surfaces et volumes de révolution et dans quelques théorèmes qui ont depuis formé la base de la théorie des transversales.
La Géodésie de Héron le Jeune forme un ouvrage à part; elle prélude à la réforme que subiront toutes les formules de Géométrie, par suite du changement de point de vue, qui doit
taire prévaloir la recherche des mesures directes des longueurs, surfaces et volumes comparés à des unités fixes, reliées entre elles, à la recherche plus indéterminée et, par suite, plus vague, des raisons entre grandeurs analogues, le terme de comparaison variant chaque fois avec la grandeur nouvelle à étudier.
Progrès de V A^^ithmétique .
Les Hindous imaginent le système de numération moderne.
Avicenne donne la règle de la divisibilité d'un nombre par 9 et rapplique à la preuve de la multiplication.
Les Hindous somment les progressions par différence, et les suites des carrés et des cubes des nombres entiers, de i à n.
Progrès de V Algèbre.
Les règles du calcul algébrique applicables aux quantités composées ne vont guère au delà de ce que fournit Tapplication des théorèmes de Géométrie relatifs aux surfaces de rectangles ou de carrés dont les côtés sont composés.
Mais TAlgèbre s'enrichit des méthodes de résolution des équations du premier et du second degré.
Quatrième Période.
Progrès de la Mécanique.
La théorie du levier, d'Archimède, est étendue au treuil et aux moufles; en même temps les machines se perfectionnent.
Progrès de V Astronomie.
Ils se réduisent essentiellement au perfectionnement des instruments d'observation, à la construction de tables trigonométriques plus complètes et plus approchées, enfin à des corrections peu importantes dans les valeurs des données astronomiques.
Cependant Albatégnius constate le mouvement de la ligne des apsides de l'orbite solaire.
Progrès de la Physique.
La force élastique des gaz comprimés commence à être connue, et les réfractions de la lumière sont mesurées plus exactement qu'elles ne l'avaient été par Ptolémée.
Progrès de la Chimie.
Gebcr décrit l'acide nitrique, Teau régale, le sel alcali, le sel ammoniac, la pierre infernale, le sublimé corrosif et le précipité
De Diophante à Copernic.
per se; il avait sans doute découvert une partie de ces corps. Déjà il regardait les gaz comme matériels.
Arnaud de Villeneuve découvre, selon toute apparence, Tespritde-vin, l'huile de térébenthine et l'acide sulfurique.
Ripley découvre l'esprit pyroacétique.
^^ Progrès de la Géodésie et de la Géographie. Christophe Colomb découvre l'Amérique.
Progrès de V Industrie et des Arts.
Gutenberg invente l'imprimerie.
