DIOCLÈS

(Ne vers 55o.)

Il inventa la cissoide pour arriver à la solution du problème de rinsertion de deux moyennes proportionnelles entre deux longueurs données.

86 Quatrième Période.

DIONYSIDORE.

(Né à Cydnus au vi" siècle. )

Il donna la première solution de ce problème qui avait occupé Archimède : Partager un hémisphère en parties proportionnelles à des nombres donnés, par un plan parallèle à la base; mais on ne sait quelles courbes il y employait.

BRAHMA-GUPTA.

(Né, d'après son propre témoignage, en 598.)

M. Colebrooke a reconnu que deux chapitres, le XII^ et le XVI 11% d'un ouvrage astronomique de Brahma-Gupta, intitulé Brahma-Sphûta-Siddhdîîta, (Traité d'Astronomie de Brahma, corrigé) étaient l'un un traité d'Arithmétique, ( Ganita), et l'autre un traité d'Algèbre [Kuttakâ] ; il en a publié une traduction en anglais en 1 8 17.

On y trouve, en fait de Géométrie, les énoncés du théorème du carré de l'hypoténuse et du théorème, employé par Ptolémée, sur l'égalité entre la différence des carrés de deux côtés d'un triangle quelconque et la différence des carrés des segments du troisième côté, déterminés par la hauteur correspondante ; la formule de la mesure de l'aire d'un triangle quelconque, ou d'un quadrilatère inscriptible, en fonction des mesures de ses côtés; une formule de l'aire du cercle, fondée sans doute sur cette remarque, qu'on sait d'ailleurs avoir été faite par les Hindous, que si l'on inscrit au cercle un polygone régulier d'un grand nombre pair de côtés, que l'on découpe tous les triangles composant ce

De Diophante à Copernic. 87

polygone, que l'on pLnce séparément au bout les uns des autres et sur deux lignes droites les bases de la moitié des triangles et les bases de l'autre moitié, ce qui formera deux scies, enfin qu'on fasse pénétrer les deux scies l'une dans l'autre, on obtiendra un parallélogramme dont, à la limite, la surface sera égale à celle du cercle et qui aura pour base une droite égale à la demi-circontérence, avec une hauteur égale au rayon. Enfin Brahma-Gupta attribue au rapport de la circonférence au diamètre la valeur y/ 10, exactement, malgré l'une des propositions de V Aryabhathiyam.

Ce fragment de Géométrie est complété par les formules des mesures des surfaces et volumes usuels.

Nous extrayons quelques énoncés de la traduction que M. Léon Rodet a bien voulu faire pour nous de ce fragment.

c( La différence des carrés de deux côtés (d'un triangle), divisée par la base, ajoutée et retranchée à la base ; les moitiés sont les segments; du carré d'un côté retranche le carré du segment (adjacent de la base), la racine est lacathète (la hauteur) », c'està-dire: Si ^,^,c sont les trois côtés d'un triangle, h la hauteur abaissée du sommet G sur le côté c, m et n les segments de ce

côté c.

d'ailleurs

Ptolémée faisait bien les mêmes calculs, mais ne connaissait pas les formules correspondantes; quant à Diophante, j'ai déjà fait la remarque que, connaissant la somme m -h n de deux nombres et la différence m- — n- de leurs carrés, il ne lui vient pas à Tesprit de diviser m- — n- par m -f- n. pour avoir m — n.

88 Quatrième Période.

On verra plus loin que les Arabes ni les Italiens de la Renaissance n'y songèrent pas non plus.

tt Quatre fois la demi-somme des côtés diminuée de chaque côté successivement, produit, racine, c'est le fruit exact », c'està-dire la surface (du quadrilatère); cet énoncé est suivi de plusieurs autres à peu près incompréhensibles et dont quelquesuns au moins sont faux. Mais Brahma-Gupta fait un tel mélange de formules de fruits usuels et de fruits exacts, qu'on ne sait jamais en quelle part il prend chacune de celles qu'il donne.

L'ensemble de ces énoncés présenterait, d'après M. Chasles, la solution des deux questions suivantes :

1° Un quadrilatère étant inscrit au cercle, déterminer en fonction de ses côtés, son aire, ses diagonales, les perpendiculaires abaissées des extrémités d'un côté sur le côté opposé, les segments déterminés par ces perpendiculaires sur le second côté et le diamètre du cercle.

2" Construire un quadrilatère inscriptible dont l'aire, les diagonales, les perpendiculaires, les segments et le diamètre du cercle soient exprimés en nombres rationnels.

Il semble que Brahma-Gupta, au lieu d'aborder des questions si difficiles, aurait mieux fait d'étendre un peu le champ de ses recherches.

L'énoncé suivant en a inspiré plusieurs analogues à Léonard de Pise : a Deux ascètes vivent au sommet d'une colline haute de h et distante de mh de la ville voisine; l'un, pour se renJre à cette ville, descend la montagne (supposée à pic), puis continue son chemin par la route; Tautre s'élève dans les airs à une hauteur x et, de là, pique droit sur la ville; s'ils ont fait le même chemin, à quelle hauteur s'est élevé le second r> .

La formule de x est

mh

et Brahma-Gupta la trouve exactement.

Il traite ailleurs des règles d'intérêt simple et exprime successivement le capital accumulé, le temps, l'intérêt et le capital placé, connaissant les trois autres quantités; il passe ensuite aux progressions arithmétiques et exprime le dernier terme, la somme des termes et le nombre de ces termes, connaissant la raison et deux des trois autres quantités; il trouve, comme Aryabhata,

Il s'occupe ensuite de résoudre, en nombres entiers, les équations indéterminées du premier degré, par la méthode du plus grand commun diviseur.

La partie de l'ouvrage qui se rapporte à la Trigonométrie contient la table des sinus de 3° | en 3° |, telle qu'elle avait été donnée par Aryabhata.

Une autre partie se rapporte à la solution de cette question : Étant donné un nombre entier n, non carré, trouver tous les nombres carrés dont les produits par n, augmentés de i, fournissent des carrés; en d'autres termes, trouver routes les solutions rationnelles de l'équation indéterminée

nx- -f- I =:j^-.

Voici la solution de Brahma-Gupta : On prend pour .v= un nombre de la forme

go Quatrième Période.

alors

nx

par conséquent nx- 4- i est un carré.

Maison ne sait comment Brahma-Gupta a raisonné pour arriver à cette solution.

La question avait été posée par Fermât à Wallis et à lord Brouncker, bien longtemps avant qu'on connût même le nom de Brahma-Gupta en Europe. Lord Brouncker avait alors donné la formule même de Brahma-Gupta.

Il serait impossible de méconnaître la rare habileté des Hindous dans les recherches relatives soit aux propriétés des nombres, soit aux transformations algébriques; mais si Ton considère d'une part leur quasi-nullité en Géométrie, et de l'autre la futilité des questions qu'ils se posent, on ne peut s'empêcher de. les mettre infiniment au-dessous des géomètres grecs.

Leur prédilection pour les solutions entières ou rationnelles des problèmes indéterminés est surtout caractéristique. Il est difficile de comprendre par quelle oblitération cérébrale tous les mathématiciens d'une nation ont été amenés à ne considérer comme dignes de remarque, dans l'accomplissement d'un phénomène continu, que les points particuliers où les variables ont des valeurs commensurables, sans s''occuper autrement de la loi ellemême.

Il est juste, toutefois, de compter à l'avoir de Brahma-Gupta la formule de l'aire d'un quadrilatère inscrit : La demi-somme des côtés est écrite quatre fois, on en retranche séparément leis côtés, on fait le produit des restes; la racine carrée de ce pro~

Diophante à Copernic. 91

duit est l'aire de la figure (version de M. Chasles). On ne peut pas dire qu'il ait pris celte formule aux Grecs, qui ne l'ont pas connue, tandis qu^on peut très bien admettre que les Grecs de la décadence et les Arabes aient trouvé chez lui celle de l'aire d'un triangle en fonction de ses côtés.

^ M. Chasles remarque que l'idée, assez originale et assez fine, il me semble, pour être exclusivement hindoue, de désigner sous le nom de sommet l'un des côtés d'un quadrilatère, par rapport au côté opposé, pris pour base, et de déterminer le quadrilatère par cette base, les segments qu'y forment les perpendiculaires abaissées des extrémités du sommet et ces hauteurs, a été reproduite par Gerbert vers 970 : et il n'admet pas que la numération décimale ait pu être communiquée aux occidentaux par les Hindous. Cela me paraît être une contradiction.