II
I io5
On voit , par cette table, qu'Aryabhata ne tient pas énormément à obtenir une grande approximation pour les valeurs de ses sinus, car il ne prend pour valeur de chaque différence que la partie entière du quotient
sinw^ sina ^
78 Quatrième Période.
peut-être ne croyait-il pas beaucoup lui-même à l'exactitude de sa formule.
La table donne, comme on voit, pour la valeur du rayon, qui est le sinus de 90°,
Ainsi, par une singularité vraiment hindoue, le nombre des divisions du rayon n'a pas été choisi à l'avance. C'est un résultat. Mais ce résultat est d'une exactitude tellement extraordinaire qu'elle va nous mettre forcément sur la voie des idées de l'auteur et nous faire connaître les recherches qu'il a dû faire pour préparer sa formule d'interpolation.
Si Aryabhata fait le sinus de 3°| égal à 225, nombre de minutes contenues dans 3°|, c'est évidemment parce qu'il regarde le sinus comme égal à l'arc; il mesure donc les arcs par les nombres de minutes qu'il contiennent ; par conséquent la demi-circonférence, pour lui, est représentée par
en conséquence le rayon doit être
Or, en divisant 10 800 par 3, 141 6, on trouve
3438, à une demi-unité près.
Cette coïncidence ne peut pas être fortuite, et bien certainement la condition de tomber sur la valeur 3438 pour le sinus de 90° a été celle que s'est imposée avant tout Aryabhata dans la construction de sa formule d'interpolation.
De Diophante à Copernic. 7g
Gela posé, il est facile de voir comment il a nécessairement dû raisonner pour y parvenir :
Il est évident que, si Ton considère des arcs en progression arithmétique à partir de zéro, tandis que la différence de ces arcs reste constante, la différence des sinus correspondants diminue sans cesse; par conséquent
sin(m + ij^ — sinma = sinm^ — sin(?72 — i)^,
moins quelque chose.
Cette chose inconnue varie en même temps que sinma; il est donc naturel de la représenter par
K sin ma :
c'est la formule linéaire d'interpolation, c'est la formule de Mariotte, de Gay-Lussac, de tout le monde.
Mais les sinus d'Aryabhata ne sont pas les nôtres; ils sont essentiellement conventionnels, grands ou petits, suivant le nombre de divisions du rayon; sin ma ne signifierait rien par luimême, c'est '—. qui indique l'étendue du champ déjà parcouru.
Aryabhata a donc dû se dire qu'il valait mieux écrire
. , . . , sinma
sinf m — la — sin7na :=sinina — smim — ila — Jv — -.
^ ^ sina
Arrivé là, comme on pourrait sans peine faire dix fois le calcul de la table des 24 sinus en un jour, il a dû essayer quelques valeurs de K et il a trouvé sans difficulté que l'hypothèse K — i donnait
8o Quatrième Période.
Voilà ce qui est probable.
Cependant il est possible, à la rigueur, qu'Aryabhata ait été beaucoup plus malin. Il est vrai qu'il faudrait lui supposer alors une adresse bien extraordinaire pour son temps.
La formule d'interpolation d'Aryabhata, en effet, ne donne pas seulement d'une manièreexacte (dansleslimites, bien entendu, des approximations numériques) la valeur du sinus de 90°; elle donne tout aussi exactement les valeurs des sinus de tous les arcs de la série! Elle est, théoriquement, d'une exactitude absolue! Aryabhata l'a-t-il su? Je l'ignore. Ce qu'il y a de certain, c'est que Purbach ni Régiomontanus ne s'en sont aperçus.
Peut-être Delambre le savait-il, car il dit, page xxxi de son Introduction à F Histoire de V Astronomie du moyen âge :
c( Cette construction (de la table des sinus) qui suppose une formule inconnue aux Grecs et aux Arabes, est si nouvelle pour nous, que j'ai cru, pendant plus de dix ans, en être le premier auteur. Elle est accompagnée d'une théorie très incomplète, qui a fait que la table indienne ne procède que de 3° f en 3° |. Si les Indiens avaient bien compris leur méthode différentielle, ne s'en seraient-ils pas servis pour avoir une table complète, ou, du moins, de degré en degré? Ils n'ont donc pas bien senti l'importance de la méthode. Ils n'ont pas su l'appliquer. »
Mais je n'ai trouvé dans Delambre d'autres traces de la méthode à laquelle il fait allusion dans le passage qui précède, que ce qu'il en dit dans l'article consacré à Purbach ; or la méthode de Purbach n'est pas celle d'Aryabhata, ce qui me fait croire que Delambre n'avait pas sous les yeux la formule d'Aryabhata, qui, sans doute, n'avait pas encore été donnée exactement.
Quoi qu'il en soit, il est facile de démontrer, comme je l'ai dit
De Diophante à Copernic. 8i
plus haut, que la formule d'interpolation hindoue donnerait des résultats rigoureusement exacts si les calculs numériques pouvaient être faits avec une approximation indéfinie.
En effet, remarquons d'abord que si l'on veut la traduire en langage moderne^ comme le rayon peut être un nombre quelconque, il faudra Técrire sous la forme
r* • / \ T-» • 1-» • T% • / ^ s'inma
Ksinfm H- i)a — Rsinm^ = Ksinm<2 — Rsin{m — i]a r ?
^ sina
R désignant le nombre des parties du rayon, et les sinus qu'elle contient étant, maintenant, ceux que nous appelons sitius naturels.
Cela posé, si on développe l'équation, Rcosma sïna disparaît dans les deux membres et, en divisant tous les termes par sïnma, on trouve
2Rsin<^(i ^ cosa) = i.
Ainsi pour que la formule donne des résultats absolument exacts, il suffit que R et a satisfassent à la condition
2 R sin <3 ( I — cos <^ ) = I ,
c'est-à-dire que, quel que soit le nombre de divisions que l'on forme dans le rayon, il y aura toujours un angle a, raison de la progression des angles, tel que la formule d'interpolation fournisse d'elle-même des valeurs rigoureusement exactes pour les sinus de tous les angles contenus dans cette progression.
Et, réciproquement, quelle que soit la raison de la progression des angles que l'on veut insérer dans la table, il y aura toujours pour le rayon un nombre de divisions tel que la formule d'interpolation donne des résultats rigoureusement exacts.
M. Marie. — Histoire des Sciences, II. 6
82 Quatrième Période.
Si Ton se donnait le nombre de divisions du rayon, il faudrait, pour trouver sina ou cosa, résoudre une équation du troisième degré; tandis que, si Ton se donne l'angle, ou son sinus et son cosinus, on aura immédiatement
2 sin^(i — cosa
Ce n'est pas amsi que s'y prend Aryabhata, et c'est, je crois, une preuve non seulement que sa théorie n'était pas complète, mais qu'il n'a dû arriver à l'hypothèse K =: i que par des tâtonnements, en cherchant à arranger la formule
. , ■ . . . , Tr sinm^ sin(772 -h i)a — smma rrr smma — sin m — jja — K. — -. ,
de façon qu'avec sin<î = 225 pour point de départ, elle donnât en définitive
singo":— 3438,
3438 ayant été préalablement obtenu au moyen de la valeur de 71:.
Je ferai encore remarquer qu'en supposant à Aryabhata les connaissances nécessaires pour se rendre bien compte de sa méthode, on serait fort embarrassé pour expliquer comment, au lieu de tomber sur sa singulière formule, il ne serait pas parvenu, ce qui était plus facile, à celle de Simpson, qui revient à la sienne
sin{m -h i)a — sinm^z == sinm<3 — sin (m - i)a — K sin ma, dans laquelle
K — 2 (i — cosa)
De Diophante à Copernic, 83
et qui convient à toutes les suites d'angles en progression par différence, sans aucune condition.
Quoi qu'il en soit, on est obligé d'accorder à Aryabhata soit des connaissances assez étendues en Trigonométrie, soit une sagacité bien extraordinaire et encore plus méritoire que la connaissance de quelques formules.
La condition
2Rsin<2(i — cosa) -^ i peut s'écrire
4R sinasin^^a ^^ i>
et, si l'angle a est assez petit, on peut y remplacer sin^^a par
Elle devient alors
Rsin^<î := I.
Si l'on y substitue les nombres d* Aryabhata, c'est-à-dire ^-^ pour s'ma et 3438 pour R, le premier membre se réduit à
ou
On voit que la condition n'est pas exactement remplie, mais qu'il s'en faut de bien peu.
Aryabhata était-il déjà en possession de la numération décimale écrite? On a longtemps mis en avant, dit M. Léon Rodet, deux preuves qui paraissaient résoudre la question négativement,
84 Quatrième Période.
mais des découvertes plus récentes font aujourd'hui pencher la balance vers l'affirmative.
Aryabhata^ a-t-on dit, ne connaissait pas la numération décimale écrite, puisqu'il en a imaginé une autre. D'après M. Léon Rodet, cette nouvelle notation n'aurait été inventée que dans le but unique de faire entrer dans des strophes versifiées les tables des données numériques utiles à TAstronomie, et l'explication donnée par Aryhabata lui-même de son système supposerait expressément les nombres préalablement écrits dans le système décimal; il serait encore plus explicite dans son exposition de la méthode pour l'extraction des racines carrées, 011 il parlerait d'ajouter, au besoin, deux zéros à la droite du nombre, déjà séparé en tranches de deux chiffres.
D'un autre côté, jusqu'à la fin du v^ siècle, les inscriptions trouvées dans l'Inde proprement dite, Hindoustan, Guzerate et Surâshtra sont datées en chiffres hiératiques, c'est-à-dire que les mêmes nombres d'unités, de dizaines, de centaines, etc., sont représentés par des caractères différents, sans zéro, par conséquent; et ce n'est que depuis le vni^ siècle qu'on voit apparaître, dans les mêmes contrées, les chiffres décimaux et le zéro. Mais on a trouvé, au Cambodge et à Java, des inscriptions datées en chiffres, avec le zéro, qui remontent jusqu'à 669.
En tout cas, de nombreuses inscriptions prouvent que les chiffres décimaux étaient d'un usage courant dans toute l'Inde, du temps oîi le khalife Al-Mamoun envoya plusieurs savants, de ses sujets, s'enquérir de l'état des connaissances scientifiques des Hindous. Or c'est là ce qu'il importait le plus de savoir.
De Diophante à Copernic. 85
EUTOCIUS D ASCALON.
(vr siècle.)
Eutocius fut l'un des derniers successeurs de Platon à la tête de l'École d'Athènes, il vivait sous le règne de Justinien.
Il a laissé des commentaires sur Apollonius de Perge et sur Archimède. Ses commentaires sur Apollonius ont été joints par Halley au texte de l'auteur des Coniques. Les commentaires sur Archimède ont été publiés à part (Bâle, 1 544), et reproduits dans l'édition d'Oxford. On y trouve des notions exactes sur les procédés en usage dans l'école d'Alexandrie pour les calculs numériques. Eutocius explique longuement les règles relatives à la multiplication et à la division des nombres entiers joints àdes fractions. Il traite aussi des racines carrées; nous avons vu que Théon d'Alexandrie avait donné la règle pour leur extraction.
La numération écrite d'Eutociusest celle des anciens Grecs; en sorte qu'il y a lieu de penser qu'il n'avait pas entendu parler de celle dont on attribue la connaissance à Boëce.
