TRAVAUX DE LAGRANGE

Calcul des fonctions dérivées.

Nous dirons peu de mots de la tentative de Lagrange pour changer les bases de l'analyse infinitésimale.

La méthode des dérivées, malgré l'avantage qu'elle présente^ comparativement à la conception de Leibniz, de ne pas exiger des élèves une intelligence aussi prompte et aussi sûre, une finesse de perception aussi considérable, cette méthode n'est pas restée dans l'enseignement, et nous croyons que c'est à juste titre : d'abord parce que celle de Leibniz, par son principe même, facilite bien davantage la mise en équation de tous les problèmes; en second lieu, parce que les différentielles de tous les ordres des variables considérées dans les questions que l'on traite, sont

De Lagrange à Laplace. 77

naturellement les grandeurs mêmes auxquelles se rapportent les énoncés de ces questions, celles auxquelles il n'est pas possible de ne pas songer en cherchant à traduire algébriquement ces énoncés, tandis que rien d'abord n'attire l'attention sur les rapports limites de ces différentielles; enfin, et surtout, parce qu'une équation différentielle d'un ordre quelconque présente immédiatement à l'esprit une idée nette, celle d'une relation entre divers états définis du phénomène auquel elle se rapporte, tandis qu'une équation dérivée, d'ordre supérieur, ne serait que difficilement traduisible en langage ordinaire, et que la traduction, même aussi claire que le comporterait le sujet, serait encore peu lumineuse.

Toutefois, en donnant pour base à sa méthode la possibilité d'identifier une fonction quelconque à une même fonction type, dont les coefficients seuls pourraient varier d'un cas à un autre et seraient d'ailleurs formés suivant une loi simple, au moyen des dérivées successives de la fonction considérée, correspondant à une valeur choisie pour la variable, Lagrange, comme nous l'avons déjà fait remarquer à propos de la théorie des fluxions, obtenait, dès le début, un moyen simple de mettre en évidence les services que serait appelée à rendre la considération des dérivées, la manière dont ces dérivées s'introduiraient naturellement dans les recherches, et le nombre qu'il en faudrait considérer dans chaque cas. Il retrouvait ainsi, sous une autre forme, un principe équivalent à celui de Leibniz.

En effet, si une fonction quelconques^ d'une variable x peut être identifiée à la fonction

■"-Kë)o

,^ ^, , x — x„ , (d-'v\ ix — x^'-

■78 Treizième Période.

jtq désignant la valeur dey qui correspond à x^Xq, on voit d'abord avec quelle facilité on pourra comparer entre elles deux fonctions d'une variable x, aux environs de la même valeur Xq, lorsqu'on les aura développées l'une et l'autre par la formule précédente ; et la théorie des contacts de tous les ordres entre deux courbes naîtra immédiatement de cette considération. D'un autre côté, il est bien clair que l'étude des variations de la fonction y, aux environs de sa valeur initiale j^oi se fera avec la plus grande simplicité, au moyen de la série qui la représentera, et le rôle

que chacun des coefficients différentiels (-j-) ^ ( -fi ) ? • • •

jouera dans la discussion à intervenir, sera tout indiqué d'avance.

Ainsi, Lagrange arrivait à réaliser les conditions de rigueur qu'il avait en vue, sans presque rien sacrifier des idées générales qui doivent former les premières assises de toute théorie bien conçue.

Néanmoins, nous ne craindrons pas de dire que nous préférons encore la méthode de Leibniz.

Lagrange a Naturellement cherché à étayer d'une démonstration inébranlable l'identité de Taylor

puisqu'elle devait former la base de la Théorie des fonctions analytiques. La démonstration qu'il en a donnée a été rejetée, mais pour de mauvaises raisons, les bonnes manquant encore à l'époque; elle avait au moins le grand avantage d'être algébrique, c'est-à-dire de convenir aussi bien aux valeurs réelles et imagi-

De Lagrange à Laplace. 79

naires de la variable. Les démonstrations arithmétiques qu'on y a substituées depuis se réduisent pour ainsi dire à cette naïveté qu'une quantité quelconque est égale à n'importe quoi plus un terme complémentaire destiné à compenser Terreur commise, ce qui était inutile à dire au point de vue arithmétique, et devient absurde au point de vue algébrique. Il est vrai qu'on est parvenu à donner une et même deux formes quasi-algébriques à ce terme complémentaire, ou Reste, mais dans l'hypothèse où la variable aurait exclusivement passé par des valeurs réelles, de sa valeur initiale Xq à sa valeur finale x; de sorte qu'en définitive, d'une part, l'égalité arithmétique des valeurs de la fonction et de son développement est aussi mal démontrée que possible, le Reste dépendant d'un ô inconnu; et, d'un autre côté, qu'il ne reste plus rien de l'identité algébrique, parce que le 6 en question, qui est déjà entièrement indéterminé, entre les limites o et i, lorsque (x—Xq) est réel, ne comporte même plus aucune limitation lorsque cette quantité est imaginaire, et manque alors complètement de sens.

Quoique l'objection qu'on aurait raisonnablement pu faire à la démonstration de Lagrange saute d'elle-même aux yeux, je ne sache pas qu'elle ait jamais été présentée. Voici en quoi elle consiste : l'auteur trouve très bien le moyen de déterminer les coefficients des termes de la série; mais il lui faut auparavant établir que le facteur (jc — Xq) ne peut entrer dans ces termes qu'à des puissances entières; or, voici pour cela, le raisonnement qu'il propose : Si, dit-il, x — Xq entrait dans un terme à une puissance fractionnaire, ce terme aurait plusieurs valeurs, la série en aurait donc aussi plusieurs, et la fonction n'en a qu'une; il y aurait donc contradiction.

8o Treizième Période.

Il est bien clair que Lagrange lui-même n'a pas pu prendre au sérieux ce raisonnement, car il lui eût alors fallu renoncer à développer Tordonnée de la plus simple des courbes, le cercle, puisque cette ordonnée a deux valeurs. Aussi ne rapporté-je ce raisonnement qu'à titre de curiosité scientifique, dont il n'existe malheureusement que trop d'autres spécimens. L'excuse de Lagrange, dans l'espèce, est que si la démonstration était faible, le théorème du moins était exact, ce dont il était parfaitement convaincu. Il eût mieux fait d'avouer l'embarras où il s'était trouvé; mais chaque savant^ avant de quitter la scène, tient à bâtir ainsi sa colonne d'Hercule, devant laquelle les générations futures devront s'arrêter avec respect. Quinze ou vingt ans après, une grenouille un peu plus hardie que les autres, s'aventure sur un point des premières assises de la colonne et n'y trouve que de l'argile, que ses gambades délayent; le troupeau entier y passe ensuite et la colonne s'effondre, pour faire place à une autre. Et il en sera toujours ainsi.

J'ai déjà dit que les démonstrations qu'on a essayé de substituer à celle de Lagrange valaient encore moins qu'elle; je crois que c'est ici le lieu d'expliquer d'abord pourquoi il ne sera jamais possible d'en trouver une seule bonne, et de montrer en second lieu que le fait, convenablement entendu, étant de toute évidence, n'a besoin d'être étayé d'aucune preuve.

Et d'abord la fonction définie par la série

/dr\ x-x. (d^r\ (x — x,Y

^'^\ibc),—r-^\:^^), 1.2 -^••-

ne peut jamais prendre qu'une seule valeur, quelque valeur réelle^ ou imaginaire qu'on donne à x, tandis que la fonction j^, sup-

De Lagrange à Laplace. 8r

posée définie par une équation algébrique, ce qui est le cas le plus simple, a toujours un nombre de valeurs égal au degré, par rapport à y, de l'équation qui définit cette fonction; l'identité n'est donc pas complète; si elle a lieu ce ne peut être que conditionnellement, c'est-à-dire pour une des formes de la fonction j^. Mais comment la démonstration de l'identité pourrait-elle se faire à l'aide de syllogismes généraux, sans entrer, dans chaque cas, dans la discussion de la fonction considérée ? Y a-t-il un moyen de distinguer les unes des autres les différentes formes d'une fonction multiple, surtout lorsqu'on se propose de donner à X une valeur imaginaire si peu différente que Ton voudra de la valeur initiale Xo?

Mais supposons qu'on ait voulu passer outre à cette difficulté, en se contentant de phrases creuses, au fond desquelles on aurait cru apercevoir quelque chose : la série, en tout cas, ne pourra représenter la fonction proposée, sous l'une de ses formes, qu'autant qu'elle sera convergente : comment la démonstration d'identité pourrait-elle être juste, si elle ne fait pas acception de la condition de convergence, c'est-à-dire de la limite jusqu'à laquelle cette démonstration s'applique? Or d'une part cette limite sera généralement aussi inconnue qu'introuvable et, d'un autre côté, si la série est assez simple pour la fournir d'elle-même, il pourra fort bien n'en résulter aucun enseignement, le fait manquant entièrement d'explication (*).

{') Nous citerons à ce propos la singularité suivante : la série qui donne l'arc dont la tangente est x devient divergente, dès que x dépasse la valeur i, parce que l'arc qui a pour tangente \/ — i est infini; cependant l'arc reste fini et continu lorsque la tangente varie par valeurs réelles entre — oo et -t- 30. Il eu résulte que les démonstrations arithmétiques s'appliquent dans

M. Marie, — Histoire des Sciences, IX. 6

Trei^^ième Période.

Enfin un dernier point à noter est que comme il serait la plupart du temps impossible de de'terminer directement la condition de convergence de la série par l'examen des termes qui la composent, on a au contraire recours pour cela à la discussion de l'équation au moyen de laquelle est définie la fonction y que l'on a développée; mais dans cette recherche nouvelle on suppose naturellement l'identité même qui était en question, car le raisonnement alors affecte la forme suivante : il arrive tel accident à la fonctionj^, lorsqu'on donne à x telle valeur; donc la série qui la représente doit devenir divergente à ce moment.

Mais il est temps de montrer que si la démonstration de l'identité de Taylor est impossible, elle est heureusement superflue.

Je suppose qu'ayant deux équations algébriques, de degrés différents, vous trouviez que pour x — Xo, elles fournissent pour y une même valeur j^oî puis, que les valeurs qu'elles attribuent

à (^T— ) sont aussi égales; qu'il en est encore de même pour

celles de ( -— \ ; enfin je suppose que vous puissiez constater

que la même concordance se reproduirait indéfiniment : je crois que vous tireriez immédiatement du fait la conclusion que le premier membre de l'une des équations entre en facteur dans le premier membre de l'autre.

D'un autre côté, deux courbes se raccordent d'autant plus intimement et se confondent d'autant plus loin, à partir de leur

tout l'intervalle et que l'on peut trouver pour le Reste une et même deux formes, affectées de Thétas, dont ni l'une ni l'autre ne refuse encore le service, alors que la série a déjà divergé depuis longtemps. Que reste-t-il alors de la formule de Taylor ?

De Lagrange à Laplace. 83

point de départ commun, que le nombre de leurs dérivées égales est plus considérable; et si ces dérivées restent indéfiniment égales les deux courbes ne se distinguent plus l'une de l'autre, dans un parcours plus ou moins long. Or la fonction définie par la série de Taylor, et la fonction définie par l'équation qui a fourni les coefficients de cette série, ont toutes les mêmes dérivées en nombre infini, les deux couibes dont elles sont les ordonnées se confondent donc, sauf, peut-être, que l'une est moins longue que l'autre. Au reste, que pourriez-vous faire de plus en faveur de la première pour la rapprocher davantage de la seconde? Vous ne pourriez pas même emprunter à celle-ci une dérivée de plus.

Vous dites avec raison qu'une parabole est une ellipse dont les axes sont devenus infinis, vous le croyez, et vous vous refuseriez à admettre que deux courbes qui ont entre elles un contact d'ordre infini se confondent aussi loin qu'elles s'étendent l'une et l'autre! Cependant les deux faits sont du même ordre : la parabole n'est en réalité que la moitié tangible de l'ellipse devenue infinie.

Mais revenons à la théorie de Lagrange : il ne se préoccupe pas des conditions de convergence de la série de Taylor; mais, pour ce qu'il voulait faire de cette série, il n'avait pas besoin de recourir à ces conditions : pourvu en effet qu'aucune des dérivées de la fonction ne se trouvât infinie, pour le système des valeurs initiales JCo etj^o de la variable el de la fonction, il était évident d'avance que la série serait d'abord convergente tant qu'on ne donnerait à x que des valeurs suffisamment voisines, arithmétiquement,de Xq, si Xo et x devaient être réelles, ou, dans h cas contraire, des valeur? telles que le module de x — Xq fût suffisamment petit; il était donc certain d'avance que la série repré-

84 Ti'eipème Période.

senterait un segment plus ou moins étendu de la fonction, à partir de sa valeur initiale j^oj et cela suffisait, soit pour permettre l'établissement delà théorie des contacts, relativement à la courbe dont l'ordonnée serait représentée par la fonction considérée, soit pour donner une base certaine à la discussion de la marche de cette fonction aux environs de la valeur initiale j^oj soit, enfin, pour assurer l'emploi de la méthode d'intégration par série, dans les limites, quelles qu'elles fussent, oti la fonction proposée serait développable par la formule de Taylor, limites qui seraient aussi celles dans lesquelles la série intégrale resterait convergente; car une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées et intégrales, la limite du rapport des modules de deux termes consécutifs restant la même dans toutes ces séries.

Comme je ne retrouverai probablement pas l'occasion, dans cet ouvrage, de revenir sur la question, je crois utile d'essayer ici de compléter la théorie de la série de Taylor.

La première question qui se présente consiste à savoir comment on pourrait s'assurer que le développement fût possible, dans une limite plus ou moins étendue, à partir d'un système choisi de valeurs Xq et j^o de la variable et de la fonction, c'est-àdire comment on pourrait acquérir la certitude qu'aucune des dérivées de celle des fonctions jr qui acquiert la valeur j^o, pour x-=Xq, ne put devenir infinie.

Cette question qui peut, au premier abord, paraître très difficile est en réalité fort simple.

Si la valeur considérée, jtq, de la fonction j^, qui correspond à x=^Xoi est déjà infinie, la question se trouve par là tranchée :

De La grange à Laplace. 85

la forme correspondante de la fonction n'est pas développable, à partir de x — a'o-

Si j^o est fini et que, pour x = Xo, Téquation

qui définit les diverses formes de la fonction j^, n'admette la

racine j^=j^o qu'au premier degré de multiplicité, i-^) est

nécessairement fini, parce que la dérivée d'une fonction ne peut devenir infinie qu'aux points de la courbe, ayant cette fonction pour ordonnée, où la tangente à cette courbe est parallèle à Taxe des y^ c'est-à-dire oii la fonction y acquiert des valeurs égales.

La valeur dQ l-^\ étant finie, celle de [ -7--^ | se trouvera

aussi finie, pour les mêmes raisons et ainsi de suite.

On pourrait^ il est vrai, dans l'hypothèse précédente, supposer

que deux valeurs de -^ se trouvassent égales pour xr=Xo, ce

qui arriverait si en deux des points d'intersection de la courbe

par la droite

X '=^ Jfo,

les tangentes à cette courbe se trouvaient accidentellement parallèles. Mais cette difficulté s'évanouit d'elle-même parce que si j^o et j^i sont les deux valeurs de^, correspondant à x = Xo,

auxquelles correspondent des valeurs égales de -^, les dérivées

suivantes finiront par se séparer, à moins que les deux branches

de la courbe, qui partiraient des points

(xo,j-o) et (Xcj^i)

ne soient superposables, auquel cas, encore, les deux formes de la fonction, qui prennent les valeurs jtq et j^^, pour x^=Xo, seraient séparément développables, à partir de x =: Xo, sans offrir, d'ailleurs, d'autre singularité particulière que de présenter partout une différence constante, j^i — jr^.

Si j^o se trouvait être racine double de l'équation

mais que les deux valeurs de [ -^ ) fussent distinctes, les deux

formes de la fonction y^ qui partiraient de la valeur initiale j^„ seraient, pour les mêmes raisons que précédemment, séparément développables à partir de JK:r=Xo, seulement les coefficients des deux séries seraient formés des deux séries de valeurs des dérivées de j-, pour x ^= Xq Qt jy ^=^Xq.

Plus généralement : si j^o est racine d'ordre n de l'équation

et que p des valeurs de [ -7^ j se trouvent à la fois finies, distinctes et différentes des n — p autres, les p formes correspondantes de la fonction y seront développables.

Si parmi les n — p formes restantes de la fonction y, q d'entre elles ont leur première dérivée infinie^ ces q formes seront indéveloppables.

Si parmi les n—p — ^formes qui resteront, r d'entre elles ont leurs secondes dérivées finies, distinctes et différentes des

De Lagrange à Laplace, 87

n — p — q — r autres, les r formes correspondantes de la fonction jr seront développables.

Si, parmi les n — p—q — ^ formes restantes de la fonctions^, s d'entre elles ont leurs dérivées troisièmes infinies, ces s formes seront indéveloppables et ainsi de suite.

Or, il n'y a évidemment d'autre issue pour les formes d'une fonction, jusque-là confondues dans leurs valeurs et dans celles de leurs dérivées, que de présenter tôt ou tard, pour leurs dérivées d'ordres assez élevés, des valeurs soit distinctes, soit infinies. Car si deux formes de la fonction jy fournissaient indéfiniment les mêmes valeurs pour leurs dérivées de tous les ordres, elles se confondraient, c'est-à-dire que la courbe

dont l'ordonnée serait la fonction j^, aurait deux branches superposées, ce qui ne saurait arriver dans les courbes algébriques, si du moins on les suppose irréductibles.

Une infinité de courbes transcendantes présentent, en nombre infini, des branches égales et superposables, dont les ordonnées forment une progression arithmétique ayant, en général, une raison imaginaire, mais ces branches mêmes ne se confondent pas et leurs ordonnées sont toutes développables, à partir des mêmes valeurs de l'abscisse.

Ainsi il sera toujours possible de savoir si une forme d'une fonction est, ou non, développable par la série de Taylor, à partir d'une valeur donnée Xq de la variable.

Il reste à savoir entre quelles limites le développement pourra se faire, c'est-à-dire quelle sera la plus grande valeur que pourra

88 Treizième Période.

atteindre le module de [x^Xq], sans que la série devienne divergente. La question serait par elle-même insoluble si Ton ne commençait par écarter l'hypothèse, admise par Gauchy, que la série de Taylor pût devenir divergente pour tomber dans un cas illusoire, c'est-à-dire pour cesser, avec une apparence de motifs, de représenter la fonction, lorsque cette fonction pourrait acquérir^ à partir d'une valeur Xi, plus ou moins éloignée de jco, des valeurs distinctes, que la série ne pourrait pas également fournir, puisqu'elle n'en a jamais qu'une.

Gauchy admettait que si, pour x=.Xi, y devait prendre quelques valeurs égales, la série deviendrait nécessairement divergente pour des valeurs de x telles que le module de [x — Xo) dépassât celui de [x^ — Xq), sans quoi, pensait-il, cette série pourrait, au-delà dexr=Xi fournir indifféremment les valeurs distinctes des diverses formes de la fonction y^ qui seraient parties de la même valeur pour x ^=:x^.

Gette idée partait d'une manière fausse d'entendre la continuité : Gauchy, en effet, attachait à la continuité d'une fonction y l'unique condition que cette fonction pût prendre toutes les valeurs intermédiaires entre deux quelconques de ses valeurs. Mais la continuité n'exige pas seulement une condition, il en faut une infinité pour qu'elle soit réalisée. Il ne suffit pas que la fonction ne passe d'un état à un autre que par degrés insensibles, il faut qu'il en soit de même de toutes ses dérivées.

Il est au reste bien facile de se débarrasser de la difficulté soulevée par Gauchy : divergente ne signifie ni illusoire, ni capricante, mais infinie. G^est-à-dire que la série de Taylor, avant de devenir divergente, doit forcément prendre des valeurs de plus en plus grandes.

De Lagrange à Lapîace. 89

Cela posé si la forme de la fonction j^, développée à partir de X = Xo, doit prendre une valeur infinie pour x = Xi, il est bien clair que le développement ne pourra pas s'étendre au-delà de x = Xt, c'est-à-dire ne pourra pas s'étendre à des valeurs de X pour lesquelles le module de (x — Xq) dépasserait celui de [xi — Xo), puisque la valeur de la série, qui représente la fonction développée, tant que cette série est convergente, devrait croître indéfiniment lorsque x se rapprocherait de Xj.

Ainsi d'abord les valeurs de x qui feront acquérir à quelques formes de la fonction j^ des valeurs infinies pourront former des limites au-delà desquelles la série deviendrait divergente.

Mais ce ne seront pas les seules, et nous en avons déjà donné la raison, qui est qu'une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées.

11 en résulte, en effet, que si les dérivées de quelques-unes des formes de la fonction j^ qui prennent une même valeur j^i pour une valeur x^ de x, deviennent infinies à partir d'un certain ordre, la valeur x^ de x pourra former une limite au delà de laquelle la série deviendrait divergente, puisque les dérivées de cette série pourraient prendre des valeurs indéfiniment croissantes un peu avant que x atteignît la valeur x^.

La série elle-même, qui représenter^, deviendrait dans ce cas divergente par raison collatérale; elle devrait conserver une valeur finie pour cette valeur Xj de x, puisque la fonction serait restée finie, et si l'on y regardait de bien près on lui trouverait effectivement encore une valeur finie, mais cette valeur deviendrait infinie dès que x dépasserait Xj. Il arriverait dans ce cas que les termes généraux de la série elle-même et de celle de ses

90 Treizième Période.

dérivées qui devrait devenir infinie tendraient également vers zéro, pour jc = jc^, avec cette différence que la somme des termes, dans la première, resterait finie, tandis qu'elle deviendrait infinie, dans la seconde. Mais au-delà de x — x^ les termes généraux ne tendraient plus vers zéro.

Ainsi la convergence pourra être limitée aux valeurs de x pour lesquelles la fonction ou ses dérivées pourraient devenir infinies, à partir d'un certain ordre.

Mais il faudrait bien se garder de croire, comme Cauchy se Pétait imaginé, que le développement de l'une des formes de la fonction j^, caractérisée par la valeur initiale j^o et par les valeurs correspondantes de toutes ses dérivées, à l'infini, dût nécessairement se trouver arrêté à celle des valeurs critiques de x, c'està-dire pour lesquelles la fonction ou ses dérivées acquerraient des valeurs infinies, qui serait telle que le module de la différence entre Xq et cette valeur critique fût moindre que ceux des différences entre Xq et les autres valeurs critiques.

Pour que le développement de la forme considérée de la fonction jy se trouve limité à une valeur critique Xy de x, il faudra naturellement que cette forme de la fonction puisse, sans que le module de (x — Xq) ait dépassé celui de [xi — Xq), venir se confondre avec l'une des formes qui prennent des valeurs infinies pour X = Xi, ou dont les dérivées deviennent infinies pour cette même valeur.

Nous nous arrêtons là, parce que la discussion de ce dernier point exigerait la représentation des valeurs imaginaires de la variable et de la fonction.

De Lagrange à Laplace. 91

Calcul des variations.

Cette méthode dont Tinvention constitue l'un des plus beaux titres de gloire de Lagrange a pour objet de soumettre à des règles simples et uniformes la solution des deux problèmes qui avaient fait tant d'honneur aux Bernoulli : le problème des isopérimètres et celui de l'équilibre des systèmes déformables.

Pour mettre immédiatement cette conception dans tout son jour, il suffira de dire que le Calcul des variations va jusqu'à déterminer non plus des grandeurs ou des fonctions, mais des espèces.

Lagrange se propose de déterminer les fonctions arbitraires qui entrent dans la composition d'une formule type, de manière que cette formule satisfasse à de certaines conditions.

Ce que nous appelons formule type est la formule générale d'une classe de grandeurs, comme par exemple la formule des longueurs, celle des surfaces, celles des volumes, des poids des corps, etc., formules toutes infinitésimales.

Un exemple suffira pour éclaircir notre pensée : supposons une surface courbe donnée et deux points marqués sur cette surface : on pourra, entre les deux points, tracer sur la surface une infinité de courbes; la courbe tracée aura plus ou moins d'étendue, on pourrait donc se proposer de trouver la plus courte ligne qui pût joindre les deux points sur la surface donnée. Ce serait là un problème de minimum déjà fort compliqué.

Mais imaginons maintenant que la surface proposée change ainsi que les deux points, on trouvera une nouvelle courbe minimum. Cependant toutes les courbes les plus courtes que l'on

92 Trei^sième Période.

puisse tracer sur toutes les surfaces imaginables ont quelque chose de commun, elles forment une espèce particulière de courbes; c'est cette espèce que Lagrange se propose de déterminer.

Dans cette question, la grandeur qui doit satisfaire à une condition est une longueur, la formule type à considérer est donc celle des longueurs, cette formule est

Xjjr, !{ désignant les coordonnées rectangulaires d'un point de la courbe, et dx, djr, d:{ les différentielles de ces coordonnées.

Cela posé, la méthode de Lagrange consiste à considérer les fonctions arbitraires entrant dans la formule type (dans l'exemple, ce seraient si l'on voulait j^ et ^ qui seraient des fonctions arbitraires de x) comme capables d'une variation continue dans leur forme et à traiter les fonctions infiniment petites qui constitueraient les accroissements qu'elles auraient subis, comme des différentielles ordinaires, de façon à les soumettre par conséquent aux règles du Calcul infinitésimal.

Des maxima et minima des intégrales.

La question posée en termes analytiques consiste à déterminer les fonctions d'une même variable indépendante qui feraient prendre à une intégrale de forme déterminée ses valeurs maximum ou minimum.

Ainsi, si l'on choisissait arbitrairement ;^, ^, . . . , en fonction

De Lagrange à Laplace.

de jr, l'intégrale

dr d:^ d'r d^-^ . ,

dx dx dx^ dx

prendrait une certaine valeur dépendant de la forme de F, forme qui sera supposée fixe; si l'on choisissait ensuite d'autres fonctions pour exprimer j^, ^, . . . en x, l'intégrale prendrait une autre valeur : on peut donc se proposer de déterminer les fonctions de x qui, mises à la place de j^, ;{, . . . , rendraient l'intégrale maximum ou minimum.

Pour que l'intégrale soit maximum ou minim^um pour certaines valeurs en x de j^, {,..., il faut qu'elle prenne pour ces valeurs dej^, ^, . . ., une valeur plus petite ou plus grande que pour toutes autres valeurs en x de ces fonctions, ou, du moins, que pour toutes valeurs infiniment voisines, arithmétiquement, de celles auxquelles correspond le maximum ou le minimum.

Cela posé, si nous désignons par j^, ^, . . . , les fonctions cherchées, et par j^ -h w, j{ + w', . . . , des fonctions de x qui diffèrent infiniment peu de ^, ;f , . . . , pour toutes valeurs numériques de X, la condition à exprimer sera que la variation que subirait l'intégrale, lorsque l'on substituerait les fonctions j^ -H w, j(-h (o', . . . aux fonctionsj^, :{, . . . , soit constamment négative ou constamment positive.

Quelquefois, outre les fonctions jr, ^, • • -, on a encore à déterminer les limites Xq et jc^, assujetties seulement à de certaines conditions, concurremment avec j^o. ^o et j^i, ;{i : nous les supposerons donc inconnues, et si Xo et Xi sont les limites cherchées et Xq 4- oATo, Xi 4- oXi, des quantités infiniment voisines de x^ et Xi, il faudra que la variation de l'intégrale conserve encore le

94 Treizième Période.

même signe lorsqu'on remplacera à la fois j^, ^^ . . . , par x H- w, ;( + w', . . . , et les limites Xq et x^, par Xq -h Zxq et Xi -h Zxi. Ainsi la différence

dx '

dx ' ' rfx^ ' dx'

dx

devra conserver le signe -+- ou le signe —, quelles que soient les fonctions infiniment petites w, to', ... et quelles que soient les quantités infiniment petites 8xo et ox^.

La quantité placée sous le signe / dans la première intégrale

peut être développée suivant la formule de Taylor. En bornant

le développement aux termes infiniment petits du premier ordre,

, ^ , ,. , âfo) dw' d^M d^tû'

c est-a-dire aux termes en w, to', .,.,-=- , -, — ; • • • , -j— -, -r-r-? • • • ?

dx dx dx^ dx^

qui sont tous comparables entre eux, on remplacera cette première intégrale par la somme des suivantes :

rx^+i

Jx,i+Bx

'^*+^-^' , / dr^ dx d^r d^7 \,