L.X. ^H^'^'v-.-, ^--^ ^' ydx

■"'"^^•'■'t7' f dr d'r X ,^

De Lagrange à Laplace. gS

dx

, F^Ax^y, -f-, \--^ dx

La différence entre

r''^"'x7' ( àr \d\o' ^

et

£f(x,J',î,..., g,---)rfx

se réduit évidemment, en négligeant les termes d'ordres supérieurs, à la différence entre les valeurs de

pour x — Xo et pour ^=z^j, 8x recevant en même temps les valeurs Zxq et Sx, ; on note cette différence sous la forme

Les limites, dans les autres intégrales, peuvent être ramenées

Treizième Période.

à Xo et JCi, parce que ces intégrales sont déjà infiniment petites, comme contenant chacune sous le signe / deux facteurs infiniment petits, dx et l'une des quantités de même ordre w, w' . . ., S3Ï' SF' • • • ' ^' rf^' • ■ ■ • ^" '°'"'"' '■' "'' intégrales peut

donc être réduite à

£'f;(x.^,..., '£---yd^

dy \ doi' .

^-T— dx dx

dr \ dho ^ dx ' / dx-

dr \d'oi' , dx

dx dx^

Gela posé, la méthode consiste à transformer les intégrales qui contiennent des dérivées des fonctions infiniment petites w^ co', . . . , en d'autres qui ne contiennent plus que ces fonctions ellesmêmes, de façon à pouvoir réduire la variation totale de l'intégrale primitive, d'une part, à des parties toutes calculées, où

De Lagrange à Laplace. 97

n*entrent que les valeurs des variations w, w'^ . . . , aux limites, et de l'autre à une somme d'intégrales qui ne contiennent, sous le signe, l'une que w, l'autre que w', On y arrive très simplement par le procédé d'intégration par parties.

Ne nous occupons, pour le moment, que des intégrales qui

contiennent -j-j -r-:; ? • • • , le calcul se ferait de la même manière dx dx-

diù' d^tù' pour celles qui contiennent -j-j "^y"^'

Prenons d'abord l'intégrale

en y considérant 3— dx comme la différentielle exacte, et inté-

•^ dx

grant par parties, on la remplacera par

Considérons maintenant l'intégrale

• , , d^M , en intégrant de même par parties, en considérant -j-7 dx comme

la différentielle exacte, on la remplacera d'abord par

M. Marie. — Histoire des Sciences^ IX. 7

q8 Trei:çième Période.

Mais, en redoublant l'intégration par parties, on remplacera la dernière intégrale, précédée de son signe —, par

Ainsi l'intégrale en question se trouvera encore remplacée par une somme de parties dépendant des variations aux limites et d'une intégrale, ne contenant plus sous le signe que co, au lieu de sa dérivée seconde.

La même méthode réussirait évidemment de la même manière à transformer semblablement les intégrales qui porteraient primitivement sur les dérivées d'ordres supérieurs de w. Quant aux intégrales portant sur les dérivées de w', on les réduira de la même manière.

Cela posé, pour simplifier l'écriture, désignons par M, N, P, . . ., les dérivées de

par rapport kjr, ~, -r^y j • • • > qui entraient dans les expressions précédentes, et de même par M'^ N', P', . . ., les dérivées de la même fonction par rapport à ;{, -^^ ? -j-^j

Représentons, par suite, par -j—) -t—, -t-' '"' dérivées de M, N, P, . . . , par rapport à x, en y considérant j^, ;{, . . .,

De Lagrange à Laplace.

comme des fonctions de x^ et, de même par -t — j — — > -j— j • • • j

celles de M', N', P', . . . .

La variation totale de l'intégrale proposée sera alors représentée par

dx'' dx'"'

ùX

dx dx

dP dx

dx

rfN

,iN'

dx ^-P

(fx.

Or, pour que cette quantité ne change pas de signe, quels que soient w, w', . . . , et Ixq, Sxj, il faut qu'elle soit nulle d'elle-même, car autrement elle changerait de signe en même temps que w, w', . . ., oxo et 8jCi.

Mais elle se compose de deux parties essentiellement distinctes : la partie finie, dont la valeur ne dépend, outre 8xo et ojci, que

des valeurs, aux limites, de w, w', . . ., -^, -^, . . ., et l'inté-

dx dx

grale, qui dépend principalement des valeurs de w, w', . . . intermédiaires à leurs valeurs limites. Pour que la somme soit nulle^ il faut donc que les deux parties soient séparément nulles.

Mais 0), o)', . . ., sont complètement indépendants les uns des

Trei!{ième Période.

autres; il faut donc, pour que la somme des intégrales

r' ^ /at ^n ^-^p \

jxn

"' f^ fxKf ^N' ^"-P tii' dx[ M' -, \

\ dx dx-

soit nulle, que chacune le soit séparément, c'est-à-dire que y, ;(,..., satisfassent aux équations simultanées

^ ^ dx dx^ ' ' ' '

Ces équations, lorsqu'on pourra les intégrer, feront connaître y, ![, . . . , en fonction de x.

L'autre condition servira à déterminer les limites Xq et ati, Vo etj^i, to et ^1,

Si les fonctions j^, :{, . . ., étaient liées d'avance à x par une condition

l'une d'elles ne serait plus arbitraire, non plus que sa variation,] qui devrait satisfaire à la condition

d<û do ,

dy d^

Dans ce cas, ou bien on éliminerait préalablement cette fonction,] s'il était possible, ou bien on ne la considérerait jamais que] comme déterminée au moyen des autres et de x; rien d'ailleurs] ne serait changé à la théorie.

De Lagrange à Laplace.

Problèmes des isopérimètres.

Il arrivera fréquemment que les fonctions j^, :{, ..., soient assujetties à la condition qu'une nouvelle intégrale, différente de celle dont on cherche les maxîma et minimal doive être égale à une quantité donnée : les problèmes d'isopérimètres en offrent un exemple. Dans ce cas, on devra exprimer que la variation de la nouvelle intégrale est nulle comme celle de la principale : or, si les équations de ces variations à zéro sont, en supposant que la question ne comporte qu'une seule inconnue y^

dx dx^

on satisfera évidemment à la fois aux deux conditions en fai-

sant :rT- égal à une constante X, déterminant y en fonction de x

par l'équation différentielle — = X, reportant y exprimé au

moyen de a: et de X dans l'intégrale qui doit être égale à une quantité donnée, et déterminant la constante X en conséquence.

En effet, d'abord, la fonction j^ et la constante X satisferont à la condition voulue que la seconde intégrale ait la valeur assignée; en second lieu, les variations des deux Intégrales ayant entre elles le rapport fini X, Tune d'elles ne pourra pas être nulle sans que l'autre le soit.

Sur le nombre des éléments consécutifs qu'il conviendrait de considérer

pour trouver, par la méthode des BernouUi, la courbe remplissant une

condition énoncée de maximum ou de minimum.

L'analyse qui précède nous permettra de répondre à la question que soulevait d'elle-même la discussion de la méthode employée par les Bernoulli, Leibniz, le marquis de l'Hospital et Newton pour traiter les questions qui ressortissent aujourd'hui au calcul des variations, question que nous avions dû laisser provisoirement sans solution.

Les intégrales dont se sont occupés les géomètres dont nous venons de rappeler les travaux, ne portèrent jamais que sur une seule fonction inconnue j^; la question que nous allons examiner pourrait aussi bien être posée relativement à une intégrale portant sur un nombre quelconque de fonctions inconnuesj^,^, etc. Mais ainsi étendue, elle ne présenterait plus aucun intérêt historique. Au reste elle se résoudrait évidemment par les mêmes considérations. Nous nous bornerons donc à l'examen du cas où l'intégrale proposée porterait sur une seule fonction inconnue,^.

Cette question comporte deux solutions différentes selon que Ton suppose ou non qu'une théorie préétablie permette de parvenir à l'équation différentielle propre à définir la fonction inconnue, dès que la fonction placée sous le signe somme a pu être formulée. Dans le premier cas, il est bien clair que si la fonction, placée sous le signe, ne contient pas de dérivées de la fonction inconnue, dont l'ordre dépasse n, il n'y aura à considérer que n éléments consécutifs de la courbe cherchée, puisque cela suffira pour arriver à noter l'intégrale qu'il y aura lieu de considérer et que la recherche de l'équation différentielle

De Lag7'ange à Laplace. io3

cherchée ne dépendra plus que d'un calcul uniforme, toujours le même, quelle que soit la question proposée.

C'est ainsi qu'Euler a résolu la question, parfaitement d'ailleurs, relativement au point de vue où il se plaçait. Mais ce n'est pas là la question qui avait divisé les deux frères BernouUi, qui n'ayant aucun moyen de passer de la formule de la fonction placée sous le signe, à l'équation

,, ^N d-P dx dx-

cherchaient à arriver directement à cette équation. Dans ce cas, le seul qui présente un intérêt historique, la solution est toute différente.

Soient

l'intégrale à considérer dans la question et M, Mi, . . . . , M„ les dérivées de F par rapport k y, -J- '•- -j^^: d'après la théorie précédente, l'équation qui déterminera la fonction j^ sera

dx dx"'

et la question est de savoir à quel ordre elle s'élèvera. Or, M„

e dérid^U,

d"y contiendra généralement -t-=^ ? sans qu'il puisse y entrer de déri-

vées d'ordres plus élevés de y par rapport à x\ mais , ^ qui désigne la dérivée n^^^^ de M par rapport à x, en y regar-

dant^ comme une fonction de x, contiendra toujours -f^y si

Mn contient ■—-.

dx"'

104 Trei:(ième Période.

L'équation

qui devra déterminera^, sera donc en général de Tordre 2w; par conséquent, pour la former directement, il faudrait considérer 2n -\- I points consécutifs de la courbe qui devrait satisfaire à la condition de maximum ou du minimum; ou décomposer l'élément de cette courbe en 2« sous-éléments.

Bien entendu, ce qui vient d'être dit ne signifie aucunement qu'il doive être toujours impossible de réduire, par des considérations particulières ou des moyens spéciaux, le nombre des éléments à mettre en ligne : par exemple, l'Hospital et Jean BernouUi sont arrivés directement, pour la méridienne du solide de moindre résistance, à une équation différentielle du premier ordre; mais ils ne sont parvenus à des résultats si simples qu'à Taide d'artifices ingénieux, spécialement appropriés à la question. En sorte que les plaisanteries adressées par l'Hospital à Fatio, pour être de bonne guerre, n'étaient peut-être pas charitables, car, dans l'espèce, l'intégrale à rendre minimun, contiendrait bien la dérivée de la fonction inconnue.

Equilibre d'un système déformable.

Pour bien faire comprendre la méthode de Lagrange, nous supposerons d*abord qu'il s'agisse d'un nombre limité de points i^iX-) T)î [x'^y^ ^') . . ., liés les uns aux autres mécaniquement, de telle sorte que leurs coordonnées doivent constamment satis-

De Lagrange à Laplace, io5

faire à des équations

en nombre moindre que le triple du nombre de ces points.

Les mêmes conditions A = o, B == o, G = o, . . . , pourraient être rendues obligatoires de bien des manières différentes, c'està-dire par l'établissement de bien des systèmes équivalents de liaisons; mais, quels que soient les liens qui unissent effectivement les points considérés les uns aux autres, les conditions d'équilibre des forces qui les solliciteront seront toujours les mêmes. Ces conditions d'équilibre sont toutes renfermées dans l'équation de Lagrange

• 0 S(X 5jc -f- Y 8r -f- Z o;{) = o

OLi X, Y, Z désignent les composantes parallèlement aux axes, supposés rectangulaires, de la force appliquée en Fun des points (^iXi K)'i otiojc, ly, 8 ^représentent les variations que subiraient les coordonnées de ce point, par suite d'un déplacement virtuel quelconque du système, compatible avec ses liaisons ; où enfin le signe S indique la sommation à faire, pour tous les .points du système, des sommes partielles telles que

(Xoa:4-Y8;^ + Z8^).

L'équation doit rester satisfaite quel que soit le déplacement virtuel que l'on imagine, et par conséquent quelles que soient les variations ojc, 3^, 3^, Zx', . . ., correspondantes.

Le déplacement imaginé devant être compatible avec les liaisons du système, il en résulte que les coordonnées x^Zx, y -^ ^'Yi ^ -H 0^, jc' -t- lx\ . . . , des points , dans leurs nouvelles

io6 Trei:{ième Période.

positions , doivent continuer de satisfaire aux conditions A =r o, B = o, etc. ; par suite, les variations Bx, oj^, l\, lx\ etc. ; doivent elle-mêmes satisfaire aux équations différentielles des équations A = o, B = o, etc., c'est-à-dire aux équations.

/ dK. , ^A^ dK^ dA^ ,

i dx

Ainsi les conditions d'équilibre seront que l'équation

(i) S(X8x-i-Y8j^-hZ8j{) = o

reste constamment satisfaite, quelles que soient les variations Zx, 8^, . . . , pourvu qu'elles satisfassent aux équations ( 2). Supposons que les points

soient au nombre de m, et les équations A = o, B =0, . . . , au nombre de «, les 3 m variations des coordonnées des points du système n'étant assujetties qu'à n conditions seulement, il y en aura donc (3m — n) qui pourraient être choisies arbitrairement sans que les liaisons du système fussent rompues, les n autres variations étant, bien entendu, déterminées par les équations (2). Il en résulte évidemment que les conditions d'équilibre, dans ce cas, devraient être au nombre de (3 m — n).

Ces (3m — n) conditions seront toujours aisées à obtenir; en effet, si des équations {2), qui sont linéaires, on tirait n des variations en fonction des autres, et qu'on les remplaçât dans

De Lagrange à Laplace.

la somme

comme cette somme devrait être nulle quelles que fussent les (3m — n) variations restantes, il faudrait évidemment que les coefficients de ces variations restantes fussent séparément nuls. On trouverait donc de cette manière les (im — n) conditions cherchées.

On pourra les exprimer d'une autre manière en faisant l'élimination des variations arbitraires au moyen de la méthode des coefficients indéterminés.

Si Ton multiplie, les équations (2) par des indéterminées X, X', X'', ..., et qu'on les ajoute à l'équation (i), on pourra ensuite éliminer n des variations en déterminant X, X', ... , de manière que les coefficients de ces variations soient nuls; cela fait, et les X, X', ... , étant remplacés par leurs valeurs, il ne resterait, pour obtenir les conditions cherchées de l'équilibre, qu'à annuler encore les coefficients des autres variations.

Ainsi les conditions d'équilibre sont renfermées dans les équations

V , ^A ^,dB

dx dx

^ ^ dA ,, dB

dj^ dy