XLVII. — Sur quelques problèmes de l'Analyse de Dio

2o6 Treizième Période.

phante. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année

XLVIII. — Remarques générales sur le mouvemetît de plusieurs corps qui s'attirent mutuellement en raison inverse des carrés des distances. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1777.)

Ce Mémoire ne contient guère que des démonstrations nouvelles de théorèmes donnés précédemment par d'AIembert et qui ne présentent pas un très grand intérêt.

XLIX. — Réflexions sur l'échappement. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1777.)

L. — Sur le problème de la détermination des comètes d^ après trois observations. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1778 et 1783.)

« Le fameux problème de la détermination d'une comète d'après trois observations, sur lequel Newton s'est exercé le premier et dont il ne nous a laissé que des solutions imparfaites, a occupé depuis plusieurs grands Géomètres; mais leurs efforts n'ont presque abouti jusqu'à présent qu'à varier et à simplifier à quelques égards les méthodes proposées par Nev^ton, sans les rendre plus exactes et plus commodes pour la pratique. »

Lagrange discute la méthode de Newton^ celles de Bouguer, de Lambert, d'Euler et d'autres ; il montre qu'elles laissent encore toutes à désirer; enfin il propose une méthode « directe et analytique, qui donne d'abord, et sans tâtonnement, les premières valeurs des inconnues du Problème, et par laquelle on puisse

De Lagrange à Laplace. 207

ensuite corriger ces valeurs et les rendre aussi exactes qu'on voudra. )>

LI. — Sur la théorie des lunettes. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1778.)

La question que Lagrange traite dans ce Mémoire est de déterminer la route d'un rayon qui traverse un nombre quelconque de lentilles disposées sur le même axe. Ce problème avait été résolu par Côtes et par Euler. Lagrange en donne une solution plus simple, dont l'avantage est dû à des artifices de notations et de calcul.

LU. — Sur une manière particulière d'exprimer le temps dans les sections coniques décrites par des forces tendantes au foyer et réciproquement proportionnelles aux carrés des distances. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1778.)

Lambert avait démontré, dans son Traité sur les propriétés des orbites des comètes^ ce théorème que, « dans les ellipses décrites par des forces tendantes vers l'un des foyers, et agissantes en raison inverse du carré des distances, le temps employé à parcourir un arc quelconque ne dépend que du grand axe, de la corde qui sous-tend l'arc parcouru, et de la somme des rayons vecteurs qui joignent les deux extrémités de cet arc » ; en sorte que ces trois éléments étant supposés les mêmes, le temps serait aussi le même, quelle que fût d'ailleurs Tellipse parcourue.

La démonstration de Lambert était « fondée sur une transformation ingénieuse des secteurs elliptiques, de laquelle il résulte que si, dans différentes ellipses qui aient le même grand axe, on

2o8 Treizième Période.

prend des secteurs tels que les cordes et les sommes des deux rayons vecteurs soient les mêmes, ces secteurs sont proportionnels aux racines carre'es des paramètres respectifs ; d'où il résulte que les temps employés à parcourir les arcs de ces secteurs doivent être les mêmes, puisque, en général, le temps est comme l'aire du secteur, divisée par la racine carrée du paramètre. »

Ce théorème offrait un moyen de ramener la détermination du temps employé à parcourir un arc d'une ellipse donnée à celle du temps employé à parcourir un arc d'une autre ellipse ayant le même grand axe^ et même, comme le remarque Lagrange, au temps employé à parcourir une partie de ce grand axe, puisque l'ellipse arbitraire pouvait se réduire à son grand axe.

Mais la démonstration de Lambert était « purement synthétique » ; il paraîtrait même « difficile d'y parvenir par le calcul^ en sorte qu'on pourrait mettre le théorème en question dans le petit nombre de ceux pour lesque's l'Analyse géométrique semble avoir de l'avantage sur l'Analyse algébrique. »

Lagrange ne pouvait pas supporter que les choses restassent en cet état et il donne du théorème de Lambert une démonstration analytique.

LIIL — Sur différentes questions d'Analyse relatives à la théorie des intégrales particulières. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1779.)

Lagrange revient sur celui de ses Mémoires auquel nous avons donné le n° XXXI X^ et qui se rapporte aux intégrales particulières des équations différientielles, intégrales que nous appelons aujourd'hui singulières; il termine son préambule par ces mots : « Je vais maintenant appliquer la théorie des intégrales particu-

De Lagrange à Laplace. 209

Hères à la solution de différentes questions d'Analyse qui n'avaient pas encore été traitées, ou du moins qui ne l'avaient pas été sous le point de vue sous lequel on les considère dans ce Mémoire. Cette application donnera en même temps le dénouement de quelques paradoxes qui se présentent naturellement dans la solution de ces mêmes questions, et servira de plus en plus à montrer l'utilité et la nécessité de la théorie dont il s'agit, dans le Calcul intégral. »

Nous nous bornerons à un seul exemple, qui suffira pour donner une idée de l'intérêt qui s'attache au Mémoire qui nous occupe : l'équation de la développée d'une courbe

résulterait de Télimination de a: et j^ entre cette équation et celles qui donnent les coordonnées^ et q d'un point de la développée, savoir

^=r-^ ^2.. et p-=X

dx ) dy

(Pjr d-y dx

dx'^ dx-

Réciproquement, l'équation différentielle de la développante d'une courbe

serait

cT'r dx' ^^ d\r

L dx' dx'^ J

Cette équation différentielle étant du second ordre, son intégrale générale devrait contenir deux constantes arbitraires. Cepen- M. Marie. — Histoire des Sciences, IX. 14

2 10 Treizième Période.

dant, la développante d'une courbe est absolument déterminée quand on donne sur cette courbe l'origine à partir de laquelle se fait le développement; en sorte que son équation ne renferme effectivement qu'une seule constante arbitraire.

Lagrange fait voir que l'intégration, effectuée avec toutes les précautions convenables pour ne négliger aucun des résultats auxquels peut conduire l'équation différentielle en question , fournit en effet deux solutions, dont l'une mène à l'équation de la développante qu'on avait en vue, et l'autre à celle d'un cercle ayant son centre en un point quelconque de la courbe donnée et un rayon quelconque, lequel cercle s'engendrerait de la manière suivante : le mouvement régulier d'enroulement de la tangente à la développée s'arrêtant à un instant quelconque, pour faire momentanément place à un mouvement de rotation de cette tangente autour de son point de contact, le point de cette tangente qui devrait décrire la développante, décrirait en réalité le cercle en question. L'arc de la développée cesserait de croître, p et ^, par conséquent, resteraient constants ainsi que le rayon

\dxl , X» . X,

L j,^ ' ou (x-p)-^[r—qy

dx-

du cercle oscultateur à la courbe engendrée.

On conçoit que la question devait contenir cette solution, car la condition physique du mouvement de la tangente à la développée, laquelle était que Tune des lignes roulât sur l'autre cette condition a été, dans la mise en équation, transformée

De Lagrange à Laplace.

en cette autre que les arcs développés des deux lignes fussent égaux; or, ils restent bien égaux lorsqu'ils restent nuls l'un et l'autre.

LIV. — Sur la construction des Cartes géographiques. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1779.)

Ce que se propose Lagrange, dans ce Mémoire, est de trouver la solution la plus générale du problème de conserver les angles, dans la Carte, en laissant la figure circulaire aux courbes représentatives des méridiens et des parallèles. La question avait déjà été étudiée par Lambert et par Euler, mais les solutions proposées n'étaient pas suffisamment générales.

LV. — Mémoire sur la théorie du mouvement des Fluides, (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1781 .)

LVI. — Théorie de la libration de la Lune et des autres phénomènes qui dépendent de la figure nonsphérique de cette planète. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1780.)

« C'est un phénomène reconnu depuis longtemps que la Lune nous présente toujours la même face; mais ce n'est que depuis l'invention des lunettes qu'on a pu déterminer les lois de la libration, c'est-à-dire de ces balancements que la Lune paraît faire autour de son centre, et par lesquels, dans le cours de chaque mois, elle nous cache et nous découvre alternativement, vers ses bords, quelque partie de sa surface.

K Galilée est le premier qui ait observé la libration, mais il

Treizième Période.

paraît n'en avoir bien connu qu'une partie, celle qui se fait perpendiculairement à l'écliptique, et qu'on nomme libration en latitude. Hévélius découvrit ensuite la libration en longitude; mais il était réservé à Dominique Gassini de donner une explication générale et complète de ce phénomène. Il trouva qu'on pouvait satisfaire à toutes les apparences de la libration, en supposant: i^'que la Lune tourne uniformément autour d'un axe dont les pôles, fixes sur sa surface, soient constamment élevés sur l'écliptique de 87°!, et, sur le plan de l'orbite, de 82° |, et soient toujours sur un grand cercle du globe de la Lune, parallèle au grand cercle qui passe par les pôles de l'orbite et par ceux de l'écliptique; 2° que la rotation de cette Planète autour de son axe s'achève dans l'espace de 2 5 jours et 5 heures, par une période égale à celle du retour de la Lune au nœud de son orbite avec l'écliptique (il aurait fallu dire : 27 jours).

« Cette théorie, qui avait été publiée après la mort de Cassini, sans aucun détail, a été vérifiée par Tobie Mayer, qui trouva que le plan de l'équateur lunaire est incliné de 1° 29' sur le plan de récliptique, que la section de ces deux plans est toujours à peu près parallèle à la ligne des nœuds moyens de l'orbite de la Lune, en sorte que le plan de Técliptique tombe entre les deux plans de l'équateur et de l'orbite de la Lune, et que la Lune tourne, sur l'axe de son équateur, d'Occident en Orient, de manière que chaque point de cet équateur revient au point équinoxial lunaire dans un temps précisément égal à celui dans lequel la Lune revient au nœud par son mouvement moyen, c'est-à-dire dans l'espace de 27 jours 5 heures 6 minutes 56 secondes.

« Ces déterminations s'accordent avec celles de Gassini , à l'exception de l'inclinaison de l'équateur lunaire, que Gassini a

De Lagrange à Laplace. 2i3

faite de 20^ |, et que Mayer a diminuée de i°... Enfin, les déterminations de Mayer se trouvent confirmées par les observations de M. de La Lande...

« Telles sont les lois de la rotation de la Lune... L'accord des nœuds de Téquateur de la Lune avec ceux de son orbite, et l'égalité entre la révolution de Téquateur de la Lune par rapport à ses nœuds, et la révolution de cette Planète dans son orbite par rapport aux nœuds de cette orbite, sont peut-être les phénomènes les plus singuliers du Système du monde. Il résulte de leur combinaison que la durée de la rotation entière de la Lune doit être parfaitement égale à celle du temps périodique de cette Planète; et cette égalité est évidemment une suite nécessaire de ce que la Lune nous montre toujours la même face; phénomène qui, pour être connu depuis longtemps, n'en est pas moins extraordinaire, quoique d'ailleurs il ne paraisse pas unique dans le Système du monde...

oc Quoi qu'il en soit, comme le système de l'attraction universelle ne rend jusqu'à présent aucune raison de la rotation des Planètes autour de leurs axes, il n'en peut rendre aucune de l'égalité dont il s'agit... » Mais il suffit, pour expliquer le fait, de supposer «que la Lune ait reçu une vitesse de rotation primitive peu différente de sa vitesse moyenne de translation, et qu'ensuite l'action de la Terre détruise l'effet de cette petite différence, en empêchant le côté de la Lune qui est tourné vers la Terre de s'en écarter au delà d'un certain terme, à peu près comme l'action de la gravité retient autour de la perpendiculaire un pendule qui n'a reçu qu'une impulsion assez petite. »

Lagrange avait déjà proposé l'explication de la première partie du phénomène, dans ses Recherches sur la libration de la Lune,

2 14 Trei:çième Période.

qui obtinrent devant l'Académie des Sciences de Paris le prix de 1763 (*). Mais la coïncidence des nœuds de l'équateuf lunaire avec ceux de l'orbite lunaire restait inexpliquée. C'est à combler cette lacune que tend Lagrange, dans le nouveau Mémoire dont il s'agit ici.

LVIÏ. — Théorie des variations séculaires des éléments des Planètes. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1781.)

« Les observations ont prouvé que le mouvement elliptique des Planètes est sujet à de petites variations, et le calcul a démontré que leur attraction mutuelle peut en être la cause. Ces variations sont de deux espèces : les unes périodiques et qui ne dépendent que de la configuration des Planètes entre elles; celles-ci sont les plus sensibles, et le calcul en a déjà été donné par différents Auteurs; les autres séculaires et qui paraissent aller toujours en augmentant; ce sont les plus difficiles à déterminer, tant par les observations que par la théorie. Les premières ne dérangent point l'orbite primitive de la Planète; ce ne sont, pour ainsi dire^ que des écarts passagers qu'elle fait dans sa course régulière, et 1 suffit d'appliquer ces variations au lieu de la Planète, calculé par les tables ordinaires du mouvement elliptique. Il n'en est pas de même des variations séculaires. Ces dernières altèrent les éléments mêmes de l'orbite, c'est-à-dire la position et les dimensions de l'ellipse décrite par la Planète ; et quoique leur effet soit insensible dans un court espace de temps, il peut néanmoins devenir à la longue très considérable.

(') Ce Mémoire est inséré dans le Tome VI des œuvres de Lagrange.

De Lagvange à Laplace.

« C'est une Théorie complète de ces sortes de variations que j'entreprends de donner; objet qui intéresse également les Astronomes et les Géomètres. »

Lagrange avait déjà attaqué ces questions dans différents ouvrages; mais il crut «devoir reprendre cette matière en entier, pour la traiter à fond et d'une manière plus directe et plus

LVIII. — Théorie des variations périodiques des mouvements des Planètes, (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1783.)

LIX. — Sur les variations séculaires des mouvements moyens des Planètes. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1783.)

LX. ~ Théorie des variations périodiques des mouvements des Planètes, (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1784.)

LXI. — Sur la manière de rectifier les méthodes ordinaires d" approximation pour l'intégration des équations du mouvement des Planètes. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1783. )

LXIÏ. — Sur une méthode particulière d'approximation et d'interpolation. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1783.)

La question que Lagrange résout dans ce Mémoire est celle-ci:

2 1 6 Trei^ ième Période.

une fonction inconnue 9 (x)d'une variable x étant définie par une certaine relation connue qu'elle a avec celle de ses transformées que l'on obtient en remplaçant x par la fonction connue /(x), on propose^ étant donnée la valeur que prend 9 (x) pour une certaine valeur de x, de trouver celle qu'elle acquiert pour une autre valeur de cette variable.

LXIII. — Sur une nouvelle propriété du Centre de gravité. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1783.)

Lagrange trouve indirecte la méthode qu'on emploie ordinairement pour déterminer le centre de gravité, au moyen du théorème des moments. Il pense qu'il serait plus naturel de le déterminer au moyen du théorème suivant, dont il donne la démonstration :

« La somme des produits de chaque masse par le carré de sa distance à un point quelconque donné est égale au produit de la somme des masses par le carré de la distance de ce point au centre de gravité de toutes les masses, plus à la somme des produits des masses multipliées deux à deux entre elles et par le carré de leurs distances respectives, cette dernière somme étant divisée par la somme même des masses. »

LXIV. — Méthode générale pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre ^ lorsque ces différences ne sont que linéaires. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1785.)

« Si la naissance du Calcul intégral appartient au siècle dernier, il y a une branche importante de ce Calcul qui n'a été inventée qu'au milieu de celui-ci : c'est celle qui concerne les

De Lagrange à Laplace.

équations aux différences partielles, c'est-à-dire les équations qui contiennent les différentielles d'une fonction de plusieurs variables, prises relativement à chacune de ces variables en particulier.

« Tous les Problèmes de Géométrie où l'on coi>sidère des surfaces, et tous ceux de Mécanique où l'on considère des corps ou flexibles ou fluides, dépendent de la Théorie de ces équations. Les solutions qu'on peut trouver indépendamment de cette Théorie sont nécessairement incomplètes ou hypothétiques; et si l'on est souvent obligé de se contenter de ces solutions limitées, c'est faute de pouvoir intégrer les équations aux différences partielles dans lesquelles les solutions générales et rigoureuses sont renfermées.

« La plupart des recherches analytiques qu'on a faites depuis vingt ans ont eu pour objet l'intégrai ion de ce genre d'équations, et elles ont produit différentes méthodes plus ou moins générales et plus ou moins utiles. Une des plus étendues et des plus simples, tout à la fois, est, je crois, celle que j'ai donnée dans les Mémoires de V Académie de Berlin pour l'année 1779 (*), et qui apprend à intégrer toutes les équations aux différences partielles du premier ordre, dans lesquelles ces différences ne paraissent que sous la forme linéaire. Mais comme cette méthode n'y est exposée qu'en passant et presque sans démonstration, j'ai cru qu'il serait avantageux aux progrès du Calcul intégral de la présenter de nouveau de la manière la plus directe et avec toute la généralité dont elle est susceptible. C'est l'objet de ce Mémoire, qui contiendra aussi de nouvelles recherches sur le problème des trajectoires. »

(') C'est celui auquel nous avons donné le numéro LIV.

2i8 Treizième Période.

La méthode de Lagrange, pour l'intégration des équations linéaires aux différences partielles, a passé dans les cours; elle est donc suffisamment connue. Elle a simplement subi l'influence des notions apportées par Monge, mais qui n'ont aucunement trait aux procédés d'intégration.

LXV. — Théorie géométrique du mouvement des aphélies des Planètes^ pour servir d'addition aux principes de Newton. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1786.)

« La théorie du mouvement des aphélies est une des parties les plus importantes du Système du monde. Si les Planètes n'étaient soumises qu'à l'action du Soleil, leurs aphélies seraient immobiles; mais l'observation a montré que les aphélies changent de place, et il est naturel de regarder ce déplacement comme un effet de l'attraction mutuelle des Planètes. La détermination précise de cet effet est un Problème dont les difficultés n'ont pu être vaincues que dans ces derniers temps par le moyen d'une analyse aussi délicate que pénible. (Lagrange fait ici allusion à sa Théorie des variations séculaires.) Si cette analyse ne laisse rien à désirer pour la solution complète de la question, on peut néanmoins désirer encore une solution plus simple, plus à portée des Astronomes, une solution surtout du genre de celles des Principes mathématiques ^ et qui puisse servir de supplément à ce grand ouvrage. Un siècle s'est bientôt écoulé depuis qu'il a vu le jour, et un grand nombre d'Auteurs ont travaillé pour l'éclaircir et pour le compléter; mais il ne paraît pas que les parties qui ont en effet besoin d'être perfectionnées, Taient encore été d'une manière propre à former un véritable Commentaire. Ce sont celles surtout qui traitent du mouvement des fluides et de

De Lagrange à Laplace. 21g

l'attraction mutuelle des Planètes, c'est-à-dire une partie du second Livre et presque tout le troisième, oii Ton ne trouve plus cette rigueur et cette précision qui caractérisent le reste de l'ouvrage.

« Les problèmes que Newton n'avait pu résoudre avec les secours que son siècle et son génie lui avaient fournis, l'ont été ensuite en grande partie par les Géomètres de ce siècle; mais leurs solutions, fondées sur des principes différents et sur des analyses plus ou moins longues et compliquées, sont peu propres à servir de suite à un ouvrage qui brille surtout par l'élégance et la simplicité des démonstrations.

« Ce serait donc un travail très intéressant, de traduire, pour ainsi dire, ces mêmes solutions dans la langue des Principes Mathématiques^ d'y ajouter celles qui manquent encore et de donner ainsi à la plus grande production de l'esprit humain la perfection dont elle est susceptible.

« Je n'aurai pas la témérité de me charger de ce travail; mon objet est simplement de préparer les matériaux pour un ouvrage dont Texécution ferait peut-être autant d'honneur à notre siècle que l'Ouvrage même de Newton en a fait au siècle dernier.

« Il n'y a dans les Principes Mathématiques que deux endroits relatifs au mouvement des Aphélies. L'un est la proposition XLV du premier Livre, dans laquelle Newton donne une méthode générale de déterminer le mouvement des apsides dans les orbites décrites par une force tendante à un point fixe et proportionnelle à une fonction quelconque de la distance, lorsque ces orbites sont supposées presque circulaires; mais cette méthode ne s'applique point aux Planètes, parce que leurs forces pertubatrices ne sont point dirigées vers le Soleil, et ne sont point

220 Treizième Période,

exprimées par de simples fonctions de leurs distances à cet Astre.

« L'autre endroit est le scholie de la Proposition XIV du troisième Livre, où Newton avance sans démonstration que l'action réciproque des Planètes doit donner à leurs aphélies un mouvement direct en raison sesquiplée des distances moyennes, c'està-dire proportionnel aux temps périodiques. Cette loi est contredite par le calcul rigoureux des effets de l'attraction.

« L'Ouvrage de New^ton contient cependant le germe d'une théorie exacte du mouvement des Aphélies. Ce germe se trouve dans le troisième Corollaire de la Proposition XVII du premier Livre, OLi l'auteur remarque que, si le corps se meut dans une section conique et qu'il soit dérangé de son orbite par une impulsion quelconque, on pourra connaître la nouvelle orbite dans laquelle il circulera ensuite, en composant le mouvement que ce corps a déjà avec le mouvement que cette impulsion seule lui aurait imprimé; car par ce moyen on aura le mouvement du corps, lorsqu'il part du lieu donné dans lequel il a reçu l'impulsion suivant une ligne droite donnée de position.

« Or, comme les éléments de la section conique, c'est-à-dire ses dimensions et sa position, ne dépendent que du mouvement que le corps a dans un lieu quelconque, il s'ensuit que l'effet de l'impulsion qui dérange le corps de son orbite ne consistera qu'à changer les éléments de cette orbite, et qu'on pourra toujours déterminer le changement par la Proposition dont il s'agit; et si les dérangements sont continuels, on aura les changements continuels des éléments par la même Proposition. »

LXVI. — Sur la manière de rectifier deux endroits des Principes de Nexpton relatifs à la propagation du son et au

De Lagrange à Laplace. 221

mouvement des ondes. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1786.)

« Parmi les différentes Théories que Newton a données dans le fameux ouvrage des Principes Mathématiques^ les unes sont entièrement rigoureuses et ont toute la perfection dont elles sont susceptibles, les autres ne sont qu'approchées et laissent plus ou moins à désirer du côté de l'exactitude et de la généralité.

« A la première classe appartiennent les Propositions sur le mouvement des corps isolés et regardés comme des points, c'està-dire toutes celles du premier Livre et une partie de celles du second. On doit rapporter à la seconde classe les Propositions qui concernent la résistance et le mouvement des fluides, et surtout celles qui ont pour objet l'explication des phénomènes des marées, de la précession des équinoxes et des différentes inégalités du mouvement de la Lune.

a Les sujets du système du monde, comme les plus importants, ont déjà été discutés avec tant de soin par les premiers Géomètres de ce siècle, qu'il paraît difficile d'ajouter quelque chose à leurs travaux, si ce n'est peut-être plus de facilité dans les procédés et de simplicité dans les résultats. La Théorie des fluides a été également l'objet de leurs recherches, et s'ils n'y ont pas fait des progrès aussi marqués, on doit l'attribuer uniquement aux grandes difficultés dont la matière est hérissée. Les lois générales du mouvement des fluides ont été découvertes et réduites à des équations analytiques, mais ces équations sont si composées par la nature même de la chose, que leur résolution complète sera peut-être toujours au-dessus des forces de l'analyse ; et il n'y a guères que le cas des mouvements infiniment petits qui soit susceptible d'un calcul rigoureux.

Trei:{ième Période.

« Heureusement les vibrations des particules de l'air dans la production du son, et celles des particules de l'eau dans la formation des ondes sont à peu près dans ce cas; et par conséquent il est possible de déterminer les lois de ces vibrations d'une manière plus exacte que Newton ne Ta fait dans la section VIII du second livre des Principes, C'est ce que j'ai déjà fait ailleurs ; mais je me propose ici de faciliter aux commentateurs les moyens d'éclaircir et de corriger cet endroit, qui a été regardé jusqu'ici comme un des plus obscurs et des plus difficiles de l'Ouvrage de Newton. »

LXVII. — Mémoire sur une question concernant les annuités. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1792 et 1793.)

La question que se propose Lagrange est la suivante : « On demande la valeur présente d'une annuité constituée sur une ou plusieurs têtes dont les âges sont donnés, à condition qu'elle ne commence à courir qu'après la mort d'une autre personne d'un âge donné, et qu'elle cesse aussitôt que toutes les personnes, sur lesquelles l'annuité est constituée, auront passé un âge donné. »

LXVII I. — Mémoire sur V expression du terme général des séries récurrentes^ lorsque V équation génératrice a des racines égales. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1792 et 1793.)

LXIX. —Mémoire sur les sphéroïdes elliptiques. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1792 et 1793.)

De Lagrange à Laplace. iiZ

LXX. — Mémoire sur la méthode d* interpolation. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1792 et 1793.)

LXXI. — Mémoire sur V équation séculaire de la Lune. ^Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1792 et 1793.)

LXXII. — Mémoire sur une loi générale d'optique. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année i8o3.)

a Mon Mémoire sur la théorie des lunettes contient des formules générales pour déterminer la route des rayons qui traversent un nombre quelconque de lentilles dont les foyers sont donnés.

« Ces formules donnent un résultat remarquable par sa simplicité et sa généralité, que je n'ai fait qu'indiquer dans le Mémoire que je viens de citer, et qui mérite particulièrement l'attention des savants, parce qu'il offre une loi aussi utile en Optique que la loi des vitesses virtuelles Test en Mécanique. C'est ce que je vais développer dans ce nouveau Mémoire. »

Les Mémoires contenus dans ce volume sont extraits des Recueils de l'Académie des Sciences de Paris et de la classe des Sciences Mathématiques et Physiques de Tlnstitut de France.

En voici l'énumération :

LXXII I. — Recherches sur la libration de la Lune^ dans lesquelles on tâche de résoudre la question proposée par V Académie des Sciences pour le prix de l'année 1J64.

224 Treizième Période.

LXXIV. — Ce Mémoire a été refondu dans celui auquel nous avons donné le N° LVI.

LXXV. — Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter, causées par leurs attractions mutuelles.

Ce Mémoire, comme nous Pavons déjà dit, a disparu devant celui de Laplace sur la même question.