XXVIII. — Démonstration d'un théorème d'Arithmétique
iq2 Treizième Période.
(Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1770.) Ce théorème consiste en ce que tout nombre entier non carré peut toujours se décomposer en deux, trois, ou quatre carrés entiers. Bachet de Méziriac est le premier qui ait énoncé le fait, sans avoir pu le démontrer. « Fermât, dans les notes qu'il a ajoutées au Commentaire de Bachet sur Diophante, annonce un grand ouvrage où il promet de démontrer : que tout nombre est, ou triangulaire, ou composé de deux ou trois nombres triangulaires; qu'il est ou carré, ou composé de deux, ou de trois, ou de quatre carrés, et ainsi de suite; mais cet ouvrage n'a jamais paru. » Euler, dans le Tome V des Nouveaux commentaires de Pétersbourg, ramène la question à une autre plus simple : pour cela il démontre d'abord que si plusiei^rs nombres sont séparément des sommes de quatre carrés leur produit le sera aussi : d'où résulte que si le théorème de Bachet était démontré pour les nombres premiers il le serait pour tous les autres nombres. Il démontre de plus qu'z//2 nombre premier quelconque étant proposé, on peut toujours trouver deux ou trois nombres carrés dont la somme soit divisible par ce nombre, sans que chacun des carrés en particulier le soit, et que ces nombres carrés peuvent toujours être supposés tels que le quotient de la division de leur somme par le nombre premier donné soit moindre que ce même nombre; il en conclut que le théorème en question serait démontré pour tous les nombres premiers si l'on pouvait démontrer cette autre proposition que lorsque le produit de deux nombres est la somme de quatre carrés, et que l'un des facteurs est également la somme de quatre carrés, il en est de même de l'autre facteur.
C'est cette dernière proposition que démontre Lagrange.
De Lagrange à Lapîace. ig3
XXIX. — Réflexions sur la résolution algébrique des équations. (Nouveaux Mémoires de T Académie de Berlin, 1770 et 1771.)
« Je me propose dans ce Mémoire d'examiner les différentes méthodes que Ton a trouvées jusqu'à présent pour la résolution algébrique des équations, de les réduire à des principes généraux, et de faire voir à priori pourquoi ces méthodes réussissent pour le troisième et le quatrième degrés et sont en défaut pour les degrés ultérieurs. »
On sait aujourd'hui que la résolution algébrique des équations générales dont le degré dépassa cinq, est impossible. Le Mémoire de Lagrange n'en présente pas moins un grand intérêt rétrospectif; l'auteur y remet en honneur une remarquable méthode de Tschirhausen.
XXX. — Démonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers. (Nouveaux Mémoires de TAcadémie de Berlin, année ijji.)
Ce théorème consiste en ce que si n est un nombre premier quelconque, la somme
sera toujours divisible par n. Il avait été énoncé par Waring. qui en fait honneur à Jean Wilson, mais il restait à en trouver une démonstration.
XXXI. — Sur une nouvelle espèce de Calcul relatif à la différentiation et à l'intégration des quantités variables. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, J772.)
M. Marie. — • Histoire des Sciences^ IX. i3
« Leibnitz a donné, dans le premier volume des Mîscelîanea Berolinensia un Mémoire intitule : Symbolismus memorabilis Calculi algebraici^ et infinitesimalis in Comparatione potentiarum et differentiarum^ ctc.^ dans lequel il fait voir l'analogie qui règne entre les différentielles de tous les ordres du produit de deux ou de plusieurs variables et les puissances des mêmes ordres du binôme ou du polynôme composé de la somme de ces mêmes variables. Ce grand Géomètre a aussi remarqué ailleurs que la même analogie subsistait entre les puissances négatives et les intégrales, mais ni lui ni aucun autre, que je sache, n'a poussé plus loin ces sortes de recherches, si l'on en excepte seulement M. Jean BernouUi qui a montré comment on pouvait dans certains cas trouver l'intégrale d'une différentielle donnée en cherchant la troisième proportionnelle à la différence de la quantité donnée et à cette même quantité, et changeant ensuite les puissances positives en différences et les négatives en sommes ou intégrales. »
Lagrange tire de l'observation do Leibnitz « différents théorèmes généraux concernant les différentiations et intégrations des fonctions de plusieurs variables, dont la plupart sont nouveaux, et auxquels il serait d'ailleurs très difficile de parvenir par d'autres voies. »
Il en déduit notamment la démonstration qu'il a plus tard reproduite dans sa Théorie des fonctions analytiques du théorème de Taylor étendu à un nombre quelconque de variables.
XXXII. — Sur la forme des racines imaginaires des Équations, (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, 1772.) Lagrange propose du théorème de d'Alembert, dont il dit que
De La grange à Laplace. 195
la démonstration très ingénieuse ne lui semble rien laisser à désirer du côté de l'exactitude, une nouvelle preuve tirée de ce que toute équation d'un degré supérieur au second a pourrait toujours se partager en deux autres équations dont les coefficients fussent des quantités réelles », théorème qu'il établit par la considération des équations propres à déterminer les coefficients d'un diviseur, lesquelles conduiraient à une équation finale qui, étant de degré impair, aurait toujours au moins une racine réelle, etc.
XXXIII. — Sur les réfractions astronomiques. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1772.)
XXXIV. — Sur l'intégration des équations à différences partielles du premier ordre. { Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1772. )
Lagrange, dans ce Mémoire recherche principalement s'il serait possible de déterminer le facteur par lequel il faudrait multiplier une équation telle que
d:{ -pdx — qdyrzzo^
pour en rendre le premier membre intégrable.
Il donne plusieurs exemples oli la méthode s'applique.
XXXV. — Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation d'un corps de figure quelconque qui n'est animé par aucune force accélératrice. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1773.)
La question avait été résolue de deux manières différentes par
196 Tre^ième Période.
Euler et d'Alembert, au moyen de la considération des axes principaux d'inertie du corps, relatifs au point autour duquel il devait tourner, et en supposant la théorie géométrique de la composition et de la décomposition des rotations. Lagrange se propose de résoudre le problème d'une façon purement analytique et sans avoir recours aux considérations précitées. « A considérer, dit-il, le Problème en lui-même, il semble qu'on devrait pouvoir le résoudre directement et indépendamment des propriétés des axes de rotation, propriétés dont la démonstration est assez difficile, et qui devraient d'ailleurs être plutôt des conséquences de la solution même que les fondements de cette solution. ))
XXXVI. — Sur V attraction des sphéroïdes elliptiques. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1773) et Addition au Mémoire précédent (même recueil, année 1775.)
« Quelques avantages que l'Analyse algébrique ait sur la méthode géométrique des anciens, qu'on appelle vulgairement, quoique fort improprement synthèse^ il est néanmoins des problèmes où celle-ci paraît préférable, tant par la clarté lumineuse qui l'accompagne, que par l'élégance et la facilité des solutions qu'elle donne. Il en est même pour lesquels l'Analyse algébrique parait en quelque sorte insuffisante, et où il semble que la méthode synthétique soit seule capable d'atteindre.
« Le problèmeoù il s'agitde déterminer l'attraction qu'un sphéroïde elliptique exerce sur un point quelconque placé sur sa surface ou dans son intérieur, est de cette espèce. M. Maclaurin qui a le premier résolu ce Problème dans son excellente pièce sur le flux et le reflux de la mer, couronné par l'Académie des Sciences
De Lagrange à Laplace. 197
de Paris en 1740, a suivi une méthode purement géométrique et fondée uniquement sur quelques propriétés de l'ellipse et des sphéroïdes elliptiques; et il faut avouer que cette partie de l'ouvrage de M. Maclaurin est un chef-d'œuvre de Géométrie, qu'on peut comparer à tout ce qu'Archimède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. Gomme M. Maclaurin avait une sorte de prédilection pour la méthode des Anciens, il n'est pas surprenant qu'il l'ait employée dans la solution du Problème dont nous venons de parler; mais il l'est extrêmement, ce me semble, qu'un Problème aussi important que celui-là n'ait pas été résolu depuis d'une manière directe et analytique, surtout dans ces derniers temps où l'Analyse est devenue d'un usage si commun et si général. On ne peut, je crois, en attribuer la cause qu'aux difficultés de calculs que la solution de cette question doit renfermer lorsqu'on l'envisage sous un point de vue purement analytique.
« Je me propose dans ce Mémoire de faire voir que bien loin que le Problème dont il s'agit se refuse à l'Analyse, il peut être résolu par ce moyen d'une manière, sinon plus simple, du moins plus directe et plus générale que par la voie de la synthèse; ce qui servira à détruire un des principaux arguments que les détracteurs de l'Analyse puissent apporter pour la rabaisser et pour prouver la supériorité de la Méthode synthétique des Anciens. »
Lagrange est incontestablement parvenu, comme il le voulait, à résoudre analytiquement le problème en question ; mais il ne paraît pas moins incontestable que la solution qu'il en donne soit plus compliquée que celle de Mac-Laurin. Au reste l'expression Méthode des Anciens est peut-être vicieuse, puisque les modernes l'emploient aussi, quand ils le peuvent, ce qui n'est
KjS Treizième Période.
pas toujours facile, tandis qu'il n'y a aucun effort à tenter pour recourir à l'autre, qui se présente naturellement à Tesprit depuis qu'on sait calculer.
Ce qui distingue essentiellement les deux méthodes est que, dans la première, on passe de propositions à propositions par l'élimination en bloc, au moyen de rapprochements simples, mais difficiles à imaginer, de groupes de variables, et que dans la seconde les déductions se font par l'élimination successive de ces variables. C'est ce qui constitue, en faveur de la première, l'élégance relative que Lagrange lui reconnaît; mais, pour s'en servir, il faut commencer par reconnaître les groupes qui ne se dissocieront pas d'échelon en échelon, ce qui n'est pas toujours facile. Si la difficulté ne se présentait pas d'elle-même et trop souvent insurmontable, on ne recourrait jamais à la seconde Méthode.
Quant aux mots de synthèse et d'analyse, ils ne sont pas mal imaginés, car le premier rappelle l'idée de groupe et le second celle d'élément.
Au reste Lagrange, dans ce Mémoire ni dans Vaddition, n'ajoute rien à ce qu'avaient déjà trouvé Mac-Laurin et d'Alembert, relativement aux attractions exercées par des ellipsoïdes homogènes, de révolution ou quelconques, sur des points placés à leurs surfaces ou dans le prolongement d'un des axes.
XXXVII. — Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année lyyS.)
« Les problèmes qui vont faire la matière de ce Mémoire concernent la manière de trouver la surface, la solidité, les sphères circonscrite et inscrites, le centre de gravité, etc., de
De Lagrange à Laplace, 199
toute pyramide triangulaire dont on connaît les six côtés ; et je me flatte que les solutions que j'en vais donner pourront intéresser les Géomètres, tant par la méthode que par les résultats. »
XXXVIII. — Recherches d'Arithmétique. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1773 et ijyS.)
Ces Recherches ont pour objet les nombres qui peuvent être représentés par la formule
Bt--+-Ctu-+-Du%
où B, G, D sont supposés des nombres entiers et t^ 11 des nombres aussi entiers, mais indéterminés.
XXXIX. — Sur^ les intégrales particulières des équations différentielles. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1774.)
« On trouve dans un Mémoire de M. Glairaut, imprimé parmi ceux de l'Académie pour 1734, cette remarque singulière, qu'il y a des équations différentielles qu'on peut intégrer par la différentiation, et que les intégrales trouvées de la sorte ne sont jamais comprises dans les intégrales complètes que donnent les règles ordinaires de l'intégration^ quoique d'ailleurs ces mêmes intégrales satisfassent aux équations différentielles proposées et résolvent très bien les problèmes géométriques qui conduisent à ces équations.
« M. Euler a mis ensuite ces deux espèces de paradoxes dans un plus grand jour^ et il les a confirmés par différents exemples tirés de la Géométrie, dans un Mémoire intitulé ; Exposition de
Treizième Période.
quelques paradoxes dans le Calcul intégral^ et imprimé parmi ceux de l'Académie de Berlin dans le volume de lySb. Ce grand Géomètre avait aussi déjà remarqué, dans sa Mécanique^ qu'il y a souvent des solutions particulières qui échappent à la solution générale, et il avait même donné une formule pour trouver ces solutions particulières dans un grand nombre de cas; mais ni M. Clairaut, ni M. Euler n'avaient encore cherché les moyens de reconnaître à priori si une équation finie, qui satisfait à une équation différentielle donnée, est comprise ou non dans l'intégrale complète de cette équation différentielle, sans connaître cette intégrale.
« Ce Problème, qui est d'une grande importance dans la Théorie du Calcul intégral, a depuis été résolu par M. Euler dans le premier volume de son Calcul intégral. M. d'Alembert s'en est occupé aussi et en a rendu la solution plus rigoureuse et plus générale. (Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris pour 1769.) On trouve de plus quelques principes généraux sur le même sujet dans les Ouvrages de M. le marquis de Condorcet. Enfin, je viens de lire un Mémoire sur les solutions particulières des équations différentielles que M. de Laplace a donné depuis peu à l'Académie des Sciences et qui doit paraître dans le volume de 1772. Dans ce Mémoire, M. de Laplace perfectionne et étend plus loin la théorie déjà connue des solutions particulières, et, ce que personne n'avait encore fait, il donne des méthodes pour trouver directement toutes les solutions particulières qui peuvent satisfaire à une équation différentielle donnée, et qui ne seraient point comprises dans la solution générale de cette équation.
« Cette lecture a réveillé d'anciennes idées que j'avais sur la
De Lagrange à Laplace.
même matière et occasionné les recherches suivantes, dans lesquelles je me flatte de pouvoir présenter aux Géomètres une Théorie nouvelle et complète sur le point d'analyse dont il s'agit. »
La théorie de Lagrange est suffisamment connue, pour ce qui concerne les équations différentielles du premier ordre, dont on s était exclusivement occupé avant lui, elle est exposée en effet dans tous les cours de Calcul intégral, mais il l'étend aux équations différentielles d'ordres supérieurs et même aux équations à différentielles partielles. C'est au reste le même procédé qu'il emploie dans tous les cas, mais pour se rendre compte de ce procédé, il faudra lire le Mémoire lui-même.
XL. — Sur le mouvement des nœuds des orbites planétaires. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1774.)
a Un des principaux effets de l'attraction mutuelle des planètes est le changement de situation de leurs orbites. La théorie fait voir que si un corps qui se meut autour d'un centre, en vertu d'une force quelconque tendante à ce centre, est attiré par un autre corps mû autour du même centre et dans le même sens, mais dans un plan différent, le nœud, c'est-à-dire l'intersection de l'orbite du corps attiré sur celle du corps attirant, regardée comme fixe, a nécessairement un mouvement rétrograde et contraire à celui des deux corps, sans compter les inégalités périodiques qui auront lieu tant dans ce mouvement du nœud que dans l'inclinaison des orbites. C'est ainsi que les nœuds de la Lune rétrogradent sur l'écliptique d'environ 19° par an, par l'action du Soleil. La même chose doit donc avoir lieu aussi à l'égard des orbites des planètes principales, dont l'attraction mu-
Treizième Période.
tuelle est un fait qu'on ne saurait plus révoquer en doute : chaque orbite doit rétrograder continuellement sur chacune des autres orbites : ce qui doit nécessairement produire à la longue un déplacement général de toutes les orbites planétaires. Il en est de même des orbites des satellites de Jupiter, ainsi que de celles des satellites de Saturne.
« M. Euler est le premier qui ait entrepris de déterminer le changement que le plan de l'orbite de la Terre doit souffrir par sa rétrogradation continuelle sur les plans des orbites des autres planètes.
« M. de Lalande a étendu ensuite cette théorie à toutes les planètes, et, après avoir déterminé séparément le mouvement des nœuds de chaque planète sur l'orbite de chacune des cinq autres, a examiné quel changement il devait en résulter dans la position de chaque orbite relativement à un plan fixe.
« Enfin M. Bailly a appliqué cette même théorie aux satellites de Jupiter et a tâché d'expliquer par là les variations observées dans les inclinaisons du second et du troisième satellites.
« Mais comme les formules que ces auteurs ont employées n'expriment à proprement parler que les variations instantanées ou différentielles des lieux des nœuds et des inclinaisons des orbites, il s'en suit qu'elles ne peuvent servir que pour un temps limité, et qu'elles sont absolument insuffisantes pour faire connaître les lois véritables des variations de ces éléments. D'où l'on voit que le problème dont il s'agit n'a pas encore été résolu avec toute la généralité et la précision nécessaires pour qu'on ne puisse tirer des conclusions exactes sur les phénomènes que l'action mutuelle des planètes doit produire à la longue relativement à la position de leurs orbites.
De Lagrange à Laplace.
« L'importance de ce problème m'ayant engagé à m'en occuper, je vais communiquer ici aux Géomètres les recherches que j'ai faites depuis quelque temps pour en trouver la solution. Elles m'ont conduit à des résultats qui me paraissent mériter leur attention, tant par l'utilité dont ils peuvent être dans l'Astronomie physique, que par l'analyse même sur laquelle ils sont fondés.
tt Je considère d'abord deux seules orbites mobiles l'une sur l'autre, et je donne dans ce cas une solution générale complète de la question; je fais voir ensuite que le cas de trois orbites mobiles à la fois Tune sur l'autre dépend de la rectification des sections coniques, et par conséquent ne peut être résolu par les méthodes connues; d'où je conclus qu'à plus forte raison on ne saurait se flatter de pouvoir résoudre le Problème lorsque le nombre des orbites mobiles est plus grand. Cependant, comme les orbites des planètes ainsi que celles des satellites sont peu inclinées les unes sur les autres, j'examine si cette circonstance ne pourrait pas apporter quelque simplification aux calculs, et je parviens enfin à une méthode très simple et très générale par laquelle, quel que soit le nombre des orbites mobiles, le Problème se réduit toujours à des équations différentielles linéaires du premier ordre, dont l'intégration est facile par les méthodes connues; de sorte qu'on peut par ce moyen avoir une théorie complète des principaux changements que l'attraction mutuelle des planètes doit produire dans les lieux des nœuds et dans les inclinaisons de leurs orbites. »
Lagrange est revenu plus tard sur cette question.
X LI . — Recherches sur les suites récurrentes dont les termes
204 Treit^ième Période.
varient de plusieurs manières différentes, ou sur Vintégration des équations aux différences finies et partielles; et sur Vusage de ces équations dans la théorie des hasards. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1775.)
a J'ai donné, dans le premier volume des Mémoires de la Société des Sciences de Turin, une nouvelle méthode pour traiter la théorie des suites récurrentes, en la faisant dépendre de l'intégration des équations linéaires aux différences finies. Je me proposais alors de pousser ces recherches plus loin et de les appliquer à la solution de plusieurs problèmes de la théorie des hasards; mais d'autres objets m'ayant depuis fait perdre celui-là de vue, M. de Laplace m'a prévenu en grande partie, dans deux excellents Mémoires sur les suites récurrentes, et sur l'intégration des équations différentielles finies et leur usage dans la théorie des hasards. Je crois cependant qu'on peut encore ajouter quelque chose au travail de cet illustre Géomètre, et traiter le même sujet d'une manière plus directe, plus simple et surtout plus générale; c'est l'objet des Recherches que je vais donner dans ce Mémoire; on y trouvera des méthodes nouvelles pour l'intégration des équations aux différences finies et partielles, et l'application de ces méthodes à plusieurs Problèmes intéressants du Calcul des probabilités; mais il n'est question ici que des équations dont les coefficients sont constants, et je réserve pour un autre Mémoire l'examen de celles qui ont des coefficients variables.
XLII. — Sur Valtération des moyens mouvements des Planètes, (Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1776.)
De Lagrange à Laplace. 2o5
XLIII. — Solutions de quelques problèmes d'Astronomie sphérique par le moyen des séries. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1776.)
XLIV. — Sur l'usage des fractions continues dans le Calcul intégral. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année
« On connaît depuis longtemps la méthode des séries pour intégrer par approximation les équations différentielles dont l'intégrale finie est impossible, ou du moins très difficile à trouver ; mais cette méthode a l'inconvénient-de donner des suites infinies lors même que ces suites peuvent être représentées par des expressions rationnelles finies. La méthode des fi'actions continues a tous les avantages de celle des séries et est en même temps exemple de l'inconvénient dont nous venons de parler; car, par cette méthode, on est assuré de trouver directement la valeur rationnelle et finie de la quantité cherchée lorsqu'elle en a une, parce qu'alors l'opération se termine d'elle-même. »
XLV. — Solution algébrique d'un problème de Géométrie. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1776.)
Ce problème est celui de l'inscription dans un cercle d'un triangle dont les côtés passent par trois points donnés.
XLVI. — Recherches sur la détermination du nombre des racines imaginaires dans les équations littérales. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1777.)
