LXXXV. — Additions aux Eléments d'Algèbre d'Euler

Ces additions ont été écrites pour l'édition de 1798 de POuvrage d'Euler, elles se rapportent à la partie de ce Traité qui concerne V Analyse indéterminée,

a Les Géomètres du siècle passé se sont beaucoup occupés de l'Analyse indéterminée qu'on appelle vulgairement Analyse de Diophante\ mais il n'y a proprement que Rachat et Fermât qui aient ajouté quelque chose à ce que Diophante lui-même nous a laissé sur cette matière.

« On doit surtout au premier une méthode complète pour résoudre en nombres entiers tous les Problèmes indéterminés du premier degré.

(( Le second est l'auteur de quelques méthodes pour la résolution des équations indéterminées qui passent le second degré; de la méthode singulière par laquelle on démontre qu'il est impossible que la somme ou la différence de deux carrés-carrés puisse jamais être un carré ; de la solution d'un grand nombre M. Marie. — Histoire dds Sciences, IX. i5

220 Treizième Période,

de Problèmes très difficiles, et de plusieurs beaux Théorèmes sur les nombres entiers, qu'il a laissés sans démonstration, mais dont la plupart ont été ensuite démontrés par Euler dans les Commentaires de Pétersbourg.

« Cette branche de l'Analyse a été presque abandonnée dans ce siècle, et, si l'on en excepte Euler, je ne connais personne qui s'y soit appliqué; mais les belles et nombreuses découvertes que ce grand Géomètre y a faites nous ont bien dédommagés de l'espèce d'indifférence que les autres Géomètres paraissent avoir •eue jusqu'ici pour ces sortes de recherches. Les Commentaires de Pétersbourg sont pleins des travaux d'Euler dans ce genre, et l'Ouvrage qu'il vient de donner est un nouveau service qu'il rend aux amateurs de l'Analyse de Diophante. On n'en avait aucun où cette Science fût traitée d'une manière méthodique, et qui renfermât et expliquât clairement les principales règles connues jusqu'ici pour la solution des Problèmes indéterminés. L'Algèbre d'Euler réunit ce double avantage; mais pour la rendre encore plus complète, j'ai cru devoir y faire plusieurs additions dont je vais rendre compte en peu de mots.

« La théorie des fractions continues est une des plus utiles de l'Arithmétique, où elle sert à résoudre avec facilité des Problèmes qui, sans son secours, seraient presque intraitables; mais elle •est d'un plus grand usage encore dans la solution des Problèmes indéterminés, lorsqu'on ne demande que des nombres entiers. Cette raison m'a engagé à exposer cette théorie avec toute l'étendue nécessaire pour la bien faire entendre je donne ensuite

des applications nouvelles de cette théorie à l'Analyse indéterminée. Je détermine les minima qui peuvent avoir lieu dans lesj formules indéterminées à deux inconnues, surtout dans celles di

De Lagvange à Laplace. ii']

second ordre, et je démontre, relativement à celles-ci des propositions remarquables qui n'étaient pas connues, ou qui n'avaient pas encore été démontrées d'une manière générale et directe. On remarquera principalement une méthode particulière pour réduire en fractions continues les racines réelles des équations du second degré, et une démonstration rigoureuse que ces fractions doivent toujours être nécessairement périodiques.

a Les autres additions concernent la résolution des équations indéterminées. Bachet avait donné, en 1624, la résolution complète des équations indéterminées du premier degré. Celle des équations du second degré n'a paru qu'en 1769 (dans le Mémoire XIX de Lagrange). On la redonne ici simplifiée et généralisée de manière à ne rien laisser à désirer.

« A regard des équations indéterminées des degrés supérieurs au second, on n'a encore que des méthodes particulières pour les résoudre dans quelques cas, et il est à présumer que, pour ces sortes d'équations, la résolution générale devient impossible passé le second degré, comme elle paraît l'être passé le quatrième pour les équations déterminées.

c( Enfin le dernier paragraphe renferme des recherches sur les fonctions qui ont la propriété que le produit de deux ou de plusieurs fonctions semblables est aussi une fonction semblable »

LXXXVI. — Leçons 'élémentaires sur les Mathématiques y données à V École Normale en l'jgS, (Journal de l'Ecole Polytechnique, VII« et VIII° cahiers.)

Ces leçons ne sauraient être analysées, il faut les lire et les relire sans en perdre un mot. Ce sont des leçons élémentaires de Philosophie scientifique, la plus haute que l'on puisse rencontrer.

228 Treizième Période.

LXXXVII. — Essai d'analyse numérique sur la transformation des fractions. (Journal de TÉcole Polytechnique, V*" cahier.)

LXXXVIII. — Sur le principe des vitesses virtuelles. (Journal de l'École Polytechnique, V® cahier.)

LXXXIX. — Discours sur l'objet de la théorie des fonctions analytiques. (Journal de l'Ecole Polytechnique, VP cahier.)

LXXXX. — Solutions de quelques problèmes relatifs aux triangles sphériques, avec une analyse complète decestriangles. (Journal de l'École Polytechnique, VI* cahier.)

LXXXXI. — Eclaircissement d'une difficulté singulière qui se rencontre dans le calcul de l'attraction des sphéroïdes très peu différents de la sphère. (Journal de l'École Polytechnique, XV« cahier.)

LXXXXII. — Compas de réduction pour la distance de h Lune aux Etoiles. (Connaissance des Temps, 179 5.)

LXXXXII I. — Sur l'origine des Comètes. (Connaissance des Temps, 18 12.)

« J'ai été curieux de rechercher quelle serait la force d'explosion nécessaire pour briser une Planète^ de manière qu'un d( ses morceaux pût devenir Comète.

« Le problème n'est pas difficile en lui-même, parce qu'oi connaît depuis Newton la manière de déterminer les élément^ de Torbite que doit décrire un corps projeté avec une vitess*

De Lagrange à Laplace. 229

donnée et suivant une direction donnée; mais il s'agit d'obtenir des formules qui donnent des résultats simples et généraux. »

LXXXXIV. — Remarques sur la méthode des projections pour le calcul des éclipses de Soleil ou d'Étoiles. (Connaissance des Temps, 18 16.)

LXXXXV. — Sur le calcul des éclipses sujettes aux parallaxes. (Connaissance des Temps, i8i5.)

LXXXXVI. — Nouvelle méthode pour déterminer Vorbite des Comètes d'après les observations. (Connaissance des Temps,

LXXXXVII. — Nouveau moyen de déterminer les longitudes de Jupiter et de Saturne au moyen d^une table à simple entrée. (Éphémérides de Berlin, 1781.)

LXXXXVII I. — Addition au Mémoire sur le calcul des éclipses sujettes aux parallaxes.

LXXXXIX. — Sur la diminution de Vobliquité de VÉcliptique, (Éphémérides de Berlin, 1782.)

({ M. Euler est le premier qui ait démontré la diminution de l'obliquité de l'Écliptique, en faisant voir que la rétrogradation des nœuds de l'orbite de la Terre, sur l'orbite de chacune des Planètes principales, causée par l'action de ces Planètes, doit nécessairement diminuer l'angle de l'Écliptique et de l'Equateur, du moins dans la disposition actuelle de ces orbites, dispo-

Trei^^ième Période.

sition qui doit aussi changer à la longue par l'action mutuelle de toutes les Planètes, d

Euler avait, en effet, donné des résultats [Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1754) mais sans démonstrations, il trouvait 47'' 1/2 pour la diminution séculaire. Les données dont il s'était servi, empruntées à Newton, n'étaient pas assez approchées.

« La démonstration que M. Euler a supprimée a été restituée par M. de Lalande », qui est d'abord arrivé à peu près au même résultat qu'Euler, mais qui trouva depuis i' 28" 1 1 ; la masse de Vénus ayant paru devoir être sensiblement augmentée, à la suite des observations faites lors du passage de 1761.

« Tel était l'état de ce Problème important d'Astronomie physique lorsque j'ai entrepris, il y a cinq ans, de le résoudre avec toute la rigueur et la généralité dont il est susceptible, ne me bornant pas, ainsi qu'on l'avait fait avant moi, à donner les formules différentielles qui n'expriment que les variations instantanées, mais en intégrant ces formules pour avoir des résultats applicables à tous les temps, intégration qui avait jusqu'alors échappé aux efforts des Géomètres. Mes Recherches sur ce sujet sont imprimées parmi les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour l'année 1774. C'est à servir d'éclaircissement et de supplément au même Recueil qu'est destiné le présent Mémoire. »