Histoire des sciences mathématiques et physiques
Cette période voit s'effectuer dans la méthode deux révolutions capitales, toutes les deux dues à Descartes : l'union s'établit enfin entre l'abstrait et le concret, entre l'Algèbre et la Géométrie^ mais, quoique la méthode de calcul de Descartes soit peut-être supérieure à celle qui a fini par prévaloir, elle est presque aussitôt remplacée par la méthode moderne. En même temps la Géométrie se reforme sur de nouvelles bases, donts'emparerabientôtla Mécanique, parla réduction de toutes les questions semblables à une seulCj au moyen de la théorie des coordonnées; et les solutions négatives des problèmes de Géométrie sont réalisées.
La théorie des équations reçoit aussi de nouveaux développements.
Descartes fait recevoir la loi de la réfraction, énoncée par Snellius, définit après Kepler les fonctions des différentes parties de l'œil, et explique le phénomène de l'arc-en-ciel.
Huitième Période.
U Algèbre de Descartes.
Commençons par la conception de Descartes pour transporter aux relations entre grandeurs concrètes, par une méthode plus rationnelle que celle de Viète, les théories d'Algèbre qui avaient jusqu'alors servi à l'étude des conditions de dépendance entre nombres. Cette conception est si simple qu'il suffira, pour la mettre en pleine lumière, de rapporterlesquelques mois par lesquels Descartes la fait connaître. On remarquera la légèreté de main avec laquelle il opère une si grande révolution, mais on sentira aussi que la chose avait été trop finement dite pour être entendue du vulgaire.
« Tous les problèmes de Géométrie, dit-il, se peuvent réduire à tels termes qu'il n'est besoin, par après, que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire. Et, comme toute l'Arithmétique n'est composée que de quatre ou cinq opérations, qui sont : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction des racines, qu'on peut prendre pour une espèce de division, ainsi n'a-t-on autre chose à faire en Géométrie, touchant les lignes qu'on cherche, pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d'autres, ou en ôter, ou bien en ayant une que je 7iommerai Vunité, pour la rapporter d'autant mieux aux nombres., et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres^ en trouver une quatrième qui soit à lune de ces deux comme Vautre est à l'unité, ce qui est le même que la multiplication., ou bien en trouver une quatrième, qui soitàVune de ces deux comme l'unitéest à Vautre, ce qui est le même que la division, ou, enfin, trouver une ou deux
De Descartes à Cavalieri.
OU plusieurs moyennes proportionnelles entre l'unité et quelque autre ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d'' Arithmétique en la Géométrie, afin de me rendre plus intelligible. « Et ailleurs : « // est à remarquer que par a^ ou b^ ou semblables, Je ne conçois ordinairetnent que des lignes toutes simples, encore que, pour me servir des noms usités en Algèbre, je les nomme des quarrés ou des cubes. »
Il entendait en effet par a- la troisième proportionnelle à la
grandeur prise pour unité et à a ; par b'^ la longueur , etc.
Cette méthode de Descartes était la bonne et la plus convenable aux spéculations théoriques; elle ne lui a pas survécu beaucoup plus longtemps qu'à Viète la sienne, mais, cette fois, le changement n'a pas été un progrès.
La Géométrie analytique.
Nous passons à la seconde révolution opérée par Descartes.
Les courbes qu'avaient étudiées les anciens s'étaientprésentées à eux, non pas sans ordre réel, puisque leur invention était néede besoins éprouvés, mais au moins sans ordre appréciable; d'un autre côté, il n'existait aucun lien entre ces courbes, ni aucun moyen d'en établir, de sorte que l'étude de l'une ne pouvait en rien profiter à celle des autres; enfin, leur identité mêmeétaitloin d'être établie, car une même courbe, un peu compliquée, jouissant d'une infinité de propriétés toutes différentes, comporte par conséquent une infinité de définitions, dont la concordance peut
Huitième Période.
souvent être fort difficile à apercevoir. La Géométrie analytique est née du besoin de mettre de l'ordre et de la méthode dans des recherches poursuivies jusque-là sans plan arrêté et sans préparation suffisante. Les principes de cette nouvelle Géométrie sont tellement simples que quelques mots suffiront pour les résumer.
Toute définition d'une courbe comprend en elle-même l'indication des procédés à suivre pour construire cette courbe par points, c'est-à-dire pour en obtenir successivement autant de points que l'on voudra, et aussi rapprochés les uns des autres qu'il sera désirable. Le procédé consiste toujours à reproduire un nombre quelconque de fois une même figure définie, mais dépendant d'un élément variable à volonté. Pour chaque valeur de cet élément, la figure prend une forme déterminée, et les constructions échafaudées aboutissent chaque fois à un point particulier, qui est l'un des points de la courbe définie. Quand l'élément variable change, le point trouvé change aussi, et, si l'on imagine que cet élément croisse d'une manière continue, en même temps le point correspondant se déplacera d'une manière continue et décrira la courbe qu'on avait en vue.
Le principal inconvénient des définitions anciennes des courbes tenait à ce que la figure mobile que nous venons de considérer changeant de forme lorsque la courbe changeait, la mise en rapport de deux courbes, définies séparément, devenait presque impossible; la constatation même de Tidentité d'une courbe définie successivement de plusieurs manières différentespouvait souvent présenter desobstaclesinsurmontables; enfin, la théoried'une courbe devant naturellement résulter de l'étude de la loi de déformation de la figure mobile propreàl'engendrerjunemême courbe comportait autant de théories distinctes qu'on pouvait lui conce-
De Descartes à Cavalieri.
voir de modes de génération. L'étude préalable, souvent laborieuse, de la figure mobile était chaque fois à recommencer.
La première question à résoudre était donc de ramener a quelques types fixes, entre lesquels on pourrait ensuite choisir, selon les cas^ les figures mobiles qui devraient servir à construire par points toutes les courbes.
Or la position d'un point sur un plan dépend de deux éléments, et donner un de ces éléments, c'est donner une ligne sur laquelle doit se trouver le point. Donner les deux éléments propres à déterminer un point, c'est donc donner deux lignes qui iront s'y couper, c'est-à-dire la figure à construire pour obtenir le point. Si, d'ailleurs, la nature des éléments choisisreste toujours la même, la figure mobile conservera la même forme et les définitions de toutes les courbes deviendront comparables entre elles.
Mais ce n'est encore qu'un des côtés de la question : la figure mobile, propre à engendrer une courbe, restant toujours la mêmela loi de déformation de cette figure, c'est-à-dire la définition même de la courbe, ne peut plus être qu'une relation entre les deux éléments, toujours les mêmes, qui déterminent chaque point. Les courbes seront donc définies par des équations, et l'étude de ces courbes ne sera autre chose que l'étude de leurs équations.
Les deux éléments choisis pour fixer la position d'un point sont les coordonnées de ce point. Il existe une infinité de systèmes de coordonnées; mais, dans chaque système, les définitions de toutes les courbes sont comparables: l'étude de ces courbes comprend les mêmes recherches et peut être préparée d'avance par l'établissement préalable de formules générales, fournissant les solutions, toutes calculées, des principaux problèmes simples
Huitième Période.
qui, par leurs combinaisons diverses, forment toutes les questions spéciales qu'on peut avoir à envisager.
Cela posé, il est facile de se représenter ce que deviendra la méthode : en premier lieu, une courbe se présentant sous une définition quelconque, si on la rapporte au système de coordonnées adopté) et que, dans cette première opération, on laisse complètement indéterminé ce qu'il peut y avoir de variable dans les bases de ce système, on aura l'équation la plus générale de la courbe dans ce système, c'est-à-dire son équation type, de sorte que, si plus tard la même courbe se représente sous une autre définition, en recherchant son équation dans le même système de coordonnées, particularisé alors de façon à simplifier autant que possible les calculs, il suffira de comparer l'équation particulière à l'équation générale pour constater l'identité de la courbe, pour lui donner immédiatement son nom et en connaître toutes les propriétés étudiées à l'avance.
Ainsi, en premier lieu, l'identité d'une même courbe sera toujours facile à reconnaître, quelle qu'en soit la définition.
D'un autre côté, la mise en rapport de deux courbes quelconques, rapportées au même système de coordonnées, s'obtiendra de la manière la plus simple; en effet, le rapport élémentaire dont se composent tous les autres est le rapport constitué par le concours en un même point, c'est-à-dire le rapport d'intersection; or la représentation simultanée de deux courbes dans un même système de coordonnées fournit immédiatement les moyens de trouver leurs points de rencontre. En effet, les coordonnées du point de rencontre des deux courbes, devant satisfaire à la fois à leurs deux équations, seront données par la résolution algébrique du système de ces deux équations. Ainsi, la question
De Descartes à Cavalieri.
la plus générale que comporte l'étude des courbes sera rattachée à la difficulté analytique la plus élémentaire. L'étude spéciale des solutions fournies, selon les cas, par le système des équations des deux courbes, mettra d'ailleurs en évidence les rapports plus intimes que ces deux courbes pourront avoir : ainsi, si deux solutions se confondent, les courbes seront tangentes; si trois solutions se confondent, elles auront même cercle osculateur, etc; si deux solutions sont rejetées à l'infini, les deux courbes seront tangentes à l'infini, c'est-à-dire asymptotes, etc.
Cela posé, voici quelle sera la marche à suivre dans l'institution de la nouvelle Géométrie. On commencera par établir les formules de transformation nécessaires pour changer les bases du système de coordonnées, tout en restant dans le même système : ces formules permettront plus tard de reconnaître les différentes formes que pourra affecter l'équation d'une même courbe, par conséquent de choisir chaque fois celle de ces formes qui conviendra le mieux à la recherche qu'on aura en vue, mais surtout d'arriver à la forme la plus simple de l'équation de chaque courbe.
En second lieu, comme la droite et le cercle sont destinés à être mis à chaque instant en rapports avec les lignes plus compliquées, pour en faire ressortir les propriétés, on refera, dans le système de coordonnées adopté, les théories complètes de ces deux lignes, c'est-à-dire qu'on établira d'avance les formules des solutions de tous les problèmes élémentaires qui s'y rapportent. Ces formules seront d'un usage continuel, puisque les mêmes problèmes élémentaires, dont les bases seront alors prises sur la courbe étudiée, composeront nécessairement, parleurs combinaisons, toutes les questions qu'on pourra avoir à résoudre dans l'étude des rapports de cette courbe avec la droite et le cercle.
Huitième Période.
Ces préliminaires posés, on passera à l'étude spéciale des courbes représentées par les équations les plus simples. Ces courbes, si le système de coordonnées a été bien choisi, seront elles-mêmes les plus simples, par conséquent les plus usuelles, c'est-à-dire les plus utiles à connaître.
Les mêmes principes s'étendent d'eux-mêmes sans difficulté à la Géométrie à trois dimensions, c'est-à-dire à la Géométrie des surfaces : il faut trois éléments pour déterminer la position d'un point dans l'espace; les coordonnées d'un point seront donc au nombre de trois ; une surface sera représentée par une équation entre les trois coordonnées d'un de ses points; enfin, une ligne sera représentée par le système de deux équations entre les trois coordonnées.
Telle estj en quelques mots, l'heureuse inspiration de Descartes pour la rénovation de la Géométrie tout entière.
L'invention de la Géométrie analytique n'a pas manqué, comme toutes les autres inventions, de donner lieu, de la part des historiens, à des recherches de paternité aussi inutiles que déraisonnables.
Beaucoup de géomètres, depuis Apollonius, à qui on aurait pu, encore mieux qu'à d'autres, attribuer l'invention de Descartes, ont rapporté des courbes à un de leurs diamètres et à la tangente menée à l'une des extrémités de ce diamètre; ils ont, comme Apollonius, recherché et établi les équations de ces courbes, c'est-à-dire, pour chacune d'elles, la loi de dépendance qui existait entre l'abcisse et l'ordonnée, dans le système d'axes choisi.
Cavalieri, Fermât, Roberval et beaucoup d'autres l'ont fait avant la publication de la Géométrie de Descartes, ou à peu près
De Descartes à Cavalieri.
au moment où elle paraissait. Cela devait être, puisque l'ouvrage d'Apollonius était alors dans toutes les mains.
Mais la Géométrie analytique ne consiste pas à rapporter une courbe à un système d'axes choisi exprès pour elle^ puis une autre courbe à un autre système d'axes. Au contraire elle consiste à rapporter au même système d'axes toutes les courbes simultanément envisagées dans une même recherche, de façon à remplacer l'étude de leurs contingences par celle des solutions communes à leurs équations. Elle consiste à mettre en jeu, à côté de réquation de la courbe à étudier, celles de lignes plus simples, rapportées au même système d'axes : des droites, des cercles, des coniques, etc., qui, par l'étude des relations qu'elles pourront avoir avec la courbe proposée, en feront discerner les propriétés.
Personne avant Descartes n'avait songé à donner une équation à la ligne droite; mais, si quelque géomètre y avait pensé par désœuvrement, il aurait bonnement pris cette droite pour axe des X, et serait revenu sans résultat, parce que les ordinatim applicatœ de la droite étant alors évanouissantes, elle n'eût pas eu d'équation.
J'ai bien cru pouvoir signaler dans Archimède quelques vestiges d'éléments de Géométrie analytique, mais c'est parce que ce grand homme, ayant à mettre en relation une parabole et une droite, exprime, comme nous le ferions aujourd'hui, la tangente de l'angle que la droite fait avec l'axe de la parabole, au moyen du rapport de la différence des ordonnées de deux de ses points à la différence de leurs abscisses.
Huitième Période.
Interprétation des solutions négatives des problèmes.
Les solutions algébriques d'un problème impossible ne sont que fictives par rapport à l'énoncé même de ce problème, et l'on a dû d'abord les rejeter d'une façon absolue. Cependant on s'est bientôt aperçu que, débarrassées du signe d'impossibilité, ces solutions pouvaient non seulement représenter autre chose que des non-sens, mais former même des réponses parfaitement précises et intelligibles à des questions toujours peu différentes de celles qui les avaient fournies.
En thèse générale, lorsqu'un phénomène présente plusieurs phases, si l'hypothèse a mal à propos borné les prévisions aux limites de l'une d'elles, il arrive que la réponse fournie par l'Algèbre indique, par les termes dans lesquels elle est conçue, que c'était à l'une des phases voisines que la question, bien comprise, eût dû se rapporter, et il n'est généralement pas difficile de procéder à la rectification nécessaire.
D'ailleurs, dès que le fait qui vient d'être énoncé a pu être nettement compris, il n'a pas été difficile de s'élever directement à une conception plus haute, qui a pris aujourd'hui une importance capitale dans les Sciences mathématiques. Le signe d'impossibilitéj qui pouvait affecter les valeurs des inconnues d'un problème, indiquant le passage d'une phase à l'autre du phénomène étudié, on a pu concentrer dans les mêmes formules la représentation simultanée des lois relatives aux différentes phases, en admettant à l'avance la variété dans la nature des réponses qui pourraient être fournies. A l'intérieur des limites de l'une des phases, prise pour type, les réponses seront claires par elles-
De Descartes à Cavalieri.
mêmes; en dehors de ces limites, elles le seront tout autant, par interprétations prévues.
C'est à l'aide de ces principes très simples que l'on a pu supprimer, durant cette Période, l'obligation où l'on était auparavant de prévoir toutes les inversions que pourraient présenter les parties d'une figure relative à une question de Trigonométrie, par exemple; et que Descartes, en particulier, a pu concevoir représentées par une même équation les branches d'une même courbe, comprises dans les quatre angles formés par les axes de coordonnées.
Les solutions singulières que peut fournir l'Algèbre sont de deux sortes, négatives ou imaginaires. L'interprétation des solutions imaginaires est d'origine toute récente, et nous n'aurons à nous en occuper que beaucoup plus tard. Commençons par les solutions négatives : l'interprétation de ces solutions est fondée sur cette remarque que le système des valeurs trouvées pour les inconnues, prises positivement, satisferait aux équations du problème, pourvu qu'on y changeât les signes des termes de degrés impairs par rapport aux inconnues trouvées négatives. A cette modification des équations correspond généralement, pour l'énoncé, une modification facile à saisir.
Or, l'étabhssement de cette règle se réduit à peu de chose : les équations, quelles qu'elles soient, possibles ou impossibles, étant toujours traitées de la même manière, on peut concevoir les solutions arithmétiques obtenues comme représentant, dans tous les cas, les valeurs actuelles de formules littérales, que l'on eût obtenues en laissant la question posée dans toute sa généralité. Ces formules littérales, lorsqu'on les aurait trouvées, satisferaient aux équations résolues, pourvu que les substitutions fussent faites
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comme elles devraient l'être si toutes les opérations indiquées étaient d'elles-mêmes possibles. Mais la substitution algébrique correspond à un mode précis de substitution arithmétique. Ainsi, si la valeur arithmétique d'un polynôme est affectée du signe moins, ce signe disparaît dans les puissances paires et ne se conserve que dans les puissances impaires ; plus généralement, le produit d'un nombre impair de polynômes, dont les valeurs se trouvent affectées du signe mo/n5, est lui-même négatif, tandis que le produit d'un nombre pair de pareils polynômes a le signe j?/m5; les valeurs absolues des inconnues, trouvées négatives, doivent donc satisfaire aux équations modifiées suivant la règle énoncée.
C'est par application de cette règle d'Algèbre, au moins entrevue, que Ton a pu apercevoir la possibilité de donner aux formules de Trigonométrie une entière généralité, en attribuant des signes convenables aux lignes trigonométriques des angles, considérés dans les différents quadrants. C'est ainsi, notamment, qu'on a pu donner un sens clair et précis aux solutions négatives des équations qui résolvent tous les problèmes relatifs à la division des arcs.
Il est moins certain que Descartes, en fondant les bases de la Géométrie analytique, ait envisagé les difficultés de la question qui aurait dû le préoccuper avant tout, de savoir si les arcs de courbes, contenus dans les trois derniers angles des axes de coordonnées, et dont les points étaient fournis par les solutions négatives par rapport à at, ou ky, ou à x et j^, de l'équation dont les solutions positives avaient fourni Tare construit dans le premier angle, se feraient suite les uns aux autres et au premier arc.
Il est probable qu'à cet égard il s'est contenté de la vérification constante fournie par toutes les expériences.
