DESCARTES

(Né à Laha5'e (Touraine) en ifgô, mort en Suèdo en i65o.)

René Descartes, seigneur du Perron, malgré la fermeté avec laquelle il a toujours refusé toutes sortes de titres, était d'une famille noble, qui avait vu plusieurs de ses membres s'élever à des postes éminents dans la magistrature, dans l'église et dans l'armée. Son père était conseiller au Parlement de Bretagne; sa mère, Jeanne Brochard, était fille du lieutenant général pour la province du Poitou. Il naquit le 3i mars i5g6. Sa mère perdit la vie peu de Jours après la lui avoir donnée; elle était très faible, et Descartes hérita d'elle une santé fort débile, qui ne se rétablit que très tard.

Il entra en 1604 au collège de La Flèche, que dirigeaient les Jésuites. « Non content de ce qui s'enseignait dans le collège, il y parcourut avidement tous les livres qui traitent des Sciences les plus curieuses et les plus rares, persuadé que la lecture des bons livres est com.me une conversation avec les plus honnêtes gens

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des siècles passés, qui en ont été les auteurs, mais une conversation étudiée, dans laquelle ils ne découvrent que les meilleures de leurs pensées. » (Discours de la Méthode). Parmi ses amis de collège, se trouvait celui qui fut depuis le Père Mersenne, avec qui il conserva toujours des relations intimes.

Dès ses dernières années de collège. Descartes eut conscience de la vanité ou de l'absurdité de la plupart des choses qui formaient les cours d'études d'alors ; son esprit inquiet ne se reposa que dans l'étude des Mathématiques, à laquelle il se livra avec ardeur. « Ce qui le charmait particulièrement dans les Mathématiques, et surtout dans l'Arithmétique et la Géométrie, était la certitude et l'évidence de leurs raisons; mais il n'en comprenait pas encore le vrai usage. » [Discours de la Méthode).

Descartes quitta le collège en 1612 pour retourner près de son père. Quelque temps après, il vint à Paris, où il renoua amitié avec Mersenne, et se remit à l'étude de la Géométrie et de l'analyse des anciens. En 1617, à l'âge de vingt et un ans, sollicité par sa famille de prendre un parti, il choisit la carrière des armes, non pas qu'il songeât le moins du monde à devenir un grand capitaine. Il se charge lui-même, dans une de ses lettres, de prévenir toute erreur à cet égard : « Bien que la coutume, dit-il, et, l'exemple fassent estimer le métier de la guerre comme le plus noble de tous, pour moy, qui le considère en philosophe, je ne l'estime qu'autant qu'il vaut, et même j'ai bien de la peine à lui donner place entre les professions honorables, voyant que Toisiveté et le libertinage sont les deux principaux motifs qui y portent aujourd'hui la plupart des hommes. «

Descartes, en entrant dans la carrière militaire, voulait seulement se mettre en position de pouvoir voyager, ce qui n'était

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facile alors qu'à des hommes en armes et rassemblés. Il servit d'abord sous les ordres du prince Maurice de Nassau. Ce prince aimait les Mathématiques et les malhématiciens, et c'est là sans doute ce qui attira Descartes vers lui. Les deux années de pleine paix qu'il passa cette fois en Hollande y furent surtout employées par lui dans le commerce des savants qu'il rencontrait à la cour du prince.

Un jour qu'il était en garnison à Bréda, une affiche écrite en flamand, autour de laquelle la foule était groupée, attira ses regards. C'était l'énoncé d'un problème de Géométrie qu'on proposait à résoudre. Descartes, qui ne comprenait pas le flamand, se ht expliquer de quoi il s'agissait. Celui à qui il s'adressa, et qui n'était autre que le mathématicien Beekmann, principal du collège de Dort, trouva la question fort étrange de la part d'un militaire; il y répondit avec un ton pédantesque et des airs de supériorité. Le lendenaain, Descartes lui apportait la solution du problème.

Descartes quitta le service de la maison d'Orange après l'odieuse exécution de Barneveldt et se mit à voyager en Allemagne (1619). Il servit dans les troupes du duc de Bavière, mais toujours en philosophe, les quitta à Ulm pour s'y lier d'amitie avec Jean Faulhabcr, professeur de Mathématiques, qu'il étonna par son savoir, et les rejoignit peu de temps après (1620I pour les quitter de nouveau et passer (1Ô21) en Hongrie sous les ordres du comte de Bucquoy. A la mort de ce dernier, arrivée peu de temps après, il quitta entièrement le service des armes.

Nous le voyons alors, tourmenté par une sorte de flèvre de locomotion, parcourir en curieux une partie de l'Allemagne du Nord, revenir en Hollande, traverser la France, la Suisse, le M. Marie. — Histoire des Sciences, W . 2

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Tyrol, l'Italie, puis revenir en France, cherchant partout les hommes avec qui il pût entrer en communication d'idées et dont il pût apprendre quelque chose.

Toutefois, il est à remarquer qu'il ne chercha pas à voirGalilée, quoi qu'il en eût eu l'occasion en passant à Florence en 1625. Il est probable que son attachement à la foi catholique, sa dévotion au Saint-Siège et la circonspection qu'il a toujours montrée dans toutes les circonstances où la religion pouvait avoir part, l'engagèrent à éviter de se lier avec l'ami de Fra Paolo Sarpi et des principaux chefs de la République de Venise, dont les démêlés avec le Pape avaient eu trop de retentissement en Europe pour ne pas suggérer à notre philosophe l'idée d'une grande réserve.

De retour à Paris, il renoua avec Mersenne et Mydorge ses anciennes relations et se lia avec d'autres savants : Hardi, conseiller au Châtelet; de Beaune; Morin, docteur en Médecine et professeur de Mathématiques au Collège de France ; de Ville- Bressieux, chimiste et mécanicien; Desargues, et Balzac. Mais il les quitta brusquement pour assister au siège de La Rochelle, auquel il prit même part comme volontaire amateur.

Après la reddition de la ville, il revint à Paris et prit aussitôt les dispositions nécessaires pour aller s'établir en Hollande. Il arriva à Amsterdam en 1629 et y demeura quelque temps; il séjourna ensuite successivement dans un grand nombre de villes des États. Enfin il se fixa à peu près dans une petite ville, Egmond-de-Binnen.

Pendant son séjour à Amsterdam, il s'était lié, avec le père d'Huvghens, d'une amitié qui ne se démentit plus. II se fit encore d'autres amis, entre autres Renerius (Reneri), de Waessenaer, Hooghelande, qui l'aidèrent dans ses recherches et ses expé-

De Descartes à Cavalieri. iq

riences. Mais il s'attira la haine d'un ministre luthérien, Voëtius. recteur de l'Université d'Utrecht^ qui mit tout en usage pour lui susciter des adversaires et manqua réussir à lui causer de sérieux embarras en le représentant comme un ennemi de la religion et de TEtat. Voëtius avait poussé la rage jusqu'à traiter Descartes de vagabond, de Caïn, d'athée digne du bûcher de Vanini, mais Il fut solennellement condamné par une sentence de l'Université de Groningue.

Vers ce temps-là, Descartes perdit une fille qu'il chérissait extrêmement et la société de la princesse palatine Elisabeth, qui avait reçu ses leçons et lui avait voué une affection enthousiaste.

Ces chagrins ramenèrent Descartes à Paris, où il eut le bonheur de faire la connaissance de Clerselier, qui resta depuis lors un de ses meilleurs amis.

Clerselier était beau-frère de l'ambassadeur de France en Suède, Chanut. C'est cette circonstance qui amena Descartes à écouter les propositions que lui faisait la reine Christine de Suède, de venir s'établir à sa cour. Il arriva à Stockholm au mois d'octobre 1649 et fut reçu à l'ambassade de France. Au mois de janvier, Chanut fut pris d'une fluxion de poitrine et son nouvel ami, qui ne le quittait que lorsque la reine le faisait appeler, eut le bonheur de le voir entrer en convalescence, mais lui-même fut atteint du même mal, auquel il succomba le 1 1 février i65o. '

Son corps fut ramené à Paris par les soins de notre ambassadeur ; il est déposé dans un caveau de l'éghsc Sainte-Geneviève.

Les manuscrits qu'il avait laissés furent adressés à Clerselier, qui les coUationna et en publia ce qui pouvait être imprimé. Nous allons énumérer d'abord ses principaux ouvrages.

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Le premier qu'il publia ne parut qu'en lôSy. Descartes avait conçu depuis longtemps et exécuté déjà pour la plus grande partie un ouvrage considérable, les Mondes, qui devait renfermer toutes ses recherches sur la Géométrie, la Physique et la Philosophie. Maisil redoutait de se mettre en opposition avec l'enseignement de l'Église; et l'avis de la condamnation de Galilée le retint. « Je sais bien, dit-il dans une lettre à Mersenne, que les sentences prononcées par le tribunal de l'Inquisition ne font pas foi en matière de dogme et qu'il faut premièrement que le concile y ait passé. Mais je ne suis point si amoureux de mes pensées que de vouloir me servir de telles exceptions pour avoir le moyen de les maintenir. » Les bûchers se rallumaient alors un peu partout ; mais on ne peut pas supposer que la crainte seule des persécutions ait déterminé Descartes à la suppression de son ouvrage de prédilection, puisqu'il est resté toujours et partout, même en Suède, fidèle à la foi catholique^ de son plein gré et sans arrière-pensée. Il fit faire toutefois quelques démarches près la cour de Rome, pour se mettre en sûreté dans le cas où il publierait son Monde, mais il y renonça bientôt ; la partie de cet ouvrage qui a trait à la Cosmogonie ne fut publiée que plus tard, sous le titre : Des Principes.

En i636, sollicité de tous ses amis, qui ne pouvaient se consoler de la suppression du Monde, il en fit parvenir au Père Mersenne, à Paris, pour obtenir le privilège du roi, quatre traités séparés : le Discours de la Méthode, la Dioptrique, les Météores et la Géométrie.

Sa réputation était déjà si grande que le privilège lui fut accordé « pour faire imprimer non seulement les quatre traités dont il était question, mais encore tout ce qu'il avait écrit

De Descartes à Cavalier i.

jusque-là et tout ce qu'il pourrait écrire dans la suite de sa vie, en telle part que bon lui semblerait, dedans et dehors le royaume de France, et le public lui aurait l'obligation des inventions qu'il aurait à publier. » (iGSy).

La Dioptrique essuya quelques objections de la part de Fermât, à qui Mersenne avait envoyé l'ouvrage avec prière d'en donner son opinion. Fermât, pour se donner un titre près de Descartes, écrivit les deux excellents petits traités De maximis et minimis et De inuentione tangentium linearum curuaimm, et les adressa à Descartes, qui eut le tort d'en juger trop précipitamment d'une manière défavorable; il en résulta une discussion assez vive qui fut changée bientôt en querelle par l'aigreur que Roberval, ami de Fermatj apporta dans la dispute. Le débat fut solennellement porté au tribunal de quatre arbitres : Roberval et Pascal le père, pour Fermât; Desargues et Mydorge, pour Descartes. Mais Fermât qui n'aimait pas la guerre y mit bientôt fin en faisant les premières avances.

Ce fut à cette époque que le père Mersenne inventa la roulette ou cycloïde. Descartes en trouva la tangente par cette règle si simple qui a constitué depuis l'une des bases de la théorie du centre instantané de rotation.

A partir de cette époque, Descartes ne s'est plus occupé du Géométrie : il fit paraître successivement ses Méditations métaphysiques, en 1641 : ses Principes de philosophie, dédiés à la princesse Elisabeth, en 1644; son Tiaité des passions de l'dnie, en 1649. Il laissa inachevés, incomplets ou informes, ses traités De r homme et de la formation du fœtus; Des règles pour conduire l'esprit à la recherche de la vérité ; un autre intitulé -, Studium bonœ mentis: son Dialogue sur la recherche de la

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vérité par la seule lumière naturelle, et d'autres petits écrits qui furent publiés par Clerselier, en 1668.

Il nous reste à analyser les principaux de ses ouvrages.

Les Mondes.

Le premier ouvrage de Descartes, les Mondes, ne nous est pas parvenu tel qu^il avait été conçu d'abord; Descartes en a détaché les meilleures parties, qui ont paru sous des titres divers ; ce qu'il en est resté, dans le Livre des principes., ne contient guère que ces théories cosmiques, sans aucun fondement, qui, après avoir excité pendant quelque temps une admiration immodérée, ont ensuite servi de prétexte aux critiques les plus amères.

Le xviii*^ siècle a été injuste envers Descartes. L'homme est ainsi fait qu'il ne peut supporter le doute en quelque matière que ce soit : les découvertes de Copernic, de Tycho-Brahé et de Kepler ayant renversé toutes les idées cosmogoniques anciennes, les tourbillons devaient nécessairement éclore dans quelque tête. Descartes a fait tort à sa gloire en se chargeant prématurément de résoudre toutes les questions qui surgissaient des découvertes qu'on venait de faire, mais qui pourrait dire que le bruit immense qui se fit autour des questions qu'il avait soulevées ne servit pas à fixer la destinée de Newton? Les erreurs de Descartes ont en tout cas fait couler plus d'encre que de sang : c'est au moins une atténuation à sa faute.

Les recherches que fit Descartes en Anatomie n'ontplus aujourd'hui aucune valeur, mais elles prouvent au moins qu'il entendait son métier de philosophe.

Nous circonscrirons donc notre étude aux trois traités qui

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faisaient suite au discours de la Méthode, dans l'édition originale de i638, savoir : \a.Dioptriqiie, lesMétéores et la Géométrie, et à un petit traité de Mécanique que Clerselier y a joint. Ce sont les seuls ouvrages scientitiques de Descartes qui puissent aujourd'hui fixer l'attention.

La Dioptriqtie.

Quoiqu'on n'ait jamais rien pu tirer de pratique de la Dioptriqiie, elle restera toujours un vrai et légitime titre de gloire pour Descartes. Le but propre de cet ouvrage est la recherche de la figure des verres de lunettes. Descartes rappelle d'abord la loi de la réflexion, qu'il essaye de démontrer a priori par l'exemple d'une balle lancée obliquement contre une surface polie. 11 suppose, dans cette démonstration, que la vitesse totale du mobile doive rester la même après qu'avant le choc, et, admettant que la composante parallèle à la surface réfléchissante ne doive pas être altérée, il en conclut que la composante normale ne le sera pas non plus.

Il donne de la loi de la réfraction, qui venait d'être découverte par Snellius, une démonstration analogue, en supposant qu'au moment du passage de la lumière d'un milieu dans un autre, la composante de sa vitesse, prise parallèlement à la surface réfringente, reste constante, et que la vitesse totale est modifiée dans un rapport dépendant de la nature des deux milieux.

Cette hypothèse conduit bien immédiatement à la loi des sinus; mais peut-être pourrait-on, à plus juste titre, dire que la loi des sinus a déterminé le choix de l'hypothèse. Car le raisonnement de Descartes conduirait plutôt à admettre que la composante normale de la vitesse doive être réduite dans un certain rapport, la

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composante tangentielle restant la même ; seulement, alors, ce ne seraient plus les sinus des angles d'incidence et de réfraction qui conserveraient un rapport constant, mais leurs tangentes, et ce n'était pas ce qu'il fallait démontrer.

Enfin Descartes explique la conformation de l'œil, la manière dont les rayons lumineux s'y comportent, les sensations qu'ils produisent et comment nous voyons.

Ces préliminaires posés, Descartes, arrivant à la question principale, démontre que si l'on avait construit, en verre ou en toute autre matière transparente, un ellipsoïde de révolution autour de l'axe focal, un faisceau de rayons parallèles à l'axe pénétrant dans cette matière par tous les points d'une des moitiés de la surface irait converger au foyer opposé, pourvu seulement que le rapport du grand axe à la distance des foyers, dans l'ellipse génératrice, fût égal au rapport constant des sinus des angles qu'un rayon lumineux, brisé à son passage de l'air dans la matière transparente employée, fait avec la normale au point d'incidence.

Il résulte de laque, si l'on avait une lentille concave-convexe, dont la surface convexe fût une calotte de cet ellipsoïde, et la surface concave une calotte sphérique, ayant pour centre le foyer où les rayons doivent aller concourir, comme cette sphère serait rencontrée normalement par tous les rayons, d'abord parallèles à Taxe, qui auraient pénétré dans la lentille, ils poursuivraient leur chemin en ligne droite jusqu'au foyer. Réciproquement, des rayons partant de ce foyer traverseraient normalement la surface sphérique, et, en se réfractant sur la surface ellipsoïdale, ils émergeraient parallèlement à l'axe. Au contraire, si la surface convexe était une calotte sphérique et la surface concave une calotte ellip-

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soïdale, les rayons parallèles à l'axe qui tomberaient sur la surface concave se réfracteraient en divergeant du foyer, et réciproquement les rayons convergeant vers le foyer qui pénétreraient par la surface sphérique se réfracteraient parallèlement à l'axe.

Avec deux lentilles convenablement disposées, on pourrait donc aisément rapprocher de l'œil ou en éloigner à volonté le sommet d'un faisceau de rayons divergents, puisqu'il suffirait de rendre les rayons parallèles, au moyen de la première lentille, et convergents, en avant de l'œil, au moyen de la seconde, ou divergents d'un point plus éloigné. Or, c'est tout ce qu'on se propose d'obtenir des instruments d'optique.

Les lentilles hyperboliques jouissent de propriétés entièrement analogues à celles des lentilles elliptiques ; elles présenteraient même un avantage, parce que la marche des rayons provenant de points non situés sur l'axe se soustrait à la théorie et que, suivant Descartes, l'inconvénient serait moins grand avec des lentilles hyperboliques.

La Dioptrique produisit, lorsqu'elle parut, une impression profonde en Europe. Tout le monde voulut faire des lunettes cartésiennes, mais les difficultés étaient presque insurmontables. Le poli du verre ne peut en effet s'obtenir que par frottement et les surface splanes ou sphériques sont les seules que les ouvriers puissent obtenir avec sûreté.

Au reste, on a depuis longtemps abandonné toutes tentatives pour réaliser le rêve de Descartes : les travaux de Newton en ont démontré l'inanité. On pouvait en effet attendre de bons effets de la découverte de Descartes, tant qu'on ignora la composition de la lumière blanche et l'inégale réfrangibilité des couleurs primitives; mais il est évident maintenant que le rapport du grand

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axe de l'eJlipse ou de l'hyperbole génératrice de la lentille à la distance de ses foyers devant dépendre du pouvoir réfringent de la matière transparente employée, on ne pourrait, en tout cas, réunir au foyer que les rayons d'une même couleur.

Les Météores.

Nous dirons peu de chose des Météores, qui ressemblent encore un peu trop à un extrait du Monde. Ils contiennent cependant la première explication exacte qu'on ait eue de l'arc-en-ciel.

On savait, depuis Aristote, que l'arc-en-ciel est produit par les rayons du soleil renvoyés dans un certain ordre par les gouttes de pluie; mais, jusqu'à la fin du xvi® siècle, on s'était toujours obstiné à chercher dans la réflexion seule la variété des couleurs qu'il présente. Un physicien de Breslau, Fleischer, dans un ouvrage publié en iSyi, avait cherché à expliquer l'arc-en-ciel par une double réfraction et une réflexion, mais il imaginait que la lumière, traversant une goutte de part en part, allait ensuite se réfléchir sur une autre goutte placée derrière la première, pour revenir à l'œil de l'observateur. Ce fut Antonio de Dominis qui, le premier, eut l'idée de faire réfléchir la lumière dans l'intérieur de la goutte avant de l'en faire ressortir; il ne pouvait, d'ailleurs, rendre raison de l'angle sous lequel l'observateur voit le rayon de l'arc, et se trompa complètement dans l'explication de l'arc secondaire qu'il ne soupçonna pas dû à une double réflexion de la lumière dans l'intérieur des gouttes.

Il ne suffit pas qu'un rayon de lumière parvienne à nos yeux pour y exciter une sensation, il faut qu'un faisceau entier de rayons sensiblement parallèles pénètre dans la pupille; or, de tous

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les faisceaux de rayons solaires qui tombent parallèlement sur la goutte d'eau, il n'y en a qu'un seul, savoir celui qui est éloigné du rayon central entre les 85 et 86 centièmes du rayon du globule, qui, après la réfraction et la réflexion, soit encore composé de rayons parallèles. Il n'y a donc que ce faisceau de lumière qui puisse exciter la sensation sur un œil éloigné; or^ il émerge delà goutte en faisant un angle d'à peu près 41° 3o' avec la direction de la ligne qui va du Soleil à la goutte ou à l'œil de l'observateur, ce qui est la même chose, et, par conséquent, l'observateur doit voir le rayon de l'arc-en-ciel principal sous cet angle de4i°3o'.

C'est en effet ce que trouva Descartes. Mais nous ne voudrions pas donner à penser qu'il ait exprimé, comme il est bien facile aujourd'hui de le faire d'après Newton, la condition pour qu'un rayon incident, après ces deux réfractions et sa réflexion, pût affecter Fœil, ni, à plus forte raison, qu'il ait obtenu analytiquement la condition de parallélisme, au sortir de la goutte, entre des rayons provenant de deux rayons tombés sur cette goutte en des points infiniment voisins.

'Voici comment Descartes opère : il divise en 10 000 parties égales l'un des rayons du grand cercle de la goutte, déterminé par le plan diamétral perpendiculaire à la droite menée vers le Soleil, et il suit de proche en proche, dans un premier calcul, les rayons lumineux qui, prolongés dans l'intérieur de la goutte, iraient passer par les points de ce rayon marqués

1000, 2000, 3ooo, 4000, 5ooo, 6000, 7000, 8000, 0000;

il calcule ko angles dont ces rayons ont été déviés, après leur

28 Huitième Période.

passage à travers la goutte, et il trouve

sur quoi il dit : « Et il est aisé à voir en cette table qu'il y a bien plus de rayons qui font l'angle d'environ 40" qu'il n'y en a qui le fassent moindre. »

Et, comme ces rayons^ déviés de 40° environ, sont ceux qui sont tombés aux points marqués 8000 et gooo, il recommence le calcul, en réduisant l'intervalle des essais, pour les rayons lumineux qui tomberaient aux points marqués

8ioOj 8200, 83oo, 8400, 85oo, 8600, 8700^ 8800, 8900, 9000, 9100, 9200, 9300, 9400, 9500, 9600, 9700, 9800;

il trouve alors pour les angles de déviation :

'c Et je vois ici, dit-il, que le plus grand angle peut être de 4i°3o',à quoi ajoutant 17' pour le demi-diamètre du Soleil, j'ai 4i°47' pour le plus grand diamètre de l'arc-en-ciel intérieur. )

Il opère de même pour Tarc-en-ciel extérieur et trouve pour son demi-diamètre 5i°37'.

Il est évident que Descartes a bien vu qu'il s'agissait au fond d'une question de maximum ou de minimum; il est clair aussi que la méthode qu'il emploie est celle dont il conviendrait d'user

De Descartes à Cavalieri. 2q

dans la pratique, toutes les fois que le calcul ne pourrait pas être institue'; mais ce n'était pas le cas ici.

Quant à la coloration de Tare, Descartes dit simplement que la lumière réfractée par la goutte se comporte comme celle qui a traversé un prisme de verre.

Il est curieux de remarquer que Descartes ne paraît pas absolument fixé sur le sens de la marche delà lumière, des objets vers l'œil ou de l'œil vers les objets. Il dit, en effet, dans l'une des premières pages de sa Dioptrique : «■ Ainsi faut-il avouer que les objets de la vue peuvent être sentis , non seulement par le moyen de l'action, qui, étant en eux, tend vers les yeux; mais, aussi par le moyen de celle qui, étant dans les yeux, tend vers eux. Toutefois, pour ce que cette action n'est autre chose que la lumière, il faut remarquer qu'il n'y a que ceux qui peuvent voir pendant les ténèbres de la nuit comme les chats, dans les yeux desquels elle se trouve ; et,que^pour l'ordinaire des hommes, ils ne voient que par l'action qui vient des objets; car l'expérience nous montre que ces objets doivent être lumineux ou illuminés pour être vus; et non point nos yeux pour les voir. »

Descartes croyait à l'instantanéité de la transmission de la lumière, ce qui ne doit pas étonner, mais il la démontrait par l'exemple d'un bâton dont les deux bouts s'avancent en même temps lorsqu'on le pousse dans le sens de sa longueur.

Il trouvait fort singuher qu'on pût admettre qu'une balle restât un certain temps très court en contact avec la surface d'un corps, avant de rebondir. Voici, en effet, comment il s'exprime au commencement du second discours ou chapitre de sa Dioptriqiic : « Par conséquent, on ne doit pas imaginer qu'il soit nécessaire qu'elle s'arrête au point de rencontre avant que de se relever,

3o Huitième Période.

ainsi que font plusieurs de nos philosophes; car, si son mouvement était une fois interrompu par cet arrêt, il ne se trouverait aucune cause qui le fît par après recommencer. »

La Géométrie.

On voit que Descartes a remué bien des idées, sondé bien des questions ; mais, de ce grand travail, il ne reste guère aujourd'hui d'intact que sa Géométrie dont nous allons donner une analyse plus succinte que nous ne voudrions.

La Géométrie de Descartes n'est pas, comme on pense bien, un Traité de Géométrie analytique; c'est un simple aperçu de ce que va pouvoir devenir cette branche de la Science, dès que l'idée de l'inventeur aura été comprise, c'est-à-dire une sorte d'introduction familière à un traité que l'auteur laisse à faire à ses successeurs immédiats, et dont il se borne à indiquer les premières bases. Des trois livres qui composent l'ouvrage, les deux premiers ont seuls trait à la Géométrie; le troisième, qui offre un résumé substantiel des connaissances déjà acquises en Algèbre avant Descartes, fait simplement l'office d'un cadre où puissent trouver place la démonstration de la fameuse règle des signes et la résolution de l'équation du quatrième degré. Le second livre est en partie absorbé par la théorie des fameuses ovales, dont nous aurons peu de choses à dire.

Au point de vue où nous devons nous placer, nous ne devons considérer dans la Géométrie de Descartes que trois points essentiels, où l'auteur expose sa manière de comprendre l'application de l'Algèbre à la solution des problèmes de Géométrie, le mode de représentation des courbes au moyen de leurs équations, enfin la solution générale du problème des tangentes.

De Descartes à Cavalieri. 3i

Nous avons eu déjà bien souvent l'occasion de marquer la part qui revient à Descartes dans la grande révolution par laquelle toutes les questions concrètes ont été enfin ramenées à des questions abstraites d'Algèbre.

Nous n'y reviendrons donc pas : nous nous bornerons à rappeler que, moyennant l'intervention de l'unité abstraite, indéfinie, qui ne remplit jamais qu'un rôle de présence, toutes ses équations ont un sens immédiat^ bien que les grandeurs y entrent directement, au lieu de leurs mesures comme dans notre Algèbre moderne.

Descartes nous apprend que c'est en s'essayant au problème cité par Pappus comme ayant arrêté Euclide et Apollonius, que lui vint l'idée de son système de Géométrie analytique.

Voici ce qu'il dit à ce sujet :

« La question qui avoit été commencée à résoudre par Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, était telle : Ayant trois^ ou quatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par position, premièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d'un même point ait la proportion donnée avec le carré de la troisième, s'il n'y en a que trois; ou bien avec le rectangle des deux autres, s'il y en a quatre; ou bien, s'il y en a cinq, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède composé des deux qui restent et dune autre ligne donnée; ou. s'il y en a six, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède des trois autres; ou. s'il y en a sept, que ce qui se produit

Si Huitième Période.

lorsqu'on en multiplie quaiic lune par l'autre ait la raison donnée avec ce qui se produit par la multiplication des trois autres et encore d'une autre ligne donnée; ou, s'il y en a luiit, que le produit de la multiplication de cjuatre ait la proportion donnée avec le produit des tpiatre autres; et ainsi cette question se peut étendre à tout autre nombre de lignes. Puis, à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire ù ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connoître et de tracer la lii^nc dans laquelle ils doivent tous se trouver, et Pappus dit que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques; mais il n'entreprend point de huléterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement, il ajoute que les anciens en avoient imaginé une qu'il montroicnt y être utile, mais qui sembloit la plus manilcslc et qui n'etoit pas toutefois la première, ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été. »

Ce problème était admirablement choisi pour montrer les avantages du nouveau système de GcomctriCy parce que la mise en équation reste la même, quel que soil le nombre des lignes données et quelle que soit, par conséquent, la difficulté du problème. Descartes montre d'abord que, si l'on considère en particulier une des droites donnécs, qu'on désigne par r la ligne qui doit être menée du point cherché à cette droite, et par x la distance de son pied à un jtoinl marqué sur cette même droite, toutes les autres lignes qui devi-ont être menées aux autres droites données s'exprimeront « chacune par trois termes, dont l'un est composé

De Descartes à Cavalieri. 33

de la quantité inconnue r, multipliée ou divisée par quelque autre connue, et l'autre de la quantité inconnue x, aussi muliipliée et divisée par quelque autre connue, et, le troisième, d'une quantité toute connue. « Puis il ajoute : « Vous voyez aussi que, nudtipliant plusieurs de ces lignes Tune par lautre , les quantités .V et r, qui se trouvent dans le produit, n'y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication ilcsqucllcs elles servent, qui ont été ainsi nudlq^liées. en sorte qu'elle n'auront jamais plus lie deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes, ni plus de trois en ce qui ne sera produit que par la multiplication de trois, et ainsi ;\ l'inlini.

« Oc plus, à cause que, pour déterminer le point cherché, il n'y a qu'une seule condition qui soit requise, i\ savoir que ce qui est produit par la multiplication d'un certain nombre de ces lignes soit égal ou ail la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication îles autres, on peut prendre à iliscrétion l'une des deux quantités x ou j- et clierciier l'autre par cette équation. Ainsi, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne r, on en trouvera aussi infinies pour la ligne .V, et on aura une infinité de divers points, par le moven desquels on décrira la ligne liemandce. ^'

Il est remarquable que Descartes groupait ensemble les courbes de deux degrés consécutifs : « Pour comprendre ensemble toutes les courbes qui sont en la nature et les distinguer p.ir ordre en certains genres, je ne sache rien île meilleur que de dite que tous leurs points ont nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui peut être exprimé par quelque équation, en tous par une même, et que, lorsque cette équation ne monte

M. Mauii;. — llistoiie Jcs Sciences. 1\'. 3

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que jusqu'au rectangle de deux quantités indéterminées, ou bien au quarré d'une même, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse qui soient compris; mais que, lorsque l'équation monte jusqu'à la troisième ou quatrième dimension des deux ou de l'une des deux quantités indéterminées, elle est du second; et que, lorsque l'équation monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième, et ainsi des autres à Fintini. »

Après avoir ainsi établi les bases de son système de coordonnées, Descartes en fait connaître les usages : « De cela seul qu'on sait le rapport qu'ont tous les points d'une ligne courbe à tous ceux d'une ligne droite, ainsi que je l'ai expliqué, il est aisé de trouver aussi le rapport qu'ils ont à tous les autres points et lignes donnés, et ensuite de connaître les diamètres, les aissieux, les centres et autres lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier ou plus simple qu'aux autres, et ainsi d'imaginer divers moyens pour les décrire et d'en choisir les plus faciles, et même on peut aussi par cela seul trouver quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne plus d'ouverture, et enfin, pour ce qui est de toutes les autres propriétés qu'on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais, lorsqu'on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes, la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée a

De Descartes à Cavalieri.

trouver que s'ils étoient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir; et j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en Géométrie. »

La solution que donne Descartes de ce problème général des tangentes ou plutôt des normales est celle sans doute qui s'est présentée la première à son esprit, et il la donne sans chercher à savoir s'il en peut exister une meilleure. Au lieu de déterminer directement l 'équation de la tangente par la même règle algébrique qu'il va mettre en usage, il cherche celle du cercle qui aurait pour centre le pied de la normale sur l'axe des x, et pour rayon la distance de ce pied au point donné de la courbe ; il exprime pour cela que l'équation résultant de l'élimination de x, par exemple, entre les équations du cercle et de la courbe, a deux racines égales à l'ordonnée du point de contact; c'est-à-dire que son premier membre est divisible par le quarré de j' moins cette coordonnée. L'équation sur laquelle il opère a un degré plus élevé qu'il n'est nécessaire.

Descartes s'en aperçut, peu de temps après la publication de son livre, et ses lettres renferment Tindication d'une méthode moins détournée.

Notons encore qu'une conséquence toute naturelle de l'adoption du système de coordonnées de Descartes fut la réalisation des solutions négatives qui jusqu'alors avaient simplement été traitées de fausses. Ce fut un nouveau titre pour Descartes : les valeurs

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négatives des inconnues recevant une interprétation en Géométrie analytique, on s'est habitué à en rechercher le sens dans toutes tes questions où les équations les présentaient, ce qui a en quelque sorte doublé l'étendue du champ des formules et permis de ramener toutes les questions à un nombre moitié moindre. Observons toutefois que, sous ce rapport, la pratique a de beaucoup devancé la théorie, qui ne prit naissance que bien plus tard. Mais c'est toujours ce qui arrive ; on s'empresse toujours plus à appliquer les méthodes nouvelles qu'à les éclaircir.

La solution du problème des tangentes ou des normales est suivie de la théorie des ovales que Descartes voulait faire servir à la construction des lentilles convergentes. Voici la définition de Tune de ces ovales :

Fis. I.

F, G et A [fig. i) sont trois points en ligne droite, choisis à volonté; ARest une droite quelconque passant par le point A. Du point F comme centre, avec un rayon arbitraire, on décrit une circonférence MPN qui coupe FAG en P; on prend AQ tel que

De Descartes à Cavalieri. 3j

AQ

— p ait une valeur donnée moindre que i, enfin, AR ayant été

pris égal à AG, on décrit, du point G comme centre, avec RQ comme rayon, une circonférence M'N'j qui coupe la première auK deux points I ; ces deux points appartiennent à l'ovale, qui passe au point A et est symétrique par rapport à FG.

La dernière partie de la Géométrie de Descartes ne traite plus que de l'Algèbre. Après avoir reproduit d'après Viéte, mais plus simplement, la théorie de la transformation des équations et ses usages, Descartes traite d'abord de la recherche des racines commensurables et de la simplification d'une équation pour laquelle on en a trouvé; il passe ensuite à la résolution des équations du troisième et du quatrième degré et à la construction de leurs racines par des intersections de coniques. Il démontre de la manière suivante que ces racines ne pourraient pas être construites au moyen de la règle et du compas seulement : « pour ce qui est des problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir estre construits, sans qu'on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on peut assez trouver, de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions, en l'une desquelles ii faut avoir tout ensemble les deux points, qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données: et en l'autre les deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné : car, d'autant que la courbure du cercle ne dépend que d'un simple rapport de toutes ses parties au point qui en est le centre, on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné : au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant tou-

38 Huitième Période.

jours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents; » la remarque, je crois, n'avait pas été faite avant Descartes.

Nous avons à dessein omis de mentionner la règle des signes, pour pouvoir en parler avec plus de détails. Voici tout ce qu'en dit Descartes: il vient de former le premier membre de l'équation

x'* — 4^^ — igx- + io6x — 120 = 0,

en faisant le produit des facteurs {x — 2), [x — 3), [x — 4) et (x + 6), pour montrer, d'une part, qu'une équation peut avoir autant de racines qu'il y a d'unités dans son degré, et, de l'autre, que ces racines peuvent être aussi bien vraies que fausses (positives que négatives) mais qu'elle ne peut pas en avoir davantage. Et il ajoute :

« On connoist aussi de cecy combien il peut y avoir de vrayes racines, et combien de fausses en chaque équation. A sçavoir, il y en peut avoir autant de vrayes que les signes 4- et — s'y trouvent de fois estre changez; et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes — qui s'entresuivent. Comme en la dernière, à cause qu'après -h x'* il y a

— 4X", qui est un changement du signe + en — , et après

— igx.r il y a H- io6x, et après + io6x, il y a — 120, qui sont encore deux autres changemens, on connoist qu'il y a trois vrayes racines et une fausse, à cause que les deux signes — de 4 j:^ et 19 XX s'entresuivent. »

Autant que je m'en souviens, j'ai lu autrefois, dans les œuvres de Descartes, une véritable démonstration de son beau théorème, mais je ne la retrouve pas. Cependant, l'édition que j'ai sous les yeux, qui est de 1664, doit être conforme à la première. Des-

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cartes étant mort en i65o ; la démonstration que j'ai lue dans ma jeunesse, et qui était complète, quoiqu'elle ne contînt que cinq ou six lignes, avait sans doute été ajoutée, sous les yeux de Descartes, par un de ses commentateurs et amis.

Quoi qu'il en soit, le laconisme de Descartes dans le passage que je viens de citer explique et justifie les critiques de Wallis, le dénégations de Rolle et l'utile intervention de de Gua.

La Mécanique.

Il ne nous reste plus qu'à dire un mot des vues de Descartes en Mécanique.

On trouve, dans ses lettres, les preuves qu'il rejetait l'horreur du vide et croyait à la pesanteur de Tair : 0 L'eau, dit-il, ne demeure pas dans les vaisseaux par la crainte du vuide, mais à cause de la pesanteur de l'air. » La lettre qui contient ce passage paraît antérieure à la publication des découvertes de Torricelli.

Dans une autre adressée à Carcavi, postérieurement à l'expérience du Puy-de-Dôme, il demande des nouvelles de cette expérience que, dit-il, il avait, deux ans auparavant, conseillée à Pascal.

On n'a de lui, sur la Mécanique, qu'un traité en quelques pages, écrit pour le père de Huyghens, mais qui a été joint au Discours de la Méthode dans quelques éditions.

Ce traité est intitulé : Explication des machines et engins par l'aide desquels on peut, avec une petite force, lever un fardeau fort pesant.

« L'invention de tous ces engins n'est fondée, dit Descartes, que sur un seul principe, qui est que la même force qui peut lever un poids, par exemple, de 100 livres à la iiauteur de deux

Huitième Période.

pieds, en peut aussi lever un de 200 livres A la hauteur d'un pied, ou un de 400 à la hauteur d'un dcnii-pied, et ainsi des autres, si tant est qu'elle lui soit appliquée. »

Cet énonce sullit pour nionlrer que les idées de Descartes en Mécanique n'étaient pas très nettes ; on y voit en etlct 'lu'un poids n'est pas une force ou qu'une force est autre chose qu'un poids; autrement il faudrait traduire: la même force qui peut en neutraliser une autre sur un parcours de deux pieds en neutraliserait une double sur un parcours d'un pied. Le mot/orcc n'a donc pas, dans le langage de Descartes, le sens que nous lui donnons. Il est évident que Descartes entend par force une somme d'etlorts, mais qu'est-ce qu'une somme d'efforts? est-ce ce que nous a[->pelons impulsion totale, J'Fdt} alors le principe serait faux. Lst-ce un travail J\F<ii'? il le faudi'ait pour que le principe fût vrai. Mais alors l'énoncé ne serait que la traduction d'une remarque faite sur les conditions d'équilibre des différentes machines et ne constituerait pas un principe.

En fait, c'est bien un travail que, sans le savoir. Descartes entend par le mot/orcc. Ce sont évidemment les conditions connues de l'équilibre de la poulie, du levier et du treuil qui lui ont suggéré son principe, quoiqu'il paraisse au contraire s'en aider pour retrouver ces conditions. 11 applique, il est vrai, la même méthode à l'équilibre d'un corps placé sur un plan incliné, mais la question venait d'être traitée par Stevin.

Descartes a dit quelque part, des ouvrages de Galilée sur la Mécanique, qu'il n'y avait rien trouvé dont il eût désiré être l'auteur.

Il admet dans sa Théorie du choc le principe de la conservation de la quantité de mouvement^ fondé sur l'idée de l'immuta-

De Descartes à Cavalier i. 41

bilité divine; et un autre, à peu près inintelligible, qui n'est plus fondé sur rien du tout.

Il conclut de ces principes, pour le cas de corps absolument durs, que :

1° Si deux corps égaux se choquent avec des vitesses égales, ils se réfléchiront en arrière, chacun avec sa vitesse;

2" Si Tun des deux est plus grand que l'autre, et que les vitesses soient égales, le moindre seul sera réfléchi, et ils iront tous deux du même côté avec les vitesses qu'ils avaient avant le choc.

3" Si deux corps égaux et ayant des vitesses inégales en sens contraires viennent à se choquer, le plus lent sera entraîné, de sorte que leur vitesse commune sera égale à la moitié de la somme de celles qu'ils avaient avant le choc;

4" Si l'un des deux corps est en repos et qu'un autre moindre que lui vienne le frapper, ce dernier se réfléchira sans imprimer à l'autre aucun mouvement;

5° Si un corps en repos est choqué par un plus grand, il sera entraîné et ils iront ensemble du même côté, avec une vitesse qui sera à celle du corps choquant, comme la masse de celui-ci est à la somme des masses de l'un et de l'autre.

On voit par ces énoncés que Descartes n'avait pas une intelligence bien nette de son principe de la conservation de la quantité de mouvement, dans le cas même de mouvements rectilignes.

Les tourbillons de Descartes.

Ces tourbillons, qui ont successivement excité l'admiration, puis le rire, et enfln la pitié, avaient été d'abord imaginés par notre philosophe pour expliquer les phénomènes dus à la pesan-