VIVIANI (VINCENT

(Né à Florence en 1632, mort dans la même ville en ijolv ^

Disciple de Galilée, il s'attacha particulièrement à Torricelli, après la mort de leur maître commun. Son premier ouvrage : De maximis et minimis geometrica diuinatio in quintum coni-

i8o Neuvième Période.

coriim Apollonii Pergœi mine desideratum (Florence, lôSg) répandit bientôt sa réputation dans toute l'Europe. Les Médicis le comblèrent aussitôt de leurs bienfaits; Colbert l'inscrivit sur la liste des savants étrangers auxquels le roi faisait des pensions; le grand-duc Ferdinand le nomma son géomètre et son premier ingénieur; il fut membre des Académies del Cimento et des Arcadiens, associé étranger de la Société royale de Londres et de l'Académie des Sciences de Paris. Il refusa, pour ne pas quitter sa patrie, la place de premier astronome que lui offrait Louis XIV et les offres de Casimir, roi de Pologne.

Le plus important de ses ouvrages est intitulé : De locis solîdis secunda divinatio geomeirica in quinque libros, injuria temporum amissos, Aristœi senioris geometrœ; il ne parut qu'en 1701. Viviani y avait travaillé près de quarante ans.

Il proposa en 1692 aux amateurs de la nouvelle analyse un problème célèbre dont voici l'énoncé : Il y a parmi les antiques monuments de la Grèce un temple consacré à la Géométrie, dont le plan est circulaire, et qui est couronné d'un dôme hémisphérique; ce dôme est percé de quatre fenêtres égales, avec un tel art que le restant de la surface est absolument quarrable. On demande de quelle manière on s'y était pris.

Les solutions arrivèrent de toutes parts : Leibniz et Jacques Bernouilli, le marquis de l'Hôpital, Wallis et David Gregory en donnèrent chacun une, mais celle de Viviani était la plus simple. Il Ta développée dans son Exercitatio mathematica de formatione et mensura fornicum, qui contient en outre les solutions d'un grand nombre d'autres problèmes. Les démonstrations de ces problèmes ont été données par le Père Guido Grandi sous le titre Vivianeorum problematum demonstratio.

De Cavalieri à Huyghens. i .S i

SLUSE (rené, FRANÇOIS, WALTER DE) .

(Xcen i(')2 2. mort en 1685.)

Il était chanoine de la cathédrale de Liège. Il a développé après Descartes la méthode de construction des racines des équations déterminées par l'intersection de deux courbes, en introduisant une inconnue auxiliaire dont l'élimination reproduirait l'équation primitive.

Il a exposé cette méthode dans un ouvrage intitulé : Mesolabum, seu diiœ mediœ proportionales per circulum et ellipsim, vel hjyerbolam, injînitis modis exhibitœ (1659) ; il a réédité cet ouvrage en 16G8, ciim parte altéra de analysi et miscellaneis. Ces Miscellanea traitent des spirales, des quadratures de la cycloïde et d'autres courbes, de la recherche des points d'inflexion, etc.

De Sluse est le premier géomètre qui ait employé la forme simple

Jx

pour le coefficient angulaire de la tangente en un point {x^y) d'une courbe représentée par une équation entière

Huilde était arrivé à quelque chose d'analogue^ mais Huyghens avait trouvé, par la méthode de Fermât, l'équation

qui détermine les points maximum et minimum.

Bien entendu les notations/j et/,' n'étaient pas encore usitées,

ij^o Neuvième Période.

non plus que la dénomination de polynômes dérivés. La règle donnée par de Sluseétait de multiplier chaque terme de l'équation proposée par l'exposant de x ou de j-^ dans ce terme, de diminuer cet exposant d'une unité, et de prendre le quotient des deux résultats obtenus, changé de signe.

ROOKE ( Laurent).

(Né à Deptfort en i(j23, mort en 16Ô2.)

D'abord professeur adjoint d'Astronomie au collège Wadham, à l'Université d'Oxford, puis professeur titulaire au collège Gresham, il fut chargé de la chaire de Géométrie en lôSy. Ce fut lui qui, avec quelques amis, forma en 1660 le premier noyau de la Société royale de Londres. Cependant cette Société ne fut constituée officiellement qu'après sa mort.

PASCAL (bLAISe).

(Né à Clermont (Puy-de-Dôme) en l623, mort en 1662.)

Son père, Etienne Pascal, était président à la Cour des aides de Clermont-Ferrand. C'était un homme distingué à tous égards; il perdit sa femme en 1626, vendit sa charge et vint s'établir à Paris. Il avait beaucoup cultivé les Sciences et ne tarda pas à se lier avec Mersenne, le Pailleur, Roberval, Mydorge, Carcavi, etc.

Biaise Pascal avait montré tout jeune des dispositions étonnantes pour les Mathématiques, mais son père ne voulait pas

De Cavalier i à Huyghens. i,S3

qu'il s'y adonnât encore et lui refusait les moyens de s'y instruire. L'enfant chercha en cachette à faire une petite Géométrie et, découvert, obtint un Euclide qu'il dévora bientôt.

Il composa à seize ans un Traité des sections cotiiques dont un extrait en sept pages fut communiqué à Descartes, qui n'en pouvait revenir. Cet extrait fut publié en 1640. Quant au Traité lui-même, il est aujourd'hui perdu. On sait seulement que Leibniz en a eu deux copies entre les mains, vers 1676, et qu'il en retourna une à M. Périer, en lui conseillant de la faire imprimer, ce qui ne fut pas fait.

Ce Traité contenait le théorème relatif à l'hexagone inscrit, dont Pascal voulait faire la base de toute la théorie des sections coniques, et il paraît qu'il en avait déduit toutes les propriétés de ces courbes.

Il inventa vers l'âge de 22 ans sa machine à calculer, et le triangle arithmétique qui sert à former rapidement les coefticients des puissances successives d'un binôme. Viète avait montré la loi de formation de ces coefficients; Newton en a plus tard donné la formule, qui permet d'en calculer un quelconque sans passer par tous les autres.

Les premiers travaux de Pascal sur la cvcloïde datent de i658. Roberval avait trouvé l'aire de la courbe entière et le volume qu'elle engendre en tournant autour de son axe ou autour de sa base ; Pascal détermina le segment de l'aire, détaché par une parallèle quelconque à la base, les volumes qu'il engendre en tournant soit autour de sa base, soit autour de l'axe, ainsi que les centres de gravité de ces volumes; enfin les centres de gravite des moitiés de ces solides, coupés par des plans de symétrie; et, sous le nom de Dettonville, il envoya à tous les géomètres une lettre circulaire

184 Neuvième Période.

les invitant à concourir pour la solution des problèmes qu'il venait de traiter; il s'engageait à donner 40 pistoles au premier qui les résoudrait et 20 au second.

Wallis envoya d'Oxford les solutions de toutes les questions proposées, mais avec des erreurs de calcul et dans des conditions de délai qui empêchèrent la commission de lui adjuger le prix. Quant au P. Lalouère, il prétendit avoir trouvé toutes les solutions demandées, mais refusa de les communiquer, une exceptée, la seule, probablement, qu'il eût trouvée.

Aucun des concurrents n'ayant répondu aux questions proposées, dans les délais fixés, Pascal prolongea de trois mois la durée du concours, en y ajoutant les problèmes de la longueur (.l'un arc quelconque de la cycloïde, commençant au sommet: du centre de gravité de cet arc ; de l'aire engendrée par cet arc en tournant autour de l'axe ou autour de la base de la cycloïde; enfin des centres de gravité de ces aires, de leurs moitiés ou de leurs quarts.

Cette prolongation n'ayant produit aucun résultat, Pascal publia au commencement de i65g ses propres solutions, qui produisirent dans le monde savant une sensation immense.

On sait l'embarras ou s'était trouvé jeté Galilée par cette observation des fontainiers de Florence, que Teau, dans une pompe aspirante, cesse de s'élever lorsqu'elle a atteint une hauteur de 32 pieds. Torricelli trouva dans la pesanteur de l'air la solution qui avait échappé au maître; Descartes indiqua la hauteur qu'atteindrait le mercure dans un tube vide, si on le substituait à l'eau.

Pascal résolut de vérifier le fait, et eut l'idée de montrer que l'ascension des liquides dans le vide n'étant due qu'à la pression

De Laval leri à Htn-gliey.s. i83

atmosphérique, la hauteur à laquelle s'arrêteraient les liquides diminuerait, si l'on s'élevait à une grande hauteur.

Des expériences exécutées dans le Puy-de-Dôme par Périer, beau-frère de Pascal, et sur les indications de celui-ci, réussirent pleinement (1648). Déjà, l'année précédente, Pascal avait publié ses Expériences sur le vide. De nouveaux essais faits à Paris, sur la tour de Saint-Jacques-la-Boucherie, confirmèrent les résultats obtenus par Périer.

D'un même coup, Pascal avait créé le baromètre et indiqué la plus intéressante de ses applications, la mesure des hauteurs.

On l'a accusé, de son vivant même, de s'être approprié les expériences de Torricelli; le fait est manifestement faux, car il avait lui-même signalé ces expériences dans l'opuscule que nous avons cité, sans en connaître l'auteur.

Il fit paraître ensuite son Traité de la pesanteur de la masse de l'air, où il explique tous les phénomènes atmosphériques par la pression de l'air. Ses recherches dans cette direction le conduisirent à l'examen des fondements de l'Hydrostatique {Traité de l équilibre des liqueurs). Ce traité, comme le précédent, fut écrit en IÔ53.

Voici la liste des ouvrages de Pascal : Traité des coniques {1640), dont il ne reste qu'un fragment; une série d'opuscules : De numericarum potestatum ambitibus , Traité sur les nombres multiples, De numeris magico-magicis, Promotus Apollonius Galliis, Tactiones sphericœ, Tactiones etiam conicce., Loci solidi, Loci plani, Perspectivce methodus, Aleœ geometria, dont on n'a que les titres; Avis nécessaire à tous ceux qui auront la curiosité de voir la machine arithmétique et de s'en servir (1645), avec dédicace au chancelier Séguier, et, en i65o,

i86 Neuvième Période.

une lettre à Christine de Suède en lui envoyant la machine arithmétique; Traité du triangle arithmétique., avec ses usages j:70»r les combinaisons^ pour les partis de jeu, pour trouver les puissances des binômes et apotômes ; Traité des ordres numériques., ou De numericis ordinibiis tractatus (ces traités ont paru réunis en i665, i vol. 111-4"); ^^ numericoruni ordinum cornpositione ; De numericoruni ordinum resolutione ; De numericoruni ordinum summa ; De numerorum continuorum productis ; Producta continuorum resolvere ; Numericaruni potestatum generalis resolutio; Combinationes ; Potestatum numericaruni summa ; de numeris multiplicibus ; Deux lettres à Fermât {i65^) sur les Jeux de hasard; Problemata de cycloide proposita mense junîi (i658); Réflexions sur la condition des prix attachés à la solution des problèmes de la cj^cloïde, bientôt suivies de : Annotata in quasdam solutiones problematum de cycloide ; Histoire de la roulette appelée autrement trochoïde ou cycloïde, suivie de Suite de la roulette; Lettre de M. Dettonville à M. de Carcavi^ ci-deyant conseiller du roi en son grand conseil, suivie de Cinq traités des sommes simples, triangulaires et pyramidales : des trilignes rectangles et de leurs onglets; des sinus du quart de cercle; des arcs de cercles et des solides circulaires; Traité général de la roulette ou Problèmes proposés publiquement et résolus par A. Dettonville ; Dimensions des lignes courbes de toutes les roulettes; De l'escalier circulaire, des triangles cylindriques et de la spirale autour du cône; Propriétés du cercle, delà spirale et de la parabole ; Nouvelles expériences touchant le vuide (1647); Réponse de Pascal au Père Noël .Jésuite {i6.^y], suivie de : Lettre de Pascal à M. Le Pailleur au sujet du Père Noël^ Lettre de Pascal à M. de Ribeyre, premier prési-

De Cavalier i à Huyghens. 187

dent à la cour des aides de Clermont et Réplique de Pascal à M. de Ribeyre ; Traité de V équilibre des liqueurs et Traité de la pesanteur de la masse de l'air; Récit de la grande expérience de Véquilibre des liqueurs ^projetée par le sieur B. Pascal (1648), précédé de deux fragments dans l'édition de i663 et suivi de Nouvelles expériences faites en Angleterre ^ expliquées par les principes établis dans les deux traités de Véquilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air; Lettres de MM. Pascal et Roberval à M. Fermât sur un principe de Géostatique mis en avant par ce dernier; Lettres de Louis de Montalte à un provincial de ses amis et aux révérends Pères jésuites sur la morale et la politique de ces pères (i656, in-4°); Pensées de Pascal (1669. in-12); Lettres touchant la possibilité d'accomplir les commandements de Dieu et dissertation sur le véritable sens des paroles du concile de Trente, que les commandements ne sont pas impossibles aux justes : Discours sur la possibilité et le pouvoir; Comparaison des anciens chrétiens avec ceux d'aujourd'hui; Questions sur les miracles; Sur la signature du formulaire ; Sur la conversion! du pécheur. Outre plusieurs opuscules qu'on attribue à Pascal, à tort ou à raison, il a eu part à quelques-uns, comme Réponses de divers curés à l apologie pour les casuistes et réponse à un écrit sur les miracles quil a plu à Dieu défaire à Port-Royal.

Les œuvres complètes de Pascal ont été publiées en i858 par Lahure.

Nous passons à l'analyse de ses œuvres mathématiques. On connaît assez le triangle arithmétique et ses usages pour que nous puissions nous dispenser d'en parler.

iS8 Neuvième Période.

Le petit traité De numeris multiplicibus a pour objet la solution générale de cette question : un nombre quelconque étant donné, reconnaître s'il est multiple d'un autre nombre donné, et, dans le cas contraire, trouver le reste qu'il donne. La méthode bien connue par laquelle on traite la question par des considérations analogues k celles qu'on appliquait depuis longtemps aux diviseurs 9 et 1 1 , est de Pascal.

Le traité intitulé Potestatum niimericariim siimma a plus d'importance, parce qu'il contient la solution générale et complète de la question si capitale, dans la méthode des indivisibles, d'exprimer la somme des puissances semblables et entières d'une suite de nombres en progression arithmétique. Le procédé de Pascal n'est, du reste, pas inférieur à celui que nous employons aujourd'hui. Toutefois Pascal laisse aux coefficients leur forme numérique.

Il fait remarquer qu'on avait trouvé avant lui la somme des quarrés et la somme des cubes des nombres entiers consécutifs 1, 2, 3, ..., mais que les méthodes par lesquelles on y était arrivé n'avaient pas pu être étendues aux autres puissances, parce qu'elles étaient propres seulement aux degrés qu'on avait considérés. Il insiste aussi sur ce que sa méthode ne suppose ni que la raison de la progression soit i, ni que les nombres qui y entrent soient entiers, ni que le premier terme soit la raison, ou un multiple de la raison; le progrès était donc considérable.

La formule parlée à laquelle Pascal arrive conduit immédiatement, pour le cas de la progression des nombres naturels, indéfiniment prolongée, à cette conséquence si péniblement entrevue par Cavalieri :

« Summa omnium in quolibet gradu est ad maximam in

De Cavalieri à Huyghens. 189

proxiniè superiori gradu lit imitas ad exponentem superioris gradus^ » c'est-à-dire : la somme des puissances, d'un degré quelconque, de tous les nombres entiers est à la puissance immédiatement supérieure du dernier de ces nombres comme l'unité est à l'exposant de cette puissance supérieure.

Nous passons à la lettre adressée à M. de Carcavi et aux traités qui l'accompagnaient.

Lettre à M. de Carcavi.

Pascal commence par exposer sa méthode pour la recherche des centres de gravité. La figure proposée est divisée en un nombre infini de parties par des plans parallèles équidistants, et il s"agit de préparer l'emploi de la méthode des indivisibles.

Le théorème des moments, en ce qui concerne les forces parallèles, était connu depuis longtemps, mais Pascal remarque que, si une figure est divisée en un nombre infini de parties par des plans parallèles équidistants. l'équation fournie par ce théorème, en supposant les moments pris par rapport au plan qui passe par le centre de gravité, se simplifie immédiatement parce que les distances à ce plan des centres de gravité des parties comprises d'un côté sont comme les nombres entiers consécutifs, de sorte que si A,, Ao, A,, . . . sont les poids des parties situées d'un côté du centre de gravité et B,, B,, B„ . . . ceux des parties situées de l'autre côté, l'équation est

A, -1- 2 A, -1- 3 Aa -f- . . . — B, -^ 2 B. I- 3 B, 4- . . . ;

le premier membre est la somme triangulaire des poids A, prise à partir du premier A, et il en est de même du second membre, par rapport aux poids B.

igo Neuvième Période.

a Pour que les poids d'un bras soient en équilibre avec ceux de l'autre, il faut donc que la somme triangulaire des uns soit égale à la somme triangulaire des autres, à commencer toujours du centre de gravité. »

La somme triangulaire de quantités Aj, Aj, A3, . . ., à commencer de Al, est, comme on voit, la somme des quantités contenues dans la figure

Av

Al A,

Pascal transforme ensuite l'équation fondamentale dans la suivante :

Les sommes triangulaires de tous les poids A et B, comptés successivement des deux extrémités du corps, sont entre elles dans le rapport des distances du plan passant par le centre de gravité aux plans passant par les extrémités, dans l'ordre où l'on a pris ces extrémités.

C'est-à-dire, en supposant qu'il y ait n poids A et ;? poids B,

somme triangulaire A„, A„^i, . ■ ., A,, B,, Bo, . . ., B,, n a somme triangulaire Bp, B^,-,, . . ., Bj, Aj, Ao, . . ., A„ p b

aetb désignant les distances du centre de gravité aux deux plans qui comprennent le corps, distances le long desquelles sont répartis les poids A et les poids B, ou, comme dit Pascal, les deux bras de la balance.

Les démonstrations sont présentées en forme de vérifications, mais la généralisation en est facile.

De Cavalieri à Huyghens. mji

On voit que la diitermination du centre de gravité d'une figure est ainsi ramenée à la recherche des sommes triangulaires des poids des parties de cette figure, comptés successivement de chacune des extrémités, puisque la somme a + è est donnée d'avance.

On verra bientôt comment peuvent s'obtenir ces sommes triangulaires.

Mais Pascal remarque qu'il suffirait que l'on connût la distance des plans extrêmes, ou la balance, la somme triangulaire des poids pris à partir de l'une des extrémités et la somme de tous ces poids pour pouvoir déterminer les distances des ieux plans extrêmes au plan qui leur serait mené parallèlement, par le centre de gravité, ou les deux bras de la balance. En effet, les deux bras étant désignés par a et b, on a déjà

a somme triangulaire A„, A„ ,, . . . , A,, B,. B^ B,,

b " somme triangulaire B,,, B/,,, . . ., Bj, A,, A,, . . ., A,^

iA„-t-2A„i 4- ■ ■ ■ +wAi H-(nH-i)Bi+...+l ;î h- j? 1 B^,

~ I B/, + 2B/,i + . . . +J3B, -h(J7+l)Ai+... +(i7 + 7z)A„'

et il en résulte, par exemple,

I A„ + 2A„-, + .. . + wA, -^ (w-Hi) B, -+-... -t-i n + p] B^, ~ (7Z -hi? -h i)(A„-h A„-,4- .. . -h Al -hBi 4- . .. -i-B;,)

II est vrai que Ton ne pourrait rien tirer directement de cette formule où la somme (A„ + A„, -h . . . h- A, -h B, 4- . . . 4-B/,) est finie, mais où la fraction

1 A„ + 2A„ 1-4- . .. +{n-\-p] Ep n+ p -\- i

tQ2 Neuvième Période.

est le rapport de deux intinis. Quand Pascal s'en servira, il multipliera les deux termes du second membre par Tune des divisions de la balance, division qui tend vers zéro, de sorte que, s'il pouvait énoncer son théorème, il dirait : l'un des bras est le quotient de la somme des moments de tous les poids par rapport à l'extrémité du bras cherché, divisée par la somme de tous les poids, ce qui est la formule dont nous nous servons.

Pascal définit ensuite la somme pyramidale de quantités rangées dans un ordre déterminé.

Soient Ai, A,, A;j, ... les grandeurs considérées : leur somme pyramidale est la somme des sommes triangulaires qu'elles fournissent, la première à compter de A,, la seconde à compter de A,, . . . , c'est-à-dire que

Somme pyramidale (A,, A^, . . . )

= somme triangulaire ( Ai, A,, ... ) -i- somme triangulaire (A2, A3, . . .) H- somme triangulaire (A3, A4, . . . ) + ....

On voit que Ai n'entre qu'une fois dans la somme pyramidale, A, y a pour coefficient 3, A3 y est répété 6 fois, etc., « selon l'ordre des nombres triangulaires. »

Cela posé, si du double de la somme pyramidale on retranche Ja première somme triangulaire, le reste Somme triangulaire (Ai, A^, . . .)