sommes triangulaires (A., A
-h 2 sommes triangulaires (A3, A;, ...)+.. .
contiendra une fois Ai, 4 fois A,, 9 fois A3, etc., c'est-à-dire que les coefficients de Ai, Ao, A;.. . . . seront les quarrés des nombres entiers consécutifs.
De Cavalieri à Hiiyghcns. loJ
Pascal dit : « Cela est aisé par Maurolic; » c'est même aisé sans Maurolic; seulement l'emploi de formules algébriques le rendra plus clair.
La somme pyramidale contient A„ un nombre de fois égal à
ou
le double de cette somme le contient donc
;z(n + 1) fois
et, si de ce double on retranche la première somme triangulaire, qui le contient n fois, il ne restera que
[«(« -t- i) — /zj fois A„ ou n"-A„.
« Mais, dit Pascal, la somme triangulaire (à retrancher du double de la somme pyramidale) n'est qu'un indivisible à l'égard de la somme pyramidale, puisqu'il y a une dimension de moins^ et que c'est la même chose qu'un point à l'égard d'une ligne, ou qu'une ligne à l'égard d'un plan, ou qu'un plan à l'égard d'un solide, ou enfin qu'un fini à l'égard de l'infini, ce qui ne change pas l'égalité. »
On peut donc regarder le double de la somme pyramidale àc grandeurs
A,, Aj, A;,, . . .
en nombre infini, comme égale à
Voici à quoi tendent ces considérations : soit AB [Jîg. 8) une M. M.xRit. — Histoire des Sciences, IV. i.>
Neuvième Période.
courbe quelconque rapportée aux deux axes rectangulaires Ox, Oj- : la figure OAB forme ce que Pascal appelle un triligne rectangle.
Supposons OB divisé en une infinité de parties égales, dont nous appellerons l'une h, menons les abscisses de la courbe, par les points de division, appelons ces abscisses Xy.Xi, . . ., .r, dési-
Fig. 8.
gnant la prem.ière à partir de OA; Taire du triligne sera représentée par
Si = h{xy H-X2 4- . . .);
rette aire diminuée de l'espace compris entre OA et la première abscisse ^i sera
Sa = /î (j^-2 + ^3 + • • ■);
îa même aire diminuée de l'espace compris entre OA et l'abscisse ^2 sera
etc.
Si l'on empile toutes ces aires en mettant entre leurs plans consécutifs la même distance h et plaçant chacune d'elles en retrait à partir de OA, de façon qu'elle se projette sur le plan du îriligne, suivant son égale, elles formeront les sections détermi-
De Cavalieri à Huyghens.
nées par des plans parallèles à celui du triligne, mene's aux hauteurs /î, 2h, 3 h, . . ., dans le tronc de cylindre droit élevé sur le triligne, que formerait le plan mené par OA sous l'angle de 45° avec celui du triligne.
S,/?, So/^, S:j/î, . . . seront donc les volumes des segments interceptés dans cet onglet entre les plans consécutifs considérés. Le volume de cet onglet sera donc
/2(S, + So + S.J+ . . .)
ou, si l'on remet à la place de S^ So, S3 leurs valeurs,
h-{Xi + 2A% 4- 3.V3 -h . . .),
c'est-à-dire le produit de la somme triangulaire des abscisses par le quarré de l'intervalle laissé entre elles. Si l'on voulait représenter la somme
h- [Xi + 2 A-, -I- 3 A-3 H- . . . )
au moyen des notations modernes, on l'écrirait d'abord sous la forme
h [hxi 4- 2 hx, 4- 3 hXi h- . . .)
et remarquant que h, 2 h, 3 h, ... sont précisément les ordonnées qui correspondent aux abscisses .v,, a%, . . ., on la changerait en
h(riXi -hj'iA-, -hj'3-V3 H- . . .)»
Duis en
h^rx-
enfin, en remplaçant h par dj-, en obtiendrait
qui représente bien en effet le volume de l'onglet en question,
inf) Neuvième Période.
considéré ccmme décomposé en segments par des plans parallèles à celui qui serait mené par O A perpendiculairement au plan du triligne.
On peut encore noter cette intégrale autrement : l'une des sommes S est une intégrale de la forme
fxdj-,
dans laquelle la limite supérieure est fixe, Y, par exemple, et la limite inférieure variable, j^, si l'on veut. C'est donc une fonction de j^, puisque Y est une constante. Supposons que cette fonction ait été obtenue et représentons-la par /(j^), de sorte que l'on ait trouvé
la somme
/2(Si4-S2-f-S3+ ...)
pourra alors être écrite sous la forme
et elle devra être prise entre les limites j'o et Y, si j'o désigne l'j' à partir duquel doit être prise la somme triangulaire.
Quant à la somme pyramidale, qui est la somme des sommes triangulaires, elle n'est autre chose, pourvu qu'on n'omette pas le facteur h-, que la somme des volumes placés dans le même tronc de cylindre au-dessus des plans menés aux distances /î, 2 h, 3/i, . . . du plan du triligne. C'est une somme d'onglets. Si on la double et qu'on la multiplie encore par /z, on aura l'expression
qui, dit Pascal, représente un plan-pla}i.
Si l'on veut noter cette somme sous forme d'intégrale, il n'y a
De Cavalieri à Hiiyghens. 1 07
qu'à faire passer h- dans la parenthèse, ce qui donne
ou
ou encore
ou enfin
Cette intégrale représentera le double de la somme pyramidale. On peut aussi noter cette somme autrement : si l'on suppose qu'on ait obtenu l'intégrale
dont il vient d'être parlé, et qui représente la somme triangulaire à partir de laquelle se forme la somme pyramidale, et, si l'on a trouvé
^f[r)dy^^{r.),
¥ [y] désignera une quelconque des sommes triangulaires qui entrent dans la somme pyramidale; cette somme pyramidale sera donc représentée par
r¥[r)dy.
Il est important d'observer que Pascal n'introduit jamais la division Ji, qui doit finalement disparaître dans les rapports. C'est pourquoi il dit :
« La somme simple des abscisses fait un plan, leur somme triangulaire forme un solide qui est composé d'autant de plans
iqB Neuvième Période.
qu'il y a de divisions dans l'axe (OB) et leur somme pyramidale fait un plan-plan composé d'autant de solides qu'il y a de portions dans l'axe ; et ainsi autant qu'il y aura de divisions, il y aura aussi de solides, lesquels étant multipliés chacun par une des petites divisions de l'axe, formeront autant de petits plansplans de même hauteur, qui tous ensemble font le plan-plan dont il s'agit et l'on ne doit pas être blessé de cette quatrième dimension, puisque, comme je l'ai dit ailleurs, en prenant des plans au lieu des solides, ou même de simples droites, qui soient entre elles comme les sommes triangulaires partielles, qui font toutes ensemble la somme pyramidale, la somme de ces droites fera un plan qui tiendra lieu de ce plan-plan. »
Nous ne sommes plus habitués à entendre des choses aussi compliquées. C'est pourquoi Je pourrais dire à peu près comme Kepler : « Prenez donc pitié de moi qui les ai toutes lues dans l'espoir de vous les rendre intelligibles. »
La lettre à M. de Carcavi continue par la définition des onglets et doubles onglets, dont nous venons de donner, par anticipation, un avant-goût. L'onglet simple est le tronc de cylindre que nous avons défini.
« Soit un triligne rectangle AOB [Jîg. 8) dont celle qu'on voudra de O A ou OB,OB par exemple, sera l'axe et l'autre la base. Soient divisées en un nombre indéfini de parties égales OA, OB et AB et que les parties de OA soient égales à celles de OB et aussi à celles de AB, car il ne faut pas craindre l'incommensurabilité, puisqu'en ôtant d'une de deux grandeurs incommensurables une quantité moindre qu'aucune donnée, on les rend commensurables; soient maintenant menées, des points de division
De Cavalieri à Hiiyghens. 199
de l'axe et de la base, des perpendiculaires qui prendront les noms d'ordonnées à Vaxe et d'ordonnées à la base, puis sembUblement, des points de division de la courbe, des perpendiculaires à l'axe et à la base, qui s'appelleront les sinus de la courbe à l'axe, et à la base ».
« Que l'on conçoive, comme précédemment, le cylindre droit ayant le triligne pour base et qu'on le coupe par des plans menés par OA et OB et inclinés de 45" sur le plan du triligne, les troncs du cylindre, séparés par ces plans, seront l'onglet de la base et l'onglet de Taxe; et si l'on mène par les mêmes droites des plans inclinés aussi de 45", au-dessous du plan du triligne, ils comprendront, avec leurs symétriques, les doubles onglets de la base et de l'axe. »
Cela posé, considérons par exemple le double onglet de l'axe OB, lequel est compris entre la surface cylindrique qui a pour directrice AB. le plan mené par OA perpendiculairement au plan du triligne et les deux plans menés par OB à 45" de distance angulaire du plan de ce triligne : ce double onglet aura un grand nombre de rapports remarquables avec le demi-solide qu'engendrerait le triligne en tournant autour du même axe OB. En effet, pour rendre l'explication plus claire, supposons que le demi-solide en question soit déterminé, dans le solide entier, par le plan mené par OB perpendiculairement au plan du triligne et qu'il soit à la gauche de ce plan mené par OB, de façon qu'il se projette sur le plan du triligne suivant ce triligne lui-même.
Coupons l'onglet et le demi-solide par une infinité de plans perpendiculaires à OB et équidistants entre eux : la section faite par un de ces plans parallèles dans le demi-solide sera un demicercle tel que ocac' {fig. 9) ayant pour rayon une des abscisses
Neuvième Période.
de la courbe du triligne, et le même plan coupera le double onglet suivant le triangle isoscèle dod' ., où la base sera double de la hauteur.
Fig. Q.
L'aire du demi-cercle sera
£t celle du triangle,
-■Koa- ,
Le rapport des deux sections sera donc constant et égal à
Ainsi :
!« Les volumes des deux corps seront dans le rapport
2'^ Les centres de gravité du double onglet et du demi-solidc seront sur le plan du triligne. C'est évident.
3° Ces centres de gravité seront également distants du plan élevé en O perpendiculairement à OB, puisque les segments
De Cavalicri à Iluvi^Jicns.
infinitésimaux des deux corps, compris entre des plans parallèles à ce plan de base, resteront toujours dans le même rapport.
4" Les distances des centres de gravité du demi-solide et du double onglet à l'axe OB du triligne seront entre elles dans le rapport
En effet, les distances à cet axe OB des centres de gravité du demi-cercle eue' et du triangle dad' seront respectivement
^ oa et : ocT,
dont le rapport est -•
5" Les surfaces courbes du demi-solide et du double onglet seront aussi entre elles dans le rapport
puisque les sections faites par les mêmes plans parallèles au plan de base, dans les deux surfaces, seront respectivement
-oa et 2oa.
6° Les centres de gravité des surfaces courbes du demi-solide et du double onglet seront évidemment tous deux sur le plan du triligne, et également éloignés de la base OA.
7" Les distances de ces centres de gravité ù Taxe OB seront entre elles dans le rapport
Neuvième Période.
puisque les sections faites par les mêmes plans parallèles au plan de base auront leurs centres de gravité à des distances de l'axe OB respectivement égales à
2 on
et oa.
Ici finit kl lettre à M. de Carcavi. On voit que Pascal va ramener la théorie des figures de révolution engendrées par Taire d'un triligne ou son contour à la théorie des volume s des doubles onglets ou de leurs surfaces courbes.
Traité des triligiies rectangles et de leurs onglets. Propriété fondamentale. — Soit toujours {fig. lo) OAB un triligne rectangle, dont OB sera l'axe et OA la base; supposons comme précédemment l'axe et la base divisés en parties toutes égales ; imaginons les ordonnées à l'axe et à la baie menées par les points de division ; parles points où les ordonnées à la base coupent la courbe, remenons des perpendiculaires à l'axe, qui s'appelleront les contre-ordonnées à l'axe; concevons encore, de l'autre côté du triligne, par rapport à Taxe, une figure quelconque BKO, comprise entre les parallèles AO et BK, figure qui s'appellera l'adjointe du triligne; enfin prolongeons jusqu'à la limite courbe de cette figure les ordonnées et les contre-ordonnées à l'axe : « La somme des rectangles faits de chaque ordotuiée à Vaxe du triligne et de V ordonnée de la figure adjointe^ située sur la même droite, sera égale à la somme des segments interceptés dans la figure adjointe., depuis chaque contre-ordonnée prolongée.^ jusqu'à l'extrémité O de la figure adjointe. »
De Cp.valierï à Huyglicns.
C'est-à-dire, si nous appelons x,, une ordonnée quelconque à l'axe et x^p l'ordonnée à l'axe de la figure adjointe, située sur la même droite ; x',j une contre-ordonnée du Iriligne et x[fj la contre-ordonnée de la figure adjointe, située sur la même droite; enfin h l'une des divisions de l'axe ou de la base, et k,^ la distance qui sépare les deux contre-ordonnées x',j et x',j+i; on aura,
Fig. lo.
en désignant par n et n' les nombres de divisions de l'axe et de la base :
Pour démontrer celte proposition, Pascal suppose la figure adjointe, KBO, relevée dans le plan mené par OB perpendiculairement au plan du triligne, et il imagine le solide compris entre la face KBO relevée ainsi, le triligne, le cylindre élevé sur l'arc AB, perpendiculairement au plan du triligne, et enfin le cylindre qu'engendrerait la ligne OA en glissant parallèlement à elle-même sur OK relevée.
Pascal dit que ce solide est le produit du triligne par la figure adjointe. C'est une locution vicieuse empruntée à Grégoire de Saint-Vincent; le théorème n'en est pas moins vrai. En effet
Neuvième Période.
XpXip est évidemment l'aire de la section faite dans le solide par le plan perpendiculaire à OB dont le rang est p à partir de O, de sorte que
est le volume du solide; d'un autre côté, chacune des intégrales contenues dans le second membre de l'équation représente la portion de l'aire de la figure adjointe qui est comprise entre l'extrémité O et une des contre-ordonnées; c'est donc la section du solide par l'un des plans parallèles à celui qui est élevé surOB, et si on la multiplie par la hauteur h, qui représente aussi une des divisions de OA, on aura le volume d'un des segments du solide, compris entre deux plans perpendiculaires à OA; le produit par h du second membre de l'équation représente donc le volume du solide, comme le premier.
Lemme. — Prenons pour triligne un triangle rectangle iso-
Fig.
scèle OAB, et pour figure adjointe la figure enfermée entre OB, BK égal à OB et la parabole du second degré, OK, dont le sommet soit en O. L'aire ORI,qui entre dans le second membre
de l'équation fondamentale, sera le quotient de - OR par OB.
De Cavalievi à lIiiYs-hens.
Si la parabole OK était de degré m, on aurait de même
0Ri=-j iC^.
m + 1 Qg"' ■
C'est la formule de quadrature des paraboles de tous les degrés entiers.
Proposition 1.
« La somme des ordonnées à la base est égale à la somme des ordonnées à l'axe. « Cest l'équivalent de notre formule
fr ^x = /-^* ^r,
pui-sque Pascal suppose dx =. dy.
Proposition II.
« La somme des quarrés des ordonnées à la base est double de la somme des rectangles faits de chaque ordonnée à l'axe et de sa distance à la base. »
C'est-à-dire, en désignant par r une des ordonnées à la base, lesquelles sont en nombre n', et par x une dos n ordonnées à Taxe,
Car si, au lieu d'une figure quelconque, on prend pour figure adjointe du triligne un triangle rectangle isoscéle BKO, le premier membre de l'équation fondamentale se réduira à
-^-'{phx,,,
puisque chaque ordonnée de la figure adjointe sera égale à sa
Neuvième Période.
distance à la base, et les termes du second membre, qui seront les aires de triangles tels que OMN, auront respectivement pour valeurs les moitiés des quarrés des ordonnées à la base.
Cette proposition équivaut absolument à celle que traduirait notre formule
fy- dx := xy- — 2 fxy dy.
Car premièrement, dans l'hypothèse où raisonne Pascal, d'un arc terminé aux deux axes, xy- est nul à ses deux limites;
Fi£
deuxièmement, Pascal ne donne jamais de signes aux accroissements de X et dej^, en passant d'un point à un autre de la courbe. Enfin dx et dy étant supposés égaux, comme nous l'avons dit, Pascal les supprime comme facteur commun.
Corollaire. « Donc la somme des quarrés des ordonnées à la base est double de la somme triangulaire des ordonnées à l'axe, à commencer par la base. »
Proposition III.
« La somme des cubes des ordonnées à la base est triple (de la somme) des solides compris de chaque ordonnée à l'axe et du quarré de sa distance de la base. »
La démonstration est analogue à celle de la proposition II,
De Cavalieri à Htiyghcns.
mais nous croyons avoir suffisamment indique le procédé géométrique que Fauteur emploie partout, et qui reste constamment le même; nous ne pourrions d'ailleurs le suivre de point en point sans tomber dans des longueurs indéfinies. Au reste, Pascal gagnera à être traduit en langage moderne, ses théorèmes en seront plus clairs et ils acquerront une importance qui a sans doute été appréciée des inventeurs du calcul intégral, mais qui, on peut le dire, n'était plus connue depuis longtemps. La proposition III se traduirait par la formule
fr'dx = xy' — 3fxy- dy,
qui, en tenant compte àts observations présentées plus haut, se réduit à
Sj^' — 3 ^xy-.
Corollaire. « Donc la somme des cubes des ordonnées à la base est égale à six fois la somme pyramidale des ordonnées à l'axe, à commencer par la base. »
Proposition 1 V.
« On démontrera de même que la somme des quarrés quarrés des ordonnées à la base est quadruple de la somme des ordonnées à l'axe, multipliées chacune par le cube de sa distance de la base ; et ainsi toujours. y>
C'est l'équivalent du théorème général
J'y'" dx = xy'" — mfxy'"-^ dy.
Proposition V.
« La somme des solides compris du quarré de chaque ordonnée à la base et de sa distance de Taxe est égale à la somme des solides
2o8 Neuvième Période.
compris du quarré de chaque ordonnée à l'axe et de sa distance de la base . )>
Théorème que nous traduirions par la formule
jy-xdx = ^ xy- — j x-'ydy.
Pascal donne de son théorème cet autre énoncé : « La somme triangulaire des quarrés des ordonnéesàlabaseest égale à la somme triangulaire des quarrés des ordonnées à l'axe, en commençant toujours du côté du centre du triligne. » C'est évidemment la même chose.
Les propositions suivantes sont comprises sous le titre : Rapports entre les sinus sur la base cTun triligne quelconque et les portions de sa ligne courbe comprises entre le sommet et les ordonnées à Vaxe.
Pascal suppose l'axe du triligne (l'axe et la base ne diffèrent, comme on a vu, que par le nom) et l'arc divisés en parties toutes égales. C'est-à-dire que dy =r ds. Les sinus se distinguent des ordonnées à l'axe en ce qu'ils tombent des extrémités des divisions égales de l'arc, au lieu d'être élevés des extrémités des divisions égales de l'axe.
Proposition VI.
« La somme des arcs de la courbe compris entre le sommet (c'est le point que nous avons appelé B) et chaque ordonnée à l'axe est égale à la somme des sinus sur la base. »
Nous traduirions ce théorème par la formule
fsdr~sy — fyds,
De Cavalicri a Iluvirlioi
S désignant un arc de la courbe du triligne. sy disparaissant aux deux limites et dj' égalant ds^ il reste
si l'on ne tient pas compte des signes.
Pascal démontre son théorème en imaginant un autre triligne, dont la base serait la courbe rectifiée, et dont l'arc passerait par les extrémités des sinus de la figure primitive, rapportés sur la nouvelle base divisée en parties égales à celles du premier arc.
Proposition VII.
« La somme des quarrés de ces mêmes arcs est égale à deux fois la somme triangulaire des mêmes sinus, à commencer par l'axe. »
C'est-à-dire
fs- dy -■ s- y — ifsyds.
Pascal aurait pu dire aussi bien, comme dans la proposition V, que la somme des quarrés des arcs est égale à deux fois la somme des rectangles formés de chaque sinus et de l'arc correspondant.
Proposition VIII.
« La somme des cubes de ces mêmes arcs est égale à six fois la somme pyramidale des mêmes sinus, à commencer par l'axe. « C'est-à-dire
fs^ dy 7-- s^y — 3 fs'-]-ds,
parce que ^s-j' fait deux fois la somme pyramidale dcsr- M. Marie, — Histoire des Sciences, I\'. 14
Neuvième Période.
Proposition IX.
« La somme triangulaire des mêmes arcs, à commencer de Taxe, est égale à la moitié de la somme des quarrés des mêmes sinus. «
C'est-à-dire
fsrdr = i sy' — '- fy-ds.
Proposition X.
« La somme pyramidale des mêmes arcs, à commencer par l'axe, est égale à la sixième partie (de la somme) des cubes .des mêmes sinus. »
C'est-à-dire
fsy- dy -=^^y^—\ /r ' ds, parce que S^jr- fait deux fois la somme pyramidale des s.
Proposition XL
« La somme triangulaire des quarrés des mêmes arcs, à commencer de l'axe, est égale à la somme triangulaire des quarrés des mêmes sinus. »
C'est-à-dire
fs-y dy=^- s'y' - fy"- s ds ;
c'est un peu monotone, mais il faut aller jusqu'au bout; si ce n'est pour le plaisir du lecteur^ ce sera dans l'intérêt de Pascal.
Proposition XII.
« Je dis maintenant qu'en menant les sinus sur l'axe (des points de division de l'arc en parties égales), la somme des rectangles
De Cavalieri à Huyghens.
compris (de chacun) des mêmes arcs et de l'ordonnée qui le termine, est égale à la somme des portions du triligne comprises entre chaque sinus sur l'axe et la base. » C'est l'équivalent de la formule
fsx dy = sfx dy — J'dsfx dy,
parce que sfxdy s'annule aux deux limites du triligne, fxdy étant nulle à l'une, et 5 à l'autre.
Proposition XIII.
« La somme des quarrés de chaque arc, multiplié par son ordonnée, est double de la somme triangulaire des mêmes portions du triligne, comprises entre chaque sinus sur l'axe et la base. »
C'est-à-dire]
fs-x dy — s-fx dy — 2 fs ds fx dy.
Même remarque.
Proposition XIV.
« La somme triangulaire des rectangles de chaque ordonnée avec son arc, à commencer par O, ou, ce qui est la même chose, la somme de tous les solides compris de chaque arc, de son ordonnée et de la distance entre l'ordonnée et la base, est égale à la somme des portions du triligne, multipliée chacune par son bras sur la base, c'est-à-dire par la perpendiculaire abaissée sur la base, du centre de gravité de la portion du triligne. »
C'est-à-dire
fsxy dy = sfxy dy- fds ^j^ fx dy,
Neuvième Période .
OU, en simplifiant,
fs xy dy = sfxy dj - — fdsfxy dy, mais Pascal ne fait pas la réduction, parce que
fxydy
a un sens direct.
fxdy
Proposition XV.
« La somme des arcs multipliés chacun par le quarré de son ordonnée est double de la somme des portions du triligne multipliées chacune par son bras sur l'axe. «
C'est-à-dire
fpr
fsx'dy = sfx-dy — 2fds ^^ . fxdy.
Même remarque; tous ces théorèmes sont étonnamment remarquables.
Les propositions suivantes sont comprises sous le titre : Méthode générale pour trouver la dimensioji et les centres de grapîîê d'un triligne quelconque et de ses doubles onglets, par la seule connaissance des ordonnées à l'axe ou à la base.
Voici la proposition générale par laquelle commence ce Chapitre et qui est facile à vérifier, les intégrales étant les mêmes de part et d'autre, en vertu des théorèmes précédents :
« Si l'on connaît dans un triligne toutes les choses suivantes :
i'^ in somme des ordonnées à l'axe,
2" la somme des quarrés de ces ordonnées.
De Cavalieri à Huyghens.
3° la somme des cubes de ces ordonnées,
4° la somme triangulaire de ces ordonnées,
5" la somme triangulaire des quarrés de ces ordonnées,
6" la somme pyramidale de ces ordonnées, on connaîtra aussi la dimension et les centres de gravité tant du triligne que de ses doubles onglets; c'est-à-dire qu'on connaîtra aussi les choses suivantes :
i" la dimension de l'espace du triligne,
2" le bras du triligne sur l'axe,
3" le bras du triligne sur la base;
4° la dimension du double onglet de la base,
5" le bras de cet onglet sur la base,
6" le bras de cet onglet sur Taxe,
7° la dimension du double onglet de l'axe,
8° le bras de cet onglet sur la base,
9° le bras de cet onglet sur l'axe. »
Cette proposition générale est suivie de corollaires dont voici le principal :
« Si un triligne est tourné premièrement sur la base et ensuite sur l'axe, la distance entre l'axe et le centre de gravité du solide autour de la base est à la distance entre la base et le centre de gravité du solide autour de l'axe comme le bras du triligne sur l'axe est au bras du triligne sur la base. »
C'est-à-dire : si ^ et & désignent les coordonnées du centre de gravité du triligne, etque<7i ctè, désignent l'abscisse et l'ordonnée des centres de gravité des solides engendrés par le triligne dans ses deux révolutions successives autour de la base et autour de l'axe.
a cXx
,14 Neuvième Période.
En effet, si x et y désignent les coordonnées d'un point quelconque de l'arc du triligne et S la surface de ce triligne,
1 fx-dr , I fy-dx
d'un autre côté,
f-Ky- xdx . f-K x-j" dy
par conséquent
a fx- dy b fy- dx
et
a\ a fy-x dx ^
bi b fx'-ydy'
en sorte que ce qu'il faut démontrer est que
fy- X dx
fx-ydy
or
fy'-x dx =1 - x'y- — fx-y dy ;
mais - x-y- est nul aux deux limites; par conséquent, au signe près,
fy-x dx = fx-y dy.
Enfin, il reste une série de propositions placées sous le titre :
De Cavalieri à Huy^liens.
Méthode pour trouver la dimension et le centre de gravité de la surface
courbe des doubles onglets,
par la seule connaissance des sinus sur l'axe.
Le théorème fondamental consiste en ce que :
« Si on connaît, dans un Iriligne,
I" la grandeur de sa ligne courbe,
2' la somme des sinus sur l'axe,
3" la somme des quarrés de ces sinus sur l'axe,
4'^ la somme des rectangles de ces mêmes sinus sur l'axe, mul tipliés chacun par leur distance de la base :
On connaîtra aussi la dimension de la surface courbe du double onglet de l'axe et le centre de gravité de cette surface courbe, c'est-à-dire le bras de cette surface sur la base et le bras de cette même surface sur Taxe. »
Cette proposition est facile à vérifier : il suffit pour cela de remarquer que les arêtes de la surface cylindrique du double onglet de Taxe ne sont autre chose que les sinus de la courbe sur cet axe.
Propriétés des sommes simples, triangulaires et pyramidales.
Première propriété . — Si l'on connaît la somme simple, la somme triangulaire et la somme pyramidale de grandeurs, Al, Ao, . . . , A„, à partir de A,, on connaîtra les mêmes sommes, pour les mêmes grandeurs, à partir de A„.
Deuxième propriété. — Si les grandeurs proposées sont augmentées d'une même grandeur, on connaîtra les sommes simple, triangulaire et pyramidale, des nouvelles grandeurs.
Troisième propriété. — Si outre les sommes simple, triangulaire et pyramidale des grandeurs considérées, on connaît en
outre les sommes simple, triangulaire et pyramidale de leurs quarrés, on connaîtra les mêmes sommespour les mêmes grandeurs augmentées d'une même grandeur.
Quatrième propriété. — Elle se rapporte au cas où les grandeurs considérées d'abord sont appliquées à d'autres grandeurs. Pascal ne prend pas le mot appliquer dans le sens que lui donnait Viète : appliquer deux grandeurs l'une à l'autre, c'est, pour lui, en faire un rectangle.
Traité des sinus du quart de cercle.
Pascal démontre d'abord que. si d'un point du quart de la circonférence on mène le sinus et la tangente, sur laquelle on prendra une longueur quelconque, le rectangle compris du sinus (on voit que les sinus sont encore des longueurs) et du segment pris sur la tangente sera égal au rectangle du rayon et de la projection du segment sur le diamètre auquel les sinus sont menés.
Cela posé, Pascal établit de proche en proche les propositions renfermées dans l'énoncé général suivant, qu'il donne d'ailleurs en terminant :
La somme des î;?'^''»'^» puissances des sinus d'un arc quelconque du quart de cercle est égale à la somme des puissances (m — i) des ordonnées de cet arc, comprises entre les sinus extrêmes, multipliée par le rayon.
Pour l'intelligence de cet énoncé, il faut supposer que l'arc a été divisé en parties égales, que les sinus ont été menés des points de division, que la distance des pieds des sinus extrêmes a été divisée en parties égales aux parties de l'arc et que les ordonnées o<it été menées des points de division.
De Cavalieri à Huyghens. - i 7
Le théorème ge'ncral alors se traduit par la formule
r- fx = R cos .;
Jz^ «/J=Rcos.;„
y désignant une ordonnée du quart de cercle ; mais Pascal supposant Kd-j égal à dx, les supprime dans les deux membres.
Si l'on fait dans cette formule m = i, elle donne, en divisant par RS
s\n-:>do
cos
au signe près, dont Pascal ne tient jamais compte. Si l'on y fait m =: 2, elle donne pour
/ sm-od-ù,
l'aire du segment du cercle de rayon i, compris entre les sinus extrêmes, Taxe des .v et l'arc du cercle.
Les démonstrations se font toujours par des considérations géométriques; nous ne les rapportons pas parce que, sur ce point, l'intérêt consiste surtout à savoir que Pascal soit allé aussi loin dans le calcul intégral.
Proposition V.
« Le centre de gravité de tous les sinus d'un arc quelconque, placés comme ils se trouvent, est dans celui qui divise en deux également la distance d'entre les extrêmes. »
Placés comme ils se trouvent signifie descendant des points qui divisent l'arc en parties égales; par conséquent le théorème signifie, en prenant les moments par rapport au diamètre parai-
, i8 Neuvième Période.
lèle aux sinus considérés,
Rsinci.R<^o. Rcos'i
Rcoscio + Rcos(
ou
Rsincô.R^cp
sincp COS9 d'jjt
COScpo + COSO
/ sinx/i/cp
ce qui est évident.
La démonstration de Pascal est analogue à celle que l'on donne pour le centre de gravité de la zone. Toutefois elle repose sur la considération d'intégrales étudiées dans le Traité des trilignes.
Proposition VI,
« La somme des rectangles compris de chaque sinus sur la base et du sinus sur l'axe est égale à la moitié du quarré de la distance d'entre les sinus extrêmes sur la base, multipliée par le rayon, lorsque l'arc est terminé au sommet. »
C'est-à-dire
/ R sincp. Rcoscp.R^cp = - R(R coscpo)"»
Même reniarque que pour la proposition V. Pour noter l'intégrale, nous avons supposé l'angle 90 plus grand que-> afin de
pouvoir prendre les lignes trigonométriques dans leur véritable acception.
De Cavalier i à Huyghens. 219
Profosition VII.
« La somme triangulaire des sinus sur la base d'un arc quelconque terminé au sommet, à commencer par le moindre des sinus extrêmes, est égale à la somme des smus du même arc sur l'axe, multipliée par le rayon, ou, ce qui est la même chose, à la différence d'entre les sinus extrêmes sur la base, multipliée par le quarré du rayon. »
C'est-à-dire
r'Rsin9.R(9 — 9o)R^'^9 = R f' Rcosi.Kdj
— R2(R — Rsincpo) ou
sin
yo>
/ sin 9 (9 — 9ol do = 1 COS9 d-j = ce qui est évident, puisque
/ 'sino(o — oo]^o = — [(o — Oo)cos9]'^ + / 'coso^-j,
et que (9 — 90) COS9 est nul aux deux limites 9 := 90 et 9 = -• Les mêmes remarques subsistent que pour la proposition VI.
Proposition \ III.
« La somme pyramidale des sinus d'un arc quelconque terminé au sommet, à commencer par le moindre, est égale d l'excès dont l'arc surpasse la distance entre les sinus extrêmes, multiplié par le cube du rayon. »
Neuvième Période.
C'est-à-dire
\ r'Rsin'^.R^(cg — cpoj-Rrfo-^ RI^^ — 9o) — Rcos
ou
— / sin^f'j — 9o)'^9=^( -- — 9o ) — cos'iu; ce qui est facile à voir, parce que, d'abord,
- / 'sin'i(cp — 9o)" ^'-p — — -[cos'f(9 — oqI-J- H- / "cosof-^ — -Pol'^'-f-,
et se réduit à
cos 9 ( 'j — 9o ) do ,
car cos9(9 — ç-o)^ est nul aux deux limites 9 = cpo et cp :^ -; et ensuite parce que
/ cos-i(9 — cpo)^9 ^ [sin^l'i — 90)]'' — / sin-jrfi qui se réduit à
- — 90+ (C0SC5)2 , ou - — Oo — COS&o- 2 .. 2 '
- — 9o est l'angle au centre correspondant à l'arc dont parle
Pascal.
Proposition IX.
« La somme des espaces compris entre l'axe et chacun des sinus d'un arc terminé au sommet est égale, étant prise quatre fois, au
De Cavalieri à HuyghcKS.
quarré de l'arc plus lequarréde la distance entre les sinus extrêmes, multipliés chacun par le rayon, »
En effet, l'espace compris entre l'axe et le sinus correspondant à l'angle au centre cp, compté à partir du sommet, est
— [o -\- sin^ coso),
de sorte que l'énoncé du théorème se traduit par l'équation
"R^9 — (o + sin-jcos'^i = R^('ij h- sin-^o),
parce que, l'arc étant compté du sommet, ce que Pascal appelle sinus est ce que nous nommons cosinus, et réciproquement, en sorte que la distance des sinus extrêmes de Pascal est, en réalité, sino,,.
L'égalité précédente se réduit ù
sui-
2 / " 9 ^9 -H 2 / *sin 9 COS 9 do — - y„ -r siu^ 9a,
et, ainsi, est évidente.
Proposition X.
> La somme triangulaire des mêmes espaces, prise quatre fois, à commencer par le moindre sinus, est égale au tiers du cube de Taie, plus la moitié du solide compris de l'arc et du quarré du rayon, moins la moitié du solide compris du moindre sinus, de la distance d'entre les extrêmes et du rayon; le tout multiplié par le rayon. »
Quatre fois la somme simple des espaces en question, compris entre l'axe et le sinus (de Pascal) de l'angle 9, compté du sommet
Neuvième Période.
c'est-à-dire son cosinus, est, d'après le théorème précédent,
R-('/-i- sin-cp);
si nous comptons l'angle à partir du rayon 0A, l'expression précédente devra être remplacée par
cela posé, si nous appelons 90 le complément de l'angle compté du sommet par Pascal, le quadruple de la somme triangulaire des espaces en question sera
ou
c'est-à-dire
3 V2 ou
mais
fsin-x dx = — sinATcosx -\~ fcos-xdx, d'où
fsm-xdx=^ sinjiTCOSJC + - fdx.
De Cavalieri à Huyghcns.
et, par conséquent,
-£sm=(î-,)rf(|-,)
sin
(^-,)cos(î-,)]-i[j-,]^
sin
cpo I cos Oo 1 +
Donc, en re'sumé,la formule du quadruple de la somme triangulaire des espaces considérés est bien
