RL
H-iR(^-,„)R^
^ R sin (^^ — oo j R cos [^ - 9„^ R
ou
3(Ro)^+-(R9)R^--(Rsino)(Rcos-.)R, 9 désignant l'angle dont parle Pascal.
Proposition XL
« La somme triangulaire des quarrés des sinus d'un arc quelconque, terminé au sommet, à commencer par le moindre sious, est égale, étant prise quatre fois, au quarré de l'arc plus le quarré de la distance entre les sinus extrêmes, multipliés chacun par le quarré du rayon. »
En effet, Pascal a déjà trouvé pour la somme simple des quarrés de ces sinus, qui sont les cosinus des parties de son arc Ro,
lR(R9) + i(Rsin9)(Rcos9),
Neuvième Période.
OU, en rétablissant la notation adoptée dans la démonstration de la proposition précédente, afin d'éviter toute confusion,
- R . R ( - — cpo ) -H - Rsin ( - — Ç.0 ) R cos ( - — 9o h
oo désignant le complément de l'angle 9 de Pascal.
On obtiendra donc la somme triangulaire cherchée en ajoutant les deux intégrales
ire-)
Rd'^
et
c'est-à-dire
et
i R^ J\in (^-?) cos(^^ - '^) R^?,
dont les valeurs sont
le quadruple de la somme triangulaire des quarrés des sinus de l'arc R-y est donc bien
R[(Ro)-4- (Rsin-y)-].
De Cavalieri à Huyghens. 225
Toutes les intégrales qu'on a vues dans ce qui précède se trouvent indiquées dans les énoncés de Pascal, que nous avons exprès reproduits textuellement, afin de ne laisser subsister aucun doute à cet égard. Elles ne sont, il est vrai, notées sous aucun signe sommatoire, mais il est bien clair qu'en les écrivant sous la forme moderne, nous ne les avons pas plus altérées que nous n'y avons ajouté, la différentielle de la variable, dont Pascal ne parle jamais étant toujours sous-entendue par lui, comme il le rappelle souvent.
Quant aux intégrations, Pascal les fait à l'aide de considérations géométriques, c'est-à-dire en disposant ses figures assez habilement pour que les sommes qu'il recherche deviennent tangibles. On ne peut donc pas dire qu'il ait inventé le Calcul i)itéf:ral, en ce sens que ce n'est pas par calcul qu'il intègre, mais il faut reconnaître qu'il a introduit la considération d'un grand nombre d'intégrales, qu'il les a comparées les unes aux autres, qu'il les a transformées les unes dans les autres, et enfin qu'il les a évaluées.
Sans doute, en fait de découvertes, le procédé n'est pas chose indifférente : car la connaissance de nos méthodes abstraites met l'intégration à la portée de tout le monde, tandis qu'il faudrait au moins une grande intelligence pour se servir de la méthode que Pascal avait trouvée dans son génie. Mais la découverte, une fois faite, subsiste et il est ensuite facile de rectifier le procédé. Je ne dis pas cela pour rabaisser la gloire des inventeurs de l'analyse infinitésimale ; le grand mérite de Leibniz est d'avoir créé la méthode différentielle dans ses deux grandes divisions. L'intégration des différentielles n'en forme qu'un tout petit chapitre.
J'ajoute que les intégrales doubles que j'ai formulées plus haut M. Marie. — Histoire des Sciences, 1\'. i5
Neuvième Période.
se trouvent aussi dans Pascal. Non seulement il considère une somme triangulaire comme une somme de sommes simples, mais il l'obtient, comme je l'ai fait par exemple dans la proposition X du Traité des sinus, par deux intégrations superposées.
Traité des arcs de cercle.
Les propositions contenues dans ce traité se rapportent à un triligne circulaire, c'est-à-dire à un demi-segment de cercle à une base. La demi-corde est la base du triligne, la flèche de l'arc est l'axe.
Presque toutes ces propositions sont très faciles et je me
bornerai le plus souvent à en rapporter les énoncés, en les
abrégeant .
'Proposition I.
L'axe du triligne étant divisé en un nombre indéfini de parties égales, si l'on mène, par les points de division, les ordonnées à l'axe, lesquelles diviseront l'arc en parties : la somme de ces ordonnées (multipliée par leur intervalle) sera égale au rectangle du rayon et de la base; la somme de leurs quarrés (multipliée par le même intervalle) sera égale au solide fait du rayon et du ti'iligne, augmenté du rectangle de sa base et de la différence entre son axe et le rayon du cercle; la somme des cubes des mêmes ordonnées (multipliée toujours par le même intervalle) sera aussi donnée; ainsi que la somme triangulaire des mêmes ordonnées, leur somme pyramidale et la somme triangulaire de
leurs quarrés.
Proposition II.
Dans la proposition précédente, l'axe du triligne était supposé moindre que le rayon; Pascal le suppose maintenant plus grand.
De Cavalier i à Hiiyghcns. 227
Lemme I.
Si une aire plane S est divisée en parties ^i, 5., . . . , et si les distances des centres de gravité de cette aire et de ses parties à un axe contenu dans son plan sont x, .Vi, x^. . . . , on aura l'égalité
S.V = 6', Xi 4- .?, ATi -f- ....
C'est le théorème des moments.
Lemme II.
Si un secteur circulaire est divisé en une infinité de petits secteurs égaux, les centres de gravité de ces petits secteurs sont distribués également sur l'arc dont le rayon serait les deux tiers du rayon du secteur proposé.
Proposition III.
Si Ton considère un secteur circulaire OAB, dont Tare soit divisé en une infinité de parties égales, la somme des secteurs compris entre le rayon OA et chacun de ceux qui seraient menés aux points de division (multipliée par une des divisions) est égale au quart du quarré de l'arc AB, multiplié par le rayon.
Proposition /T.
La somme triangulaire des mêmes secteurs (multipliée par le quarré d'une des divisions) est égale au douzième du cube de l'arc, multiplié par le rayon.
Proposition \'.
La somme des solides compris des mêmes secteurs et de leurs bras respectifs sur OA (multipliée par une des divisions de l'arc)
2 28 Neuvième Période.
est égale au produit du cube du rayon par le tiers de l'arc, diminué du tiers de son sinus-verse.
Proposition VI.
La somme des solides compris des mêmes secteurs et de leurs bras respectifs sur le rayon perpendiculaire àOA (multipliée toujours par une des divisions de l'arc) est égale au cube du rayon, multiplié par le tiers du sinus-verse de l'arc.
Proposition VU.
Si des points de division de l'arc on abaisse des perpendiculaires sur le rayon perpendiculaire à OA, lesquelles seront les cosinus des arcs compris entre l'extrémité A de l'arc et les points de division, la somme des triangles rectangles compris entre le rayon mené au point de division, le cosinus dont il vient d'être parlé et le sinus correspondant (multipliée par une des divisions de l'arc) sera égale au quart du produit du rayon par le sinus de l'arc entier.
Proposition VIII.
La somme triangulaire des mêmes triangles (multipliée par le quarré d'une des divisions de l'arc) sera égale au produit du cube du rayon par la huitième partie de l'arc, moins la huitième partie du produit du quarré du rayon par le rectangle du sinus et du cosinus de l'arc entier.
Proposition IX.
I-a somme des solides faits des mêmes triangles et de leurs bras respectifs sur O A (multipliée par une des divisions de l'arc) est égale au tiers du cube du rayon multiplié par le sinus de l'arc, moins
De Cavalieri à Huyghens. 229
le tiers du produit du rayon par la somme des quarrcs des sinus des arcs comptés du point A (multipliée par une des divisions).
Proposition X.
Théorème analogue, les bras étant pris par rapport au rayon perpendiculaire à OA,
Proposition XI.
Dans cette proposition et les trois suivantes, Pascal revient sur la théorie des trilignes circulaires pour la compléter. Soit CAB le triligne, dont AB est l'arc, CB l'axe et CA la base; l'axe CB est divisé en une infinité de parties égales et, par les points de division, sont menées les ordonnées perpendiculaires à Taxe. Pascal détermine successivement la somme des rectangles de ces ordonnées et des arcs correspondants, comptés du sommet B; la somme des solides de ces ordonnées et des quarrés des arcs correspondants ; la somme des solides des quarrés des ordonnées et des arcs; enfin la somme triangulaire des rectangles compris des ordonnées et des arcs correspondants : chacune de ces sommes, bien entendu, étant multipliée par une des divisions de l'axe, pour les trois premières, et par le quarré de cette division pour la quatrième.
Propositions AT et AT/.
Le triligne dépasse le quart de cercle et Pascal reprend, pour ce cas, les propositions XI et XIV.
Traité des solides circulaires.
Pascal y détermine les centres de gravité des deux solides engendrés par un triligne circulaire tournant successivement autour de
Neuvième Période.
son axe et autour de sa base, les centres de gravité de la moitié du premier de ces solides et de sa surface, etc.
Traité de la roulette.
On comprendra sans peine que les problèmes de la roulette se trouvent d'avance résolus par les belles théories que nous avons essayé de résumer.
Nous ne suivrons donc pas Pascal dans l'application qu'il fait de sa méthode aux questions spéciales dont il s'agit.
Nous nous bornerons à cette observation que Pascal s'est strictement limité, dans sa théorie, à ce qui était nécessaire pour la résolution des questions qu'il avait en vue par rapport à la roulette. Cette théorie n'en forme pas moins un ensemble relativement complet et d'ailleurs très satisfaisant; mais beaucoup de parties qui la composent ne pourraient pas être utilisées dans des recherches différentes; par exemple, la théorie des onglets n'a trait qu'à l'évaluation des volumes des demi-solides de révolution et à la détermination de leurs centres de gravité. Or Pascal aurait probablement pu aborder avec quelque succès le problème général des quadratures, des cubatures, des rectifications et des centres de gravité.
Quant à l'invention des sommes triangulaires et pyramidales, elle est très belle et appartient à la méthode, considérée dans ce qu'elle a de plus général, puisqu'elle tendait à l'introduction des intégrales doubles et triples.
De Cavalieri à Huyghens.
