NEUVIEME PERIODE

CETTE période voit naître et se développer ia méthode des indivisibles, qui peut se rattacher, au point de vue géométrique^ à celle qu'Archimède employa pour comparer lès segments de conoïdes aux segments sphériques, mais qui en diffère en ce qu'elle est fondée sur le calcul et acquiert par là plus de généralité.

Le calcul des indivisibles peut être considéré comme équivalant à notre calcul intégral, borné à l'intégration des fonctions différentielles. Il en diffère cependant en ce qu'il est indépendant de toute autre théorie.

Notre calcul intégral n'a pas, à proprement parler, d'existence propre : sauf quelques transformations et réductions indispensables, il n'est que l'inverse du calcul différentiel, c'est-à-dire que nos procédés d'intégration se réduisent à comparer les fonctions placées sous le signe sommatoire, au tableau des différentielles connues. Au contraire la méthode des indivisibles n'emprunte rien à aucune autre et se suffit à elle-même, parce que les sommations s'y font directement.

On verra peut-être avec étonnement que le calcul intégral ait pris naissance avant le calcul différentiel; cependant cela ne doit

De Cavalier i à Hityghens.

pas surprendre extrêmement : les problèmes de la quadrature des aires planes contenues dans des contours curvilignes, de la cubature des volumes enfermés dans des surfaces courbes, de la rectification des lignes courbes, ou de la quadrature des surfaces courbes s'imposent en effet si bien d'eux-mêmes à l'attention qu'ils sont posés de toute antiquité. Tandis que celui des affec tions intimes des courbes ou surfaces, dans leurs éléments infinitésimaux, ne pouvait être imaginé qu'à la suite de recherches déjà très délicates. Ainsi le premier venu a l'idée de la recherche de l'aire d'une surface courbe, tandis que, par exemple, Voltaire n'est même pas parvenu à comprendre ce qu'on pouvait bien entendre par le cercle osculateur à une courbe en l'un de ses points, quoiqu'il connût la solution du problème.

La méthode des indivisibles, remplacée presque aussitôt après son invention par le calcul intégral, a laissé peu de traces dans les esprits : on la connaît très peu; elle mérite cependant d'être étudiée avec soin : elle correspond en effet à une phase très importante de l'évolution de l'esprit mathématique.

Nous n'entrerons pas ici dans le détail des solutions obtenues, dans la période qui nous occupe, des quatre grands problèmes énoncés plus haut : on trouvera ces détails dans l'analyse que nous donnerons des travaux des principaux instaurateurs de la méthode. Il suffira ici, pour caractériser cette méthode, de considérer en particulier le problème de la quadrature des aires planes enfermées dans des contours curvilignes, auquel se ramènent plus ou moins immédiatement les trois autres. Soit

l'équation, en coordonnées rectangulaires, par exemple, de la

Neuvième PcrioJe.

courbe dont on veut obtenir le seginent compris entre les deux ordonnées x =^ Xo et x -= x, :

On trouve d'abord, très nettement énoncé dans Roberval, ce principe que, si/ {x) se compose de plusieurs parties positives ou négatives, cp(x), ■]> (xj, /(.v),... l'aire cherchée se compose des aires des courbes

combinées avec les mêmes signes.

C'est l'équivalent de notre principe que l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales des parties. Au point de vue concret, il se traduit, chez les géomètres de la période qui nous occupe, par cette observation que l'aire d'une courbe ne dépend pas de la figure droite ou courbe de la base à partir de laquelle sont comptées les ordonnées de cette courbe, mais seulement de la grandeur de ces ordonnées et de la loi qui les lie à la distance qui les sépare de la première d'entre elles.

Cela posé, et l'ordonnée j^ z=if[x) de la courbe à quarrer étant réduite autant que possible, si l'on conçoit la distance x, — x„ des ordonnées extrêmes, divisée en un très grand nombre n de parties égales, dont l'une sera h, l'un des éléments de l'aire à obtenir sera

hf[x)

et cette aire sera elle-même représentée par

>:;;-' /2/(xo+n/2);

De Cavalieri à Huyghcns.

OU, du moins. Taire clierchée sera fournie par la limite de cette somme, pour n inlini.

La formule n'est pas encore notée ainsi ; elle n'est même énoncée qu'en langage ordinaire, mais cela importe peu : elle n'en équivaut pas moins absolument à la nôtre :

f\x)dx;

seulement ce n'est pas précisément la somme

que recherchent les Géomètres de la période qui nous occupe, du moins jusqu'à Pascal: c'est le rapport de l'aire en question au rectangle qui aurait la même base que le segment, et pour hauteur l'ordonnée extrême de la courbe, c'est-à-dire

nhj{x,)

le motif de leur préférence est que ce rapport se transforme immédiatement en

nf[x:)

et que l'évaluation d'une somme tînic d'éléments infiniment petits se trouve ainsi remplacée par celle du rapport de deux sommes infinies d'éléments finis, en nombre illimité. Cette préférence s'explique aisément parce que les méthodes de calcul n'ayant pas encore reçu les développements qui seraient nécessaires, c'est au moyen de figures que se font les démonstrations, même arithmétiques; or, les éléments finis des termes du rapport

54 Neuvième Période.

peuvent être figurés, tandis que les éléments infiniment petits de la somme ne pourraient pas l'être.

Les rapports appartenant au type

dont on se proposa de trouver les valeurs limites pour n infini, se réduisirent d'abord à ceux qui correspondent au cas où/{x) est un monôme Ax'"; Cavalier! ne va pas plus loin et encore n'examine-t-il que les hypothèses où ma Tune des valeurs 2, 3 et 4. Toutefois il donne la règle générale, à laquelle il arrive par analogie. Au reste, les démonstrations de Cavalieri sont exclusivement fondées sur des considérations géométriques. Il reçut quelque secours d'une note de Beaugrand, que lui avait envoyée le P. Mersenne, en sorte que la France eut déjà une part importante dans cette première ébauche de la théorie.

La remarque de Roberval permettait d'étendre la méthode aux cas 0Li/(.v) serait un polynôme quelconque, en sorte que, cette remarque étant facile à faire, on peut dire que Cavalieri savait déjà quarrer les paraboles de tous les ordres, simples ou composées.

Roberval n'ajouta rien à cette théorie, qu'il ne mentionne même pas, mais ses recherches sur la cycloïde l'amenèrent à considérer des sommes de sinus et de quarrés de sinus d'arcs en progression arithmétique; seulement les arcs qu'il considère s'étendent tout le long de la circonférence, ce qui simplifie beaucoup les difficultés, parce qu'il se produit alors des réductions importantes. Au reste il ne se propose pas la quadrature du cercle, qu'il suppose connue et dont il se sert pour la quadrature de la cycloïde.

De Cavalieri à Huygliens.

Wallis débarrassa la théorie de la quadrature des paraboles de toutes considérations géométriques : le rapport

n{nh)"' se réduit à

et Wallis fait très bien voir qu'il ne s'agit que d'obtenir la limite pour ;z=:oo du rapport de la somme des m''^""-'^ puissances des nombres entiers de i à n à n fois la în"^'«c puissance du dernier; mais, ne pouvant calculer la somme Il^'^n'", il se borne à obtenir de proche en proche les valeurs limites du rapport qui l'occupe. Toutefois il parvint, par induction, à la formule générale du rapport,

déjà aperçue par Cavalieri.

C'est Pascal qui, sur ce point, compléta la théorie en apportant des démonstrations générales. Il calcula, comme nous le ferions aujourd'hui, les sommes successives des puissances semblables et entières d'une suite de nombres en progression arithmétique. Il n'y a de différence qu'en ce que, ne connaissant pas la formule littérale du coefficient du terme général de la puissance m d'un binôme, il donne, dans les exemples qu'il prend, leurs valeurs numériques aux coefficients.

Wallis voulut étendre ses inductions au cas d'une hyperbole

Neuvième Période.

qu'il imagina de faire rentrer dans le genre parabole en inventant pour cela les exposants négatifs, mais ses procédés de calcul ne lui permettaient de trouver la limite du rapport

qu'autant que la somme S aurait pour limite inférieure n ■= o. Le premier terme de la somme se trouvait dès lors infini et le géomètre anglais ne put lever la difficulté qui en résultait. Au contraire la méthode de Pascal lui permettait de faire commencer la progression des nombres à un terme quelconque, même n'appartenant pas, il le fait remarquer, à la suite des multiples entiers de la raison.

J'ai déjà dit que Roberval avait donné des théorèmes remarquables sur les sommes de sinus ou de quarrés de sinus d'arcs en progression arithmétique allant de o à ■;: ou à 2 tt, mais qu'il se servait accessoirement de ces théorèmes, sans prétendre à calculer l'aire du cercle.

Wallis avait eu cette visée, et il voulut faire rentrer encore la courbe

dans le genre parabole. Il serait superflu de dire qu'il n'y parvint pas, mais il est remarquable qu'il trouva, autant que faire se pouvait, la quadrature du cercle en découvrant sa fameuse formule de 7:, par des considérations, au reste, bien difficiles à saisir.

Il s'en faut beaucoup que ce court résumé puisse donner une idée même approximative du talent déployé par les géomètres

De Cavalieri à Huyghens.

dont je viens de parler : il ne se rapporte qu'à la partie algébrique ou plutôt arithmétique de la méthode des indivisibles, considérée sous sa première forme. C'est par les combinaisons géométriques qu'ils imaginent pour se servir utilement de moyens encore si faibles et surtout pour ramener les unes aux autres non seulement les quatre grandes questions énoncées plus haut^ mais aussi celle des centres de gravité, que les géomètres de cette période montrent un vrai génie. Mais nous ne pourrions entrer ici dans les détails de ces combinaisons: nous les ferons connaître autant que possible dans l'analyse des travaux des divers inventeurs.

Quant à Pascal, il doit être étudié à part : nous n'avons, dans ce qui précède, parlé que de son intervention dans la solution du problème de la quadrature des paraboles de tous les degrés; nous verrons que ses ouvrages contiennent, sous une forme vicieuse il est vrai, tous les principes du calcul intégral, et jusqu'aux formules de quadrature des expressions de la forme

û\V"xdx.

Les démonstrations sont purement géométriques, ce qui nous empêche de les résumer ici; aucune formule n'est notée; le signe il n'est même pas employé; de plus, Pascal parle encore identiquement le langage de Cavalieri, c'est-à-dire qu'il supprime toujours, dans tous ses énoncés, les facteurs infiniment petits que nous appelons dx^ dy, ds, etc., et ne conserve que les sommes intinies des abscisses, des ordonnées, des arcs, etc. Pour cela, quand il doit introduire dans un même énoncé plusieurs sommes que nous représenterions par

/F,(.v)^.v, f¥,[r)dx, fF,'s]ds,

Neuvième Période.

par exemple, il a toujours soin de supposer égaux entre eux les dx, les dj^ et les ds, ce qui lui permet de les supprimer comme facteur commun, de sorte que ses équations ont lieu entre

^^F,{x], SF,(j^) et SF3(5),

s'il s'agissait des intégrales correspondantes.

V Algèbre des Modernes.

C'est vers le milieu du xvn'^ siècle que les géomètres prirent l'habitude de supposer les grandeurs, sur lesquelles ils spéculaient, représentées par leurs mesures ou leurs rapports à une unité, ces rapports dussent-ils être incommensurables.

îl restait, après Descartes, si peu de chose à faire pour achever la révolution et parvenir à notre point de vue, qu'on ne saurait assigner l'auteur de la dernière transformation, ce dernier changement ayant été consenti à peu près par tout le monde en même temps, à la suite principalement, sans doute, de l'introduction de l'usage des logarithmes, et par suite de l'habitude que l'on prit d'admettre dans les calculs des nombres ijicommensurables, ou, plus exactement, des nombres commensurables entachés d'erreurs qu'on pouvait réduire indéfiniment.

Je crois qu'il serait à peu près inutile de rechercher les noms des promoteurs de cette dernière évolution : peut-être Harriot et Wallis y contribuèrent-ils pour une bonne part; en tout cas. je la crois d'origine anglaise ou allemande, certainement protestante; au reste, il s'en faut beaucoup que tous les géomètres de cette époque parlent la même langue algébrique.

De Cavalier i à Huygliens. -3c)

Ce nouveau changement de point de vue introduit une question intéressante dont nous devons dire un mot : dans la Géométrie ancienne, un rectangle de base A et de hauteur B est designé par ce qui est contenu sous A ef B ou ce qui provient de A et de B: toute surface autrement délimitée est égale à un certain rectangle et par conséquent est toujours ce qui est contenu sous deux lignes; par exemple, le cercle est ce qui est contenu sous la circonférence et la moitié du rayon.

De même un parallélépipède rectangle est ce qui est contenu sous trois lignes, et tous les volumes autrement délimités sont ramenés à être aussi ce qui est contenu sous trois lignes.

Là le sens est toujours clair.

Les géomètres modernes supposent les dimensions linéaires de leurs figures rapportées à l'unité usuelle et ils prennent pour unités de surface et de volume le quarré et le cube construits sur cette unité.

Or, quels que soient la surface ou le volume qu'ils veuillent évaluer, ils trouvent toujours que leurs mesures sont les produits des mesures de deux ou de trois lignes.

Pourquoi cela?

Pourquoi la mesure d'une surface, par exemple, ne pourraitelle pas être celle d'un élément linéaire de la figure qui la termine : Pourquoi un triangle ne pourrait-il pas contenir autant de mètres quarrés qu'une ligne formée convenablement d'éléments linéaires de ce triangle, côtés, hauteurs, bissectrices, médianes, rayons des cercles inscrit ou circonscrit, etc., contient de mètres ?

La réponse est si facile qu'on n'aurait pas dû laisser subsister la question :

6o Neuvième Période.

La règle à suivre pour former la longueur dont la mesure en mètres serait égale à la mesure en mètres quarrés d'une surface désignée, cette règle ne pourrait pas être générale, c'est-à-dire convenir à toutes les surfaces de même espèce. En effet, si elle convenait à toutes, elle conviendrait notamment à toutes celles de ces surfaces qui seraient semblables entre elles; mais, la règle étant supposée générale, elle assignerait à deux surfaces semblables, pour les représenter, les mesures de lignes homologues, ou de lignes composées de parties homologues; deux surfaces semblables seraient donc entre elles commue leurs lignes homologues.

Cette explication était nécessaire pour permettre de transporter à la Géométrie moderne le principe d'homogénéité établi par Viète sur d'autres considérations.

Progrès de r Arithmétique.

La théorie des nombres n'avait fait aucun progrès depuis Théon de Smyrne et Diophante. Fermât lui fait faire un pas immense par la découverte des théorèmes qui portent son nom.

Cavalieri, Wallis et Pascal somment un grand nombre de suites.

Wallis trouve, pour la valeur du rapport de la circonférence au diamètre,

et établit les bases de la théorie de l'interpolation.

De Cavalier i à Huyghens. (n

Le calcul des probabilités, qui avait pris naissance entre les mains de Lucas de Burgo, s'accroît par les travaux de Pascal et de Fermât.

Progrès de V Algèbre.

De Beaune détermine les limites supérieure et inférieure des racines réelles d'une équation numérique; Pascal imagine son triangle arithmétique pour le calcul rapide des coefticients du développement d'une puissance désignée d'un binôme. Wailis introduit la notation des exposants fractionnaires et négatifs. Mercator découvre le développement en série de L(i-i-A-). De Sluse développe la méthode de construction des racines des équations algébriques par l'intersection de courbes. En même temps, l'Algèbre s'enrichit de la règle pour la décomposition des équations qui ont des racines égales.

Progrès de la Géométrie.

Dans cette neuvième Période, remplie par les travaux de Cavalieri, de Fermât, de Roberval, de Wailis et de Pascal, les méthodes de Descartes pour les tangentes et les maximums prennent des développements qui permettent de prévoir Tavénement prochain du calcul diflierentiel; en même temps les procédés sommatoires annoncent de même le calcul intégral.

Cette époque est au moins comparable, pour les progrès de la Géométrie, à celle d'Archimède, d'Apollonius et d'Fuclide.

Sans revenir ici sur les travaux de Descartes, nous rappellerons

C)2 Neuvième Période.

du moins sa méthode géométrique pour la construction des tangentes à toutes les épicycloïdes, méthode qui est devenue depuis la base de la théorie du centre instantané de rotation.

La méthode géométrique de Roberval pour les tangentes, mal présentée par un de ses élèves et encore moins comprise de ses contemporains, était complètement tombée dans l'oubli; elle a reparu avec éclat dans les applications de la Cinématique.

Tels sont les progrès généraux que subit la Géométrie, quant aux méthodes, durant cette période. Quant aux découvertes spéciales, elles ont aussi une grande importance : nous citerons notamment la découverte, capitale pour la théorie des coniques, de la propriété caractéristique d'un hexagone inscrit dans une de ces courbes; mais surtout celle de la plupart des belles propriétés de la cycloïde, sur lesquelles nous insisterons séparément.

Progrès de F Astronomie.

Hévélius émet l'hypothèse du parabolisme des trajectoires des comètes; Mouton et Crabtée donnent des méthodes passables pour la détermination du diamètre apparent du Soleil, mais Picard imagine le micromètre à réticules mobiles. Picard applique de nouveau la méthode trigonométrique à la détermination de la longueur d'un degré du méridien, et trouve pour cette longueur 5/02 1 toises, valeur assez approchée.

De Cavalier i à Hityghens. G 3

Progrès de la Mécanique.

Pascal jette les fondements de l'Hydrostatique et imagine la presse hydraulique; Torricelli établit son théorème relatif à la vitesse d'écoulement d'un liquide par un orifice percé en mince paroi; il fait voir que l'enveloppe de toutes les trajectoires de mobiles pesants lancés d'un même point dans toutes les directions, avec la même vitesse, est un paraboloïde, en dehors duquel aucun projectile ne peut parvenir; Wren et Wallis énoncent les lois du choc, le premier entre des corps élastiques, le second entre des corps mous; Wallis à ce propos énonce le principe de la conservation de la quantité de mouvement ; Torricelli énonce la condition d'équilibre d'un système pesant à liaisons, soumis à l'action seule de la pesanteur.

Progrès de la Physique.

Fermât donne une nouvelle démonstration de la loi de la réfraction de la lumière; Kircher invente la lanterne magique; la chambre obscure est imaginée, on ne sait par qui ; Otto de Guericke construit la première machine pneumatique et obtient la première étincelle électrique; Torricelli démontre la pesanteur de l'ail et construit le premier baromètre; Mariotte découvre la loi de variation du volume d'un gaz sous l'influence d'une pression extérieure; Grimaldi observe le phénomène de la diffrac* tion; Bartholin découvre celui de la double réfraction, dont Huvghens établira les lois.

04 Neuvième Période.

Progrès de la Chimie.

Nicolas le Fèvre signale la loi des dissolutions saturées et découvre l'acétate de mercure.

Progrès de la Physiologie.

Borelli étudie la structure des muscles au point de vue de la production des mouvements et fait, dans cette recherche, une judicieuse application de la théorie du levier; Perrault donne la théorie de l'organe de l'ouïe; Clersellier étudie les phases du développement des fœtus de vivipares.

Histoire de la cycloïde.

Cette courbe célèbre a d'abord porté le nom de trocho'ide. que lui donne Roberval dans, le traité qu'il en a laissé; Pascal la désigna ensuite sous le nom de roulette; tous les géomètres se sont depuis accordés à l'appeler cycloïde. Ce serait, paraît-il, Galilée qui en aurait eu le premier l'idée. Il dit, en effet, dans une lettre écrite à Torricelli en lôSg, qu'il s'en était occupé quarante ans auparavant, et qu'il avait songé à en donner la figure aux arches des ponts. Torricelli raconte que, pour en déterminer l'aire, Galilée avait découpé dans une feuille mince la courbe et son cercle générateur et les avait pesés séparément; mais que, trouvant toujours le poids de la cycloïde un peu moindre que le triple de celui du cercle, il avait pensé que leurs aires étaient dans un rapport compliqué et avait cessé de s'occuper de leur comparaison.

De Cavalieri à Huyghens. 65

C'est de 1634 que date en réalité l'histoire de la çycloïde, et c'est en France que furent résolues les premières difficultés relatives à cette courbe. Le P. Mersenne, qui avait en vain tenté de la quarrer, proposa en 1628 la question à Roberval, qui, ne se sentant pas encore de force à l'aborder, ne s'en occupa pas immédiatement. C'est en 1634, d'après Mersenne, qu'il résolut le problème, et il étendit même sa solution aux cycloïdes allongées et raccourcies. La découverte de Roberval serait en tous cas antérieure à 1637, puisque le P. Mersenne l'a publiée à cette date dans son Harmonie universelle. La priorité de Roberval est ainsi absolument incontestable, Galilée déclarant d'ailleurs^ en 1640, dans une lettre adressée à Cavalieri, que l'aire de la çycloïde était encore un problème pour les géomètres italiens, et Torricelli confirmant le fait dans une lettre postérieure. Wallis et Carlo Dati ont donc eu tort de faire honneur à l'Italie de cette découverte; mais Pascal a eu encore plus tort de se laisser aller à d'injustifiables accusations de plagiat contre Torricelli, qui. sollicité à la fois par Galilée et par Cavalieri, vint de son côté à bout du problème en 1643, et inséra sans prétentions la solution qu'il avait trouvée à la suite de ses œuvres.

Cette publication fit jeter les haut cris à Roberval, qui imagina toutes sortes de mauvaises raisons pour prouver que Galilée et Torricelli avaient dû connaître la solution qu'il avait donnée, sans, du reste, aucune démonstration. Torricelli répondit « qu'il importait peu que le problème de la çycloïde eût pris naissance en France ou en Italie; qu'à la mort de Galilée (1642) on ne connaissait pas encore en Italie la mesure de l'aire de cette courbe; qu'il avait trouvé seul les démonstrations qu'on lui contestait, et qu'il s'inquiétait peu qu'on le crût ou qu'on ne le crût

M. Marie. — Histoire des Sciences, IV. 3

66 Neuvième Période.

pas, parce que ce qu'il disait était conforme au témoignage de sa conscience. »

Le P. Mersenne avait fait part à Descartes, en i638, de la découverte de Roberval, sans lui envoyer la démonstration, comme du reste c'était l'usage général à l'époque. Descartes renvoya aussitôt à Mersenne un précis de démonstration^, et eut le tort d'ajouter * qu'il n'étoit personne médiocrement versé en géométrie qui ne fût en état de trouver ce dont Roberval se faisoit tant d'honneur. » Ce fut un nouveau sujet de querelles : Roberval, sans oser prendre envers Descartes le ton d'un pédagogue, ne put cependant retenir quelques insinuations malveillantes; Descartes répondit en proposant à son adversaire le problème de la tangente à la cj^cloïde, problème que Fermât résolut, mais que Roberval manqua d'abord entièrement; il le résolut plus tard par sa méthode des mouvements composés. L'élégante solution de Descartes est devenue la base d'une nouvelle théorie générale de Géométrie,

Après les problèmes de Taire et de la tangente à la cycloïde^ les premiers qui devaient se présenter à l'esprit concernaient les volumes engendrés par la révolution de la courbe tournant autour de sa base ou de son axe. Ce fut encore Roberval qui les résolut vers 1 644.

La théorie de la cycloïde ne fit plus aucun progrès jusqu'en i658, époque à laquelle Pascal, sous le nom de Dettonville, porta son fameux défi à tous les géomètres de l'Europe. Pascal proposait de déterminer la longueur d'un arc quelconque de la courbe, et son centre de gravité; les aires des surfaces que cet arc engendre en tournant autour de l'axe ou autour de la base, et leurs centres de gravité; l'aire d'un segment intercepté dans la

De Cavalieri à Huyghens. 67

cycloïde par une ordonnée quelconque, et son centre de gravité; enfin les volumes engendrés par ce segment autour de l'axe ou de la base, et leurs centres de gravité.

Huyghens, Fermât et Wren résolurent séparément quelquesunes des questions proposées et envoyèrent leurs solutions, sans toutefois prétendre au prix proposé. Huyghens avait quarré un segment particulier; Wren avait déterminé la longueur d'un arc quelconque et son centre de gravité ; Fermât avait obtenu l'aire engendrée par un arc de la courbe, ce qui suppose qu'il avait aussi trouvé la longueur de l'arc lui-même.

Mais les deux seuls concurrents qui prétendirent au prix furent le P. La Louère . jésuite, qui était bien inférieur aux difficultés proposées, et Wallis qui, pressé par le temps, avait commis plusieurs fautes. Pascal publia ses solutions dans la Lettre de A . Dettonuille à M. de Carcavi et les petits traités explicatifs qui y sont joints. Peu après, Wallis donna lui-même ses solutions corrigées.

La cycloïde reparaîtra avec éclat dans la période suivante, lorsque Huyghens,' cherchant à écarter les petites inégalités que doivent nécessairement présenter les oscillations d'un pendule circulaire, se proposera de déterminer la courbe sur laquelle il faudrait faire rouler un corps pour qu'il mît toujours le même temps à arriver au point le plus bas, quel que fût celui d'où on l'eût abandonné, et trouva que cette courbe était la cycloïde. Pour réaliser son pendule idéal, Huyghens avait à déterminer un mode de suspension tout nouveau; les recherches qu'il fit à ce sujet le conduisirent à sa théorie des développées, et l'histoire de la cycloïde s'enrichit de la découverte de cette remarquable propriété dont elle jouit, d'avoir sa développée égale à elle-même;

68 Neuvième Période.

les développements relatifs à cette découverte se verront dans la période suivante.

Enfin il sera de nouveau question de la cycloïde, lors de la naissance du calcul des variations., et, cette fois encore, elle se fera remarquer par une propriété exceptionnelle, celle d'offrir à un corps pesant le chemin le plus rapide pour parvenir d'un point à un autre.