ANALYSE DE LEURS TRAVAUX

CAVALIERI (bONAVENTURE).

(Né à Milan en tSgS, mort en 1647.)

Il fut un des bons élèves de Galilée et professa les Mathéma tiques à Bologne. Tourmenté par de cruelles douleurs physiques, il se plongea avec énergie dans l'étude, pour y trouver une diversion à ses souffrances. Il découvrit, en 1629, la méthode géométrique à laquelle il doit sa célébrité (la méthode des indivi' sibles), et dont Roberval voulut en vain s'attribuer l'honneur. Dans cette méthode, le savant italien « imagine, dit Montucla, le continu comme composé d'un nombre infini de parties qui sont ses derniers éléments ou les derniers termes de la décomposition qu'on peut en faire. Ce sont ces derniers éléments qu'il appelle indivisibles, et c'est dans le rapport suivant lequel ils croissent ou décroissent, qu'il cherche la mesure des figures ou leurs rapports entre elles. » M. Chasies, jugeant la théorie des indivisibles, dit : « Cette méthode, propre principalement à la

Neuvième Période.

détermination des aires, des volumes, des centres de gravité des corps, et qui a suppléé avec avantage, pendant cinquante ans, au calcul intégral, n'était, comme le fait voir Cavalieri lui-même, qu'une application heureuse ou plutôt une transformation de la méthode d'exhaustion. » Cavalieri a exposé les éléments de sa théorie dans le plus important de ses ouvrages: Geometria indiuisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bologne, i635, in-4°); il l'a ensuite considérablement ennch.ied2inss,&s. Exercitationes geometricœ sex (Bologne, 1647). On lui doit en outre : Specchio ustorio^ ovvero trattato délie settioni coniche (Bologne. i632); Trigonometria plana et sphœrica {^o\o§,t\t, i635), etc.

Ce fut Cavalieri qui donna la première démonstration satisfaisante du fameux théorème de Guldin. Ce jésuite, qui avait attaqué Cavalieri sur sa méthode des indivisibles, dut être bien confus lorsque son antagoniste se servit de cette méthode même pour démontrer l'exactitude du théorème qu'il n'était parvenu à établir que par des raisonnements métaphysiques.

La méthode de Cavalieri ne peut conduire qu'à des résultats exacts, mais l'idée primitive en avait été présentée par lui d'une manière très vicieuse. Cavalieri considère les volumes comme formés de surfaces empilées, les surfaces comme composées de lignes juxtaposées, enfin les lignes comme composées de points placés les uns à côté des autres ; et c'est en tenant compte à la fois du nombre des éléments qui composent l'objet à mesurer et de leur étendue, qu'il arrive à la mesure de cet objet. Quoique cette conception soit absurde, on peut rétablir la vérité et rendre la rigueur aux raisonnements, en restituant aux indivisibles la dimension dont Cavalieri faisait abstraction. Ses surfaces empilées

De Cavalieri à Huyghens. 71

ne sont autre chose que des tranches ayant une hauteur commune dont on peut faire abstraction ; ses lignes juxtaposées sont des surfaces trapézoïdales ayant, de même, une hauteur commune, enfin ses points consécutifs sont de petites droites ayant toutes même longueur. Le vice de la méthode, s'il y en a un, ne consistait donc que dans l'inexactitude des expressions employées pour en rendre compte ; les vrais géomètres ne s'y sont pas trompés. Quant à la méthode elle-même, elle réside entièrement dans le procédé de calcul très remarquable que Cavalieri a su imaginer pour la rendre pratique. Quelques exemples sont indispensables pour en rendre compte : supposons qu'il s'agisse de mesurer un parallélogramme, l'indivisible sera une parallèle à la base et le nombre de ces indivisibles sera proportionnel à la hauteur; par conséquent, on pourra prendre pour mesure du parallélogramme le produit des mesures de sa base et de sa hauteur. De même, s'il s'agit d'un parallélépipède, l'indivisible sera une section parallèle à la base, et le nombre des indivisibles sera proportionnel à la hauteur ; on pourra donc prendre pour mesure du parallélépipède le produit des mesures de sa base et de sa hauteur. Le vice du raisonnement, dans ces deux cas, tient à ce qu'il s'agit des figures les plus élémentaires, dont on demande la mesure absolue; ce défaut va disparaître lorsqu'il s'agira de comparer les figures plus compliquées à ces deux figures primitives. Supposons qu'on veuille comparer un triangle au parallélogramme de même base et de même hauteur; on décomposera pour cela les deux figures en éléments, par des parallèles aux bases, équidistantes entre elles : le plus petit élément, dans le triangle, étant i, le second sera 2, le troisième 3, et le dernier, ou la base, sera «; la somme sera donc i -1- 2 -r- 3 -h . . . -t- n ou