CHAPITRE Xitî

hBt ttiatliématiqcte étaiit nne science de raii^imemeiit, dans laquelle Fabseryation n'a j^resqûe rien, ël t'acpérience absohiment rien à faire> é dû être constituée longtemps durant les aufires sciences. Il est clair que pour compter on pour comparer des grandeurs entre dUes, Fàomme A'à pas eu besoin de con- Mttre la natare. Le calcul et la géométrie se

80Dt donc formés dans une indépendance absolue vis à vis des autres catégories de connaissances. Mais, par cela même, le calcul et la géométrie ont eu, pendant des siècles, un degré de perfection très-supérieur à ce qu'exigeaient les besoins de la yie en société. Chez les anciens, les seuls esprits cultivés jouissaient de la contemplation des vérités abstraites formulées par Pythagore, Archimède, Euclide et les autres génies européens de cet ordre. Aussi ces vérités, indispensables à rétablissement des sciences d'observation comme Tastronomie, et des sciences expérimentales comme la physique, étaient- elles condamnées à attendre que le développement de la vie collective eût acquis des proportions convenables. Il fallait, en outre, que Tesprit humain se fût assez fortifié pour être capable d'envisager, sous des faces multiples, chacune des vérités mathématiques dont il n'avait entrevu d'abord qu'un seul aspect. Ces deux conditions une fois réalisées, rien ne limitait

INFLUENCE DE LA MATHÉlfATIQUE. 253

plus le champ d'application des découvertes scientifiques.

Éclairons ces généralités par quelques exemples : nous pourrons ainsi apprécier ce que la géométrie et le calcul ont fait pour les diverses branches de la production, depuis les temps anciens.

Parmi les faits que Ton peut choisir, le plus frappant est la découverte des lois de Kepler. Ces lois, qui ont transformé Tastronomie, ont eu sur la navigation et, par conséquent, sur Tindustrie des transports, une influence directe. Les marées océaniques, — entre tous les phénomènes qui intéressent cette industrie, — ne pourraient être calculées à l'avance avec précision , si Ton ne savait prédire les positions mutuelles de la Terre, de la Lune et du Soleil, à un moment donné quelconque. Pour que cette prédiction soit possible, il faut que Ton connaisse avant tout la forme de l'orbite que décrivent les planètes autour du soleil, et les satellites autour de leurs planètes respectives.

SM HlBTOmfe DU TRAYAn.

On sait aujourd'hui^ mais seulement depuis Kepler, que cet orbite est une ellipse dont le soleil ou la planète occupe le foyer. Cependant, depuis près de vingt siècles^ les géomètres grecs avaient signalé l'ellipse au nombre des sections coniques dont on leur doit la détermination. Il semble donc inexplicable que la découverte de Kepler ait échappé aux anciens ; d'autant que les disciples de Pythagore connaissaient très-bien le fait du mouvement de quelques planètes autour du soleil. Mais les Grecs ne possédaient aucun instrument |)our entreprendre des obserYations astronomique»

semblables à celles qui furent faites au xvi' siècle par Tycho-Brahé sur la planète Mars, et servirent aux premières comparaisons de Ké-^ pler. La notion qu'ils avaient de l'ellipse était donc condamnée à ne pas sortir du domaine spéculatif: de plus, cette notion demeurait insuffisante, alors même que les observations ne leur eussent pas fait défout. Le génie hellénique, épris de là beauté des lignes pUrès,

ITŒLU£NG« DE LA MATH&MUkTlQUE. 155

vsdt tout lë charme et toutes les lacunes de esptit des ehfdtits : il éontemplait les choses ar leurs fortties extéHetii^es , iûéapable de énétrer les prot)riétés Internes des corps* tans la courbe si gracieuse (Qu'ils âTateut déouverte, hos pèreS ne toyaient que TinlersecioU idéale d'utie surface conique par un plan QclînÔ. Ni la tôUrttùt'e de leur esprit, ni là )Uis§ilbcé de réflexioii dont ils étaient doués, le ledfr perînirent dé fâit*e ce ijue nous vou- Irioiis at)pelet» Tariatoniie de Tellipse; Ce trti- 7ail devait èchbir àiix premiers géomèttts de rèt'e liiodeme. Au liombte des propriétés itt- -érleurës de Tellipse, il en est une qui était iniispeilsâble à Két)ler : t'/eist la loi qui fixe les Mlpt)btts des distances focales h leurs inclltiaisdtils siir l^àîe dé Itt colit-be. Là découverte de celte loi ii'eut d^àbord qu'une valeUbst)éculativè; ihâîs, t>eu à peu, les obset^vfttiolis âstroîiottiii^ues s*etant àécumulées en assez grand nombre pour qu'il Mt poissiblé de lés comparer entre elles, Kepler eut l'ineffable étonne-

SS6 HISTOIRB DU TRAVAa.

ment de reconnàttre que les distances des planètes au soleil et les inclinaisons correspondantes sont liées par cette même loi .^Aussitôt chacun put en conclure, à coup sûr, que les orbites sont des ellipses.

Des remarques analogues pourraient s'appliquer à la découverte de la loi de la gravitation universelle. Il semble que Kepler, avec un peu de bonheur, eût pu ravir à Nev^on la gloire de formuler une loi qui est évidemment contenue en germe dans les siennes. Un examen attentif de la question montre aussitôt qu'il ne pouvait en être ainsi. Ce fut bien la seconde loi de Kepler, qui permît à Nev^on d'affirmer que la force de gravitation est rigoureusement dirigée du soleil vers la planète. Ce fut bien la combinaison de cette loi avec la troisième qui conduisit le géomètre anglais à assimiler cette force à la pesanteur, en montrant qu'elle varie, précisément comme cette dernière, en raison inverse des carrés des distances. Mais la mécanique rationnelle etle^

instruments d'observation astronomique n'étaient point assez avancés au commencement iu xvii* siècle, pour que Kepler pût tirer lui- Eoême de ses travaux de si grands résultats.

Descartes n'avait pas encore a£Pranchi de ses entraves l'analyse mathématique, par la belle application qu'il fit de l'algèbre à la géométrie en général, à la théorie des courbes et des fonctions variables en particulier. Galilée venait à peine de formuler les lois de la chute des corps à la surface du globe. Huyghens ne devait donner que plus tard les notions relatives à la force centrifuge. Au moment de la mort de Kepler, l'application de la mathématique à l'astronomie ne pouvait donc servir qu!à justifier le système de Kopemic, tracer la forme et décrire les circonstances des .mouvements du système solaire. Quant à la grande force* qui maintient ce système en équilibre, il était encore impossible de l'assimiler à celle qui soulève les marées de l'Océan et produit les chutes d'eau. Pour avoir le droit de faire

tSS miTOUB BU T&Â^ÀIL.

cette assimUatioB, Newton dut montrer qu< laae, en se mouYaat dans son orbite elli tique, tombe ver» notrç globç d'une quasi égale à celle qui marquerait la chute d'i corps grave, si on le transportait à la distao de la lune, Maip, pour cela, il était nécessaii de connaître la valeur numérique d'un Ûi ment de rayon terrestre, et, par conséqueDi la longueur eiaete de oe rayon. Ce fut nob compatriote Picard qui donna cette mesure le génie patient de Newton lattendait depiû plusieurs années. On sait que ce prenaier résultat servit de point do départ à une générai lisation plus sublime encore. Touf les mouvements tracés par Kepler furent expliqués en transportant le foyer dé la force inconnue, an centre même du soleil. De cette découverte, Newton put tirer un grand nombre de conséquences utiles, dont nous dirons quelques mots en parlant des applications de l'astronomie à l'art de naviguer ; mais bien d'autres conséquences importantes devaient forcémeni

INFLUENGB SB LA tfATHÉMATlQTJE. 259

vwHr k l'état d'ébauches dans son esprit, paroe que l'analyse infiaitésimale n'était point assez perfeotionnée de son temps. Lagranga, qui engendra Laplaoe, n'était pap ancorô venu ; auûu]! travail d'ensemble ne pouvait être fait, du Yivai|t de Newton, sur la mécanique eé-* leste. *

Demandons un seeond eiemple h la géométrie descriptive, qui rentre dans uji ordre de eoniiaissances moins abstraites. L'antiquité $t le moyen ftga ont fcit de très-rbeau* édifices de pierre ou de marbre, sans le secours deg méithodes ezpéditives et sûres, que Monge a mi^s à la disposition des constructeurs modernes.

Cependant les géomètres grecs connaissaient parfaitement les théorèmes relatifs h la ligne dreite et au plan, qui ont été , dans la der^ nière moitié du :^yiii* siècle, le point de départ de la géométriedescriptive.Al'époqueotilamét thode graphique de Monge fit son apparition, les usages du fer étaient peu nombreux dans l'industrie du bâtiment, parce que la vapeur,

2f)0 UISTOIRB BU TRAYAIL.

qui est rftme de l'industrie métallurgique, D*ayait point encore été utilisée d'une manière générale comme force motrice. On avait des procédés pratiques pour tailler, couper et ajuster les pierres et les bois de charpente. Quant aux machines, leur nombre était des plus restreints ; les grossiers spécimens qui nous en restent disent assez que le dessin linéaire laissait alors beaucoup à désirer. L'art du constructeur était nécessairement bridé dans son essor : les méthodes étaient empiriques ; elles se réduisaient à un certain nombre de formes arrêtées, qui faisaient école. Il fallait recourir chaque fois à des albums volumineux, pour y chercher le dessin se rapprochant le plus du cas particulier qu'il s'agissait de résoudre. Les seuls essais que l'on eût tentés avant Monge pour s'affranchir de cette servitude, astreignaient en- Xîore Thomme du métierà des séries de construction s géométriques hérissées de calculs. Ces conditions, qui suffisaient très-bien au monde antique et au moyen âge, étaient un anachro-

uisme choquant, au moment où la découverte de la machine à vapeur allait surexciter de toutes parts les quatre industries du logement, du vêtement, de l'alimentation et des^ transports. Il devenait indispensable de faire, pour Tart des constructions, quelque chose d'analogue à ce que Descartes avait fait pour l'algèbre avec sa règle des signes : il fallait introduire une méthode générale et fixe, à la place des notations particulières, afin de pouvoir aborder sans tâtonnements tous les problèmes de stéréotomie qui se présentent dans la pratique. La géométrie se trouvait, dès lors, en mesure de pourvoir aux besoins nouveaux de l'industrie. Au lieu de rester en arrière de ces besoins, elle était à même de les satisfaire,— mieux encore, de les susciter.

Monge a préparé cet heureux résultat à l'aide d'un très-petit nombre de théorèmes de géométrie élémentaire convenablement appliqués.

Jusqu'à lui, l'on ne représentait un corps situé dans l'espace que par les diverses perspec-

â62 HlflTOUOB DU TRAYAJL*

tives de ce corps. C'était de l'art et non de 11 science. Monge observa que les troi« dûneosions d'un solide : —longueur, largeur et pn> fondeur , — fournissent naturellement trois plans sur lesquels ox\ peut projeter tous les points de cette figure. En déterminant les règles qni doivent guider dans la projection de ces points, il réussit donc à mettre tout le monde en possession d'une méthode de construction sur le papier, aussi complète et aussi claire que possible.

C'est l'industrie des transports qui a le plus profité de cette méthode. Il serait matériellement interdit, aujourd'hui, de construire en une année la millième partie des ponts, des gares, des locomotives, des navires et des machines qui se construisent en Europe et en Amérique, si la géométrie dei^criptive n'existait pas. Grâce à elle, aussitôt qu'un travail de cette nature est en projet, il peut être figuré sous trois aspects, en plan, en coupe transversale et en élévation. L'esprit saisit alors rapi-

dément les défectuosités du projet ou ses avaiitages, et le constructeur peut y apporter, san$ aucune dépense de matériaua:^ toutes les modifîcations désirables. Ainsi modifiés, ces trois dessins contiennent tous les éléments nécesr^ saires pour la construction. S'il s'agit d'un édifice, on peut ouvrir le chantier, tailler les pierres, couper les bois et ajuster les pièces de fer, d'après des gabarits géométriques. S'il faut faire une machine, l'ouvrier modeleur confectionne son modèle en suivant les trois séries d'indications graphiques ; le mouleur, le fondeur, le tourneur, l'ajusteur, tous enfin travaillent, le compas à la main , d'après les plans du géomètre. Si les organes de nos machines actuelles fonctionnent avec une précision mathématique, c'est parce que la mathématique a présidé, avant tout, à la détermination du moindre des éléments de ces organes. Au siècle dernier, les machines étaient massives ou grêles; leurs pièces, mal forgées, mal fondues, mal tournées, plus mal ajustées

364 UISTOIRB DU TRàYAIL.

encore, constituaient un ensemble qui ne saurait être mieux exprimé que par le mot vulgaire de bric-à-brac. Le fonctionnement se ressentait des vices de la construction : le travail ne s^eflectuait pas d'une manière continue.

Cela pouvait aller ainsi tant qu'on ne mettait en œuvre que des forces motrices discontinues, comme le vent et les cours d'eau ; mais cela ne s'accordait plus avec les nécessités nouvelles créées par Pavénement de la vapeur. L'immense révolution qui s'est accomplie, en Europe, dans les travaui publics et au sein de l'industrie privée, ne saurait donc être rapportée exclusivement à la découverte de Watt. On ne conçoit pas que la machine à double e£Pet eût été susceptible de s'appliquer à tous les ordres de travaux, si la découverte de Monge n'avait mis à la portée du premier artisan venu des procédés de construction sur le papier, simples, rapides et sûrs, une méthode permettant d'aborder la détermination de toutes les formes possibles, au moment où Télan imprimé à la puissance

de fabrication par la force nouvelle devait permettre à tous les besoins possibles de se produire.

Pour donner une idée de ce qu'était le domaine des arts utiles en France à l'époque où notre compatriote fournit la solution du problème général qu'il s'était posé, nous devons rappeler un fait bien connu. Ce fut vers 1771 que le jeune professeur de Técole du génie de Mézières fit connaître les éléments de la géométrie descriptive. Aussitôt, comme il fut démontré que l'application de ces éléments apportait une grande économie de temps et plus de sécurité dans les constructions, les officiers du génie militaire ne permirent pas que la géométrie descriptive fût enseignée en public. Pendant vingt-trois ans, Monge dut s'occuper d'analyse mathématique, de physique, de chimie, de la fabrication du salpêtre, de la fonte des canons, de tout enfin, hormis de la science dont il était le créateur. Ce ne fut qu'en 1 794 qu'on l'autorisa à professer la géométrie des-

M6 HISTOOIB DU TaàYÀTt.

criptive àesmt les élèves de l'Ecole normale de Paris. Il est remarquable que la découverte qui a tant contribué à l'essor de l'industrie Bt des arts de la paix, soit éclose dans un miliea dont toutes les préoccupations étaient belli^ queusq^, et que la méthode qui prend aujour-^ d'hui une si grande part à la diffusion des in-r téréts pacifiques, ait été suggérée par le ba^ soin de rendre plus expéditifs les travaux de fortifications. Nouvel argument en faveur des sciences pures. On ne leur demande tout d a*'bord que de servir l'instinct destructeur du genre humain : elles obéissent, mais bientôt le résultat qu'on en attendait n'est pas celui que l'on obtient : c'est l'instinct producteur qui bénéficie du progrès nouveau et subaltemise de plus en plus les choses de la guerre. Monge ne put entrer comme élève à l'école de Mé^ zières, qu'il devait illustrer plus tard de ses travaux : il n'était, en effet, ni d'extraction noble, ni le fils d'un gentilhomme verrier.

Cependant la géométrie descriptive a contri-

INFLUElfGS ])£ Là MATBËMATCQUE. 96*7

bué, 4epqis Iqrs, 1^ créer biep deg gwtilsUQWmes eu tous georeii.

Nous allQu$ teriaiper cai^ réflejpons sur lu^ tilîté industrielle 40s spieuces (1q r^isonnenopptt en eou^acraut quelques ligues aux progrîis de la numération et du haut calcul.

Savoir calouler couramment nous parait au-^ jourd'hui une chose élémentaire* Cependant il a fallu que les Européens eussent réalisé bien des progrès avant d'être mis en possession des logarithmes, des méthodes de résolution des équations supérieures, enfin du calcul diffé^ rentiel et intégral* Pour les populations qui vi^ valent dans le bassin de la Méditerranée, il y a 2,000 ans, la table de Pytbagore était déjà un outil très-perfectionné; mais, ce qui manquait aux Grecs et aux Romains, c'était un système de notation rapide. Les premiers se servaient dçs lettres de Talphabet; les seconds, de barres droites et obliques : les uns et les autres manquaient de ce qui s'introduisit plus tard che? nous sous le nom de caractères arabes y c'est-^à^

268 HISTOIRE DU TRAYÀIL.

dire d'un petit nombre de chiffres susceptibles de représenter un grand nombre de valeurs différentes, grâce à des conventions faciles à retenir. Le système de numération qui a pour base le nombre dix est aujourd'hui appliqué généralement en Europe, lorsqu'il ne s'agit que de valeurs abstraites (1). Si la table de Pythagore fut un progrès immense pour nos aïeux, l'adoption d*un système uniforme de numération abstraite en Europe n'en pas été un moindre , — en comprenant dans ce système les procédés usuels pour la multiplication des nombres, leur division et l'extraction des racines carrées et cubiques. Tout cet ensemble de moyens de travail correspond à un état de civilisation déjà très-avancé. Aussi, jusqu'aux xvii' et xviii® siècles, notre con-

(1) La mesure des valeurs concrètes,— longueurs» poids, capacités et monnaies^ — amène seule encore des différences notables de pays à pays; mais ces différences tendent à disparaître, et elles n'existeront probablement plus au siècle prochain.

tinent n'a-t-il pas éprouvé le besoin d'avoir mieux. Mais, à partir de cette époque, les rapports sociaux venant à se compliquer, le calculateur voit apparaître les grands nombres. Une foule d'opérations numériques deviennent alors d'une longueur extrême, et il faut inventer un troisième appareil de calcul, qui soit au précédent ce que celui-ci était à la table de Pythagore, ce que cette dernière avait dû être aux essais de numération des Pélasges. Ce troisième appareil de calcul est la table de logarithmes. Par une lumineuse comparaison entre deux séries de nombres ordonnées, l'une en progression arithmétique, Tautra en progression géométrique, l'Écossais Napier trouva, en 1614, qu'il était facile de ramener toute multiplication à une addition, toute division à une soustraction, et toute extraction de racines à une division. Il dut s'écouler plus d'un siècle encore, avant que des tables de logarithmes vraiment pratiques fussent dressées pour la plus grande commodité des calcula-

i70 WTOIIB DU TRAYAa.

(eun. DepuU que ces l^^bles existept, il «$t P08sil)l9 do fwra sOremwt, en quelques minutes, une foule 4'opératioqs qui e^ûgeaiçpt autrefoii 4ei »eiQidne« eutiàre^ et eutratnaient souvent des erreur» graves* ta banque, le haut eommeree et les compagnies d'asiuraoees font un usage étendu de oes tables ; mais c'est surtout h U navigation qu'elles ont randu les plus grauds services. A mesure que le cambre des découvertes maritimes s'est aocru, le nombro des bâtiments employés au long cours a rapidement augmenté. Les calculs nautiques ont dû, par conséquent, acquérir plus de pré^ cision. L'on a fait une plus grande masse d'observations astronomiques, et la trigonométrie a introduit dans le calcul des facilités nouvelles. Il a donc fallu avoir recours au^lo-^ garitbmes» Ces nombres, à leur tour, ont permis de calculer à l'avance les nombreui^ élé^ ments relatifs à la position du soleil , des planètes et de leurs satellites, k la hauteur des maréest aux occultations d'étoiles, m% éclip-

INFLUENCE DE U M4THÈlÀTIQn£. 871

se^, à tous les phépomènes enfin qui doivent se produire dans le cours d'nne année entière, et dQpt chaque détail intéresse le navigateur, En outre de la taWe de logaritlmie^, gui est

fixe et calQulée une fois pour toutes ,— parpç

qu'il serait impossible à la mémoire la plus vigoureuse de retenir les logarithmes de tous les nombres d^pnis l jusqu'^ 10,000,— le marin çi 4oï}c à sa disposition une seconde table qui variç chaque année, et que notre bureau des longitudes publie régulièrement sous le titre à' Ephéméri^es , Ce livre, il est impossible de l'ouvrir sans être saisi de respect. C'est ici, en

effet, que le don d'abstraire dévolu à notre race éclate dans son œuvre : toutes les phases visibles de la vie mécanique de Tunivers y sont prédites à une fraction de seconde près ; et au sein de la plus épaisse nuit, tandis que nous dormons, des millions d'hommes confient leur ej^istence aux indications infaillibles du calcul.

Un résultat si beau n'aurait pu être obtenu

272 HISTOIEE DU TRAVAIL.

par les seuls développements des théories relatives aux quantités numériques. L'astronomie et la navigation, par exemple, font un emploi constant de l'algèbre et de l'analyse de l'infini, qui mettent en mouvement des expressions générales. Personne n'ignore que, jusqu'à Descartes, l'algèbre demeura dans l'enfance. La règle des signes et quelques autres instruments de généralisation inventés par le penseur, fondèrent vraiment cette science; puis l'application qu'il fit de l'algèbre à la géométrie ouvrit aux mathématiciens les plus vastes horizons. C'est cette dernière branche de connaissances qui permet, sous le nom de géométrie analytique, de déterminer les courbes si variées dont l'ingénieur trouve l'emploi dans ses constructions. Mais, après Descartes, une nouvelle surprise était réservée à l'Eu* rope savante et de nouveaux instruments étaient mis aux mains de l'Europe industrielle, par rinvention du calcul difTérentiel et intégral. Les deux noms de Nev^ton et de Leibnitz

marquent la première époque de cette grande découverte, dont le trait caractéristique est d'avoir subjugué l'infini. Par la méthod des infiniment petits, on eut un moyen expéditif de trouver les différentielles , — autrement dit, les accroissements infinitésimaux, — des quantités dont on voulait déterminer la grandeur. Toute quantité finie était ainsi décomposée en des éléments différentiels, dont la somme, ou intégrale^ permettait de reconstituer la même quantité. Par un ingénieux artifice, l'esprit humain se rendit maître de cette conception métaphysique de l'infini qui l'avait torturé si longtemps sous des noms divers, et il la fit tourner au plus grand profit de ses travaux sur la nature concrète. Cette méthode devient indispensable dans les hautes parties de la mécanique et de l'astronomie ; elle grave les différentielles dans notre mémoire, par des figures réduites au dernier degré de simplicité et qui sont, pour nous tous, pour le vulgaire, bien autrement vivantes que les idées pures

Î74 HinOlRB DO TAAYAn..

dont elles émanent. D*Alembert, Gbd6in,Tay* lor et d'autres géomètres accomplirent plus tard, dans Cet ordre, titi nouteau travail d*éliminatibn de Fabsoltlj en bbtn^Iëtattt làmé^ thode des infiiliinent petits par tiëllé des linii^ tes, laqbelle reçut; à son tour^ tin ^atid et dëMier pet^rectiondettient de Lagratl^, ^tti réussit à rattacher les tk>ëfflbirats diff6t*eiltiets à rdgèbre. De la sbrtë; le haut tialcul a pu être enseigné par la réunion de ces trbis méthodes en Une setile, et pAt des considéttttiobs de plus en plUs elénientah*es. L'influetlce ^tle Lagrangé exerça siii* là cbilstittition de la mfr^ baniqtlé têleste est blBti cdlihue. tiethélltbut génie, qtli Résolvait, a Fàgë de dix-ilëuf ahs, les prdblètties les plus ardus posés par Ëuleh à tous les satants dé rEurotJë, lië Fut ëtifebi^ que le précurseur (l*un autre géiiie pUisSànti Laplace profita, comme Newton, de ëëile ft* veur db dëstih qui dépose entre les ttlàiÉs de quelques hônimes les filbyëns décisifs d'^aéiidii bU de recherches, préparés lentetUëtit ^âi*

eurs prédécesseurs. Gomme le savant anglais, 1 mania ces forces précieuses avec une incomparable supériorité.

Maintenant, si nous résumons les principaux services rendus à Tordre matériel par les sciences de raisonnement, nous voyons que les industries de la construction et des transports sont celles qui ont profité le plus largement de ces bienfaits. Les deux autres industries du vêtement et de l'alimentation en ont plutôt ressenti les effets indirects, par l'intermédiaire des transports, qui influencent, ainsi que nous l'avons rappelé, toutes les catégories de l'activité sociale. Il faut noter enfin que l'application de la mathématique à la mécanique, — application dont nous parlerons un peu plus loin,— complète cet immense réseau d'actions et de réactions mutuelles, qui s'exercent de la science vers l'industrie et de l'industrie vers la science*