II

au contraire, conclut l’inégalité, par un procédé ingénieux et plus exact, des observations d’éclipses qu'il a à sa disposition.

On voit donc que l’ordre suivi par Aboul-Wéfä dans l'exposition de toute cette théorie, et souvent ses procédés de démonstration dans les détails, enfin l’exactitude qu'ils comportent, différent, à beaucoup d’égards, de la marche et de la méthode géométrique de Ptolémée.

Cet ouvrage présente une hardiesse et un cachet d'originalité qui le distinguent de tout ce que nous connaissons des autres astronomes arabes. Il nous parait propre à faire beaucoup d’honneur, indépendamment de la découverte de la troisième inégalité lunaire, à Aboul-Wéfä, et sans doute il a contribué à lui assurer le rang qu'il occupe dans l’histoire de l'astronomie arabe.

Nous arrivons, et non sans hésitation, à cette question finale que nous ne pouvons éluder : Quel est le système d’Aboul-Wéfâ dans la théorie des inégalités lunaires? Comment la variation s’y trouve-t-elle associée aux autres inégalités ?

Nous répondons : Aboul-Wéfä a adopté les deux premières inégalités de Ptolémée propres aux syzygies et aux quadratures, ainsi qu’on le voit dans les neuf premiers chapitres de la deuxième section de son septième

discours, qui ont pour objet de démontrer tout ce qui se rapporte à ses deux premières inégalités.

En outre, Aboul-Wéfä a adopté la rectification de ces deux inégalités par la prosneuse, et c’est à ces deux inégalités recüfiées qu’il ajoute sa troisième inégalité dont le maximum est de 45° environ dans les octants.

Le chapitre X (1), sur lequel on à tant différé d'opinion, à pour objet, selon nous, dé démontrer simultanément ces deux partiés associées du système de l’auteur. Car, qu’on se le rappelle ici, lout ce SYStème a élé exposé dans la première des trois parties ‘consacrées à la théorie de la lune, et dans la seconde, la seule que nous connaissions, l’auteur ne décrit plus : il se borne à prouver.

Je dis que le chapitre X a pour objet de démonttét simultanément la rectification de la prosneuse et linégalité de 45’ qui la complète. Conséquemment il ne serait pas relatif à la prosneuse seule, comme on Pa cru, parce qu’elle venait naturellement, a-t-on dit, dans l'ordre logique après les deux premières inégalités de Ptolémée. Dans Ptolémée, cette prosneuse complétait le système des inégalités; il fallait donc la démontrer ; c’est ce qu’il a fait. Mais dans Aboul-Wéfà il n’est pas possible de la considérer isolément; elle ne complète rien dans aucun cas; il n’y avait donc pas lieu de lui consacrer un chapitre spécial. Elle ne tire sa raison d’être que de la troisième inégalité des 45° qui la complète, et sans laquelle elle n’a aucun objet, et consé-

(1) Nous rapportons plus loin, d’après la traduction admise par M. Biot (Journal des savants, année 1843, p. 733), le texte complet de ce chapitre X.

quemment n’est susceptible d’aucune démonstration de la part d'Aboul-Wéfà, car il n’était pas possible de la mettre seule en comparaison d’une observation. La seule démonstration possible est. celle des 45’. Aussi cest cette démonstration de la troisième inégalité, comprenant implicitement celle de la prosneuse, que se propose Aboul-Wéfà dans le dixième chapitre.

Voici ce qui le prouve. Outre le passage de ce dixième chapitre qui nous a donné la preuve certaine que par son inégalité de 45 Aboul-Wéfâ n’a point entendu remplacer l'effet de prosneuse dans les octants, nous en trouvons un autre qui montre que, loin de là, Aboul- Wéfà ajoutait cette troisième inégalité à la prosneuse, c'est-à-dire aux deux inégalités de Ptolémée corrigées -par la prosneuse.

En effet, après avoir dit qu'il a observé le lieu de la lune quand elle se trouve dans les octants et à l'apogée où au périgée de l’épicycle, 1 ajoute : « Nous avons en même temps cherché son lieu par le calcul, que nous avons corrigé par les deux anomalies ci-dessus décrites, et nous l'avons trouvé plus grand ou plus petit que celui-là d'environ une moitié plus un quart de degré (1)..» |

Or, ces deux anomalies «-dessus décrites ne peuvent être les deux premières inégalités simples de Ptolémée, par la raison qu’elles sont nulles quand la lune se trouve à l’apogée ou au périgée de l’épicycle, comme Aboul-Wéfä le suppose expressément. [l s’agit donc des deux inégalités rectifiées par la prosneuse, et décrites,

(1) L.-Am. Sédillot, Matériaux, ete., p. 41.

non pas dans les chapitres du septième discours, comme on l’a cru, mais dans le sixième discours où se trouvait l'exposition ou description complète du système lu- naire.

On voit combien il était important d’insister, comme nous l'avons fait, sur le mode d'exposition et de démonstration adopté par Aboul-Wéfâ en opposition avec la marche suivie par Ptolémée. |

Il nous paraît donc prouvé et hors de doute, d’après les fragments parvenus à notre connaissance, que l’inégalité de 45 s'ajoute aux deux premières inégalités reclifiées par la prosneuse; que tel est le système d'Aboul-Wéfä, et qu'ainsi 1l à parfaitement découvert la varialion.

Une vérification numérique, sans être nécessaire, nous paraît confirmer cette conclusion.

En effet, les inégalités de Ptolémée sont, dans le premier octant, — 6733” et + 1093 32”, selon que la lune est à l’apogée ou au périgée de son épicycle. Celles d’Aboul-Wéfä, que nous formons en ajoutant 45’ à celles-là, sont — 22’ 33” et + 20 8’ 39”.

Or, les inégalités, d’après les tables de M. Damoiseau, pour les mêmes positions de la lune, sont — 38 24’ et + 1054 32”. Les erreurs de Ptolémée seraient donc de 29° 9” en plus et 31” en moins, et celles d’Aboul-Wéfàä de 15° 51” en moins et 14 en plus, c’est-à-dire que le

système d’Aboul-Wéfä diminue les erreurs de Ptolémée de moitié au moins.

La différence est encore plus grande, à l’avantage d’Aboul-Wéfâ, dans le deuxième octant.

En effet, alors les inégalités de Ptolémée sont, pour les mêmes positions apogée et périgée de la Lune, + 67 33” et — 10 923 39”, On forme celles d’Aboul-Wéfà en retranchant 45”, ce qui donne + 2% 33? et — 20829”,

Or, les inégalités de M. Damoiseau sont alors + 35’ 33” et — 10 56° 23”. Les erreurs de Ptolémée sont donc 32 en plus et 3% 51” en moins, et celles d’Aboul-Wéfâ ne sont que 13 en moins et 12° 6” en plus, par conséquent inférieures de moitié à celles de Ptolémée, et dans des limites satisfaisantes, eu égard à la théorie et aux procédés d'observation de la lune au Xe siècle.