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au contraire, conclut Tinégalité, par un procédé ingénieux et plus exact, des observations d'éclipsés qu'il a à sa disposition.

On voit donc que l'ordre suivi par Aboul-Wéfâ dans l'exposition de toute cette théorie, et souvent ses procédés de démonstration dans les détails, enOa l'exactitude qu'ils comportent, différent, à beaucoup d'égards, de la marche et de la méthode géométrique de Ptolémée.

Cet ouvrage présente une hardiesse et un cachet d'originalité qui le distinguent de tout ce que nous connaissons des autres astronomes arabes. Il noua parait propre à faire beaucoup d'honneur, indépendamment de la découverte de la troisième inégalité lunaire, à Âboul-Wéfâ, et sans doute il. a contribué à lui assurer le rang qu'il occupe dans l'histoire de l'astronomie arabe.

Nous arrivons, et non sans hésitation, à cette question finale que nous ne pouvons, éluder : Quel est le système d' Aboul-Wéfâ dans la théorie des inégalités lunaires? Comment la variation s'y trouve-t-elie associée aux autres inégalités?

Nous répondons : Aboul-Wéfâ a adopté les deux premières inégalités de Ptolémée propres aux syzygies et aux quadratures, ainsi qu'on le voit dans les neuf premiers chapitres de la deuxième section de soa septième

discourt^ (|Ui ont pour objet de démontrer tout té qui se rapporte à ses deux prenfiières inégalités.

En outre, Aboul-Wéfâ a adopté la rectification de ces deux inégalités par la prosneuse, et c'est à ces deux inégalités rectifiées qu'il ajoute sa troisième inégalité dont le maximum est de 45' environ dans les octâtftls.

Le chapitre X (1), sur lequel on a tant différé d'opinion, a pour objet, selon nous, de démontrer simultanénfyeût ces deux parties associées du système de l'auteur. Car, qu'on se le rappelle ici, (out ce système a été exposé dans la première des trois parties consacrées à la tfaéorie de la lune, et dans la seconde, la seule que nous connaissions, l'auteur ne décrit plus : il se borne à prouver.

Je dis que le chapitre X a pour objet de démontrer simultanément la rectification de la prosneuse et Finégdlîté de 45' qui la complète. Conséqûemment il ne serait pas relatif à la prosneuse' seule, comme on Fa cru, parce qu'elle venait naturellement, a-t-ofl dit, dans Fordre logique après les deux premières inégalités de Ptolémée. Dans Ptolémée, cette prosneuse complétait le système des inégalités; il fallait donc, la démontrer; c'est ce qu'il a fait. Mais dans Aboul-Wéfâ if n'est pas possible de la considérer isolément; elle né complète rien dans aucun cas; il n'y avait donc pas Heu de lui consacrer un chapitre spécial. Elle île tire sa raison d'être que de la troisième inégalité des 45' qui la complète, et sans laquelle elle n'a aucun objet, et consé-

(1) Nous rapportons plus loin, d'après la traduction admise par M. Biot {Journal des savants, année 1843, p. 733), le texte complet de ce chapitre X.

quemment n'est susceptible d'aucune démonstration de la part d'Aboul-Wéfâ, car il n'était pas possible de la mettre seule en comparaison d'une observation. La seule démonstration possible est celle des 45'.. Aussi c'est celte démonstration de la troisième inégalité, comprenant implicitement celle de la prosneuse, que se propose Aboul-Wéfâ dans le dixièrtie chapitre.

Voici ce qui le prouve. Outre le passage de ce dixième chapitre qui nous a donné la preuve certaine que par son inégalité de 45' Aboul-Wéfâ n'a point entendu remplacer l'effet de prosneuse dans les octants, nous en trouvons un autre qui montre que, loin de là, Aboul- Wéfâ ajoutait cette troisième inégaUté à la prosneuse, c'est-à-dire aux deux inégalités de Ptolémée corrigées par la prosneuse.

En effet, après avoir dit qu'il a observé le lieu de la lune quand elle se trouve dans les octants et à l'apogée ou au périgée de l'épicycle^ il ajoute : « Nous avons en même temps cherché son lieu par le calcul, que nous avons corrigé par les deux anomalies ci-dessus décrites, et nous l'avons trouvé plus grand ou plus petit que celui-là d'environ une moitié plus un quart de degré (1). y>

Or, ces deux anomalies d^dessus décrites ne peuvent être les deux premières inégalités simples de Ptolémée, par la raison qu'elles sont nulles quand la luné se trouve à l'apogée ou au périgée de l'épic^cle, comme Aboul-Wéfâ le suppose expressément. Il s'agit donc des deux inégalités rectifiées par la prosneuse, et décrites^

(1) L.-Âm. Sédillot, Maiériaux^ etc., p. 47.

non pas dans les chapitres du septième discours, comme on Ta cru, mais dans le sixième discours où se trouvait l'exposition ou description complète du "système lunaire.

On voit combien il était important d'insister, comme nous l'avons fait,''sur le mode d'exposition et de démonstration adopté par Aboul-Wéfâ en opposition avec la marche suivie par Ptolémée.

Il nous paraît donc prouvé et hors de doute, d'après les fragments parvenus à notre connaissance, que l'inégalité de 45' s'ajoute aux deux premières inégalités rectifiées par la prosneuse; que tel est le système d' Aboul-Wéfâ, et qu'ainsi il a parfaitement découvert la variation .

Une vérification numérique, sans être nécessaire, nous parait confirmer cette conclusion.

En effet, les inégalités de Ptolémée sont, dans le premier octant, - 67' 33" et + 1^ 23' 32", selon que la lune est à l'apogée ou au périgée de son épicycle. Celles d'Aboul-Wéfâ, que nous formons en ajoutant 45' à celles-là, sont - 22' 33" et + 2o 8' 32".

Or, les inégalités, d'après les tables de M. Damoiseau, pour les mêmes positions de la lune, sont — 38' 24" et + 4o54' 32". Les erreurs de Ptolémée seraient donc de 29' 9" en plus et 31' en moins, et celles d'Aboul-Wéfâ de 45' 51" en moins et 14' en plus, c'est-à-dire que le

système d'Aboul-Wéfâ dimioue les erreurs de Ptolémée de iDûitié au moins.

La différence est eacore plus grande, à l'avanlage d'Aboul-Wéfâ, dans le deuxième octant.

En effet, alors les inégalités de Ptolémée sont, pour les mêmes positions apogée et périgée do la Lune, + 67' 33" et - \o 23' 32". On forme celles d'AbouUWefà en retranchant 45', ce qui donne + 32' 33" et - 2o8' 29".

Or, les inégalités de M. Damoiseau sont alors + 35' 33" et - lo 56' 23". Les erreurs de Ptolémée ^ont donc 32' en plus et 32' 51" en moins, et celles d'ÀbouI-Wéfâ • ne sont que 13' en moins et 12' 6" en plus» par conséquent inférieures de moitié à celles de Ptolémée, et dans des limites satisfaisantes^ eu égard à la théorie et aux procédés d'observation de la lune au X® siècle.