III

Tous les grands mathématiciens , depuis Archimède jusqu'à Kaestner , ont pensé que la méthode d'Eu* dide était la seule juste. Cependant les modernes , qui visaient plus à obtenir des résultats en pratique qu'à des démonstrations rigoureuses et. logiques , ont souvent répété qu'EucUde était trop long , trop indirect , trop entortillé , trop difficile pour les commençans. Ils ont cherché des voies plus simples et plus faciles; mais quiconque connaît le génie des anciens , quiconque demande aux mathématiques une occupation pour l'esprit, répétera ce qu'Eluclide répondit à Ptolémée Soter, qui se plaignait aussi de

« qn'ils Toulaient établir, sans se permettre aucanc de cef ' « suppositions un peu libres que les - modernes emploient c quelquefois pour simplifier les raisonnemens et les censéc quences. ^ Ici nous intercalons la note suivante de Reimer : « L'une, de leurs meilleures métbodes de démonstration est «c celle dite à^ejchaûstion. On prouve Tégalité de TSeax ^n* « deurs entre elles , en établissant que la différence serait plu « petite qu'aucune gxandeuir que- Ton puisse indiquer. 11 j a « de nombreux exemples de cette- métbode dans les anciess « géomètres , surtout dans Archimède ; aussi rappelle->t-on la n méthode d'exbaustion d'Archimède. C^est , il est Trai , une ft application de la démonstration «u moyen de Tabsurde) K cependant ce n'est pas la même chose que là deductio ad (c absurdum , nom que l'on donne k la démonstration indirecte <r ou apagogique. * Bossut continue ainsi : « Par exemple, « fallait" il démontrer que les circonférences de deux cercles «( sont con^me les diamètres, ils (les anciens) auraient cru « pécher contre la rigueur géométrique / si , après avoir prouTé

la difficulté de sa méthode : « Il n'y a point, lui ditc il , de chemin particulier pour les rois. * On a Eût, depuis la renaissance des sciences , de grands efforts pour corriger ses théorèmes particuliers , par exemple sa doctrine des parallèles , et cependant on n'a jamais pu aller plus loin. Les deux derniers livres de ses élémens ne sont pas de lui , mais ils sont l'ouvrage de l'école d'Alexandrie, et l'on dit que ce fut Hypsiclès, mathématicien du second siècle, qui les rédigea. Les livres d'Eùclide, intitulés : les Données et les Porismes, appartiennent a la liante géométrie et à l'analyse. On a encore une

« qne les contours de deux polygones réguliers semblables, « inscrits dans les deux cercles , sont toujours comme les dia> K mètres, en quelque nombre que soient les côtés des poljrti gones , ils avaient fini par confondre les circonférences et « les contours de deux polygones , et par conséquent aussi a les deux rapports, en multipliant à Pinfini le nombre des « côtés des deux polygones. Leur marÔhe était plus serrée. Ils « commençaient par établir qu^en soudiyisant continuellement a en deux parties égales chacun des arcs soutenus par les côtés « des polygones, les contours des nouveaux polygones, toa- « jours proportionnels aux diamètres, approchaient continuelle lement des circonférences jusqu'à n'en différer enfin que de K quantités inassignables : ensuite ils faisaient yoir qu'on ne c pourait pas supposer, sans tomber dans des absurdités, que « le rapport des deux circonférences fût plus grand ou plus « petit qne celui des contours des deux derniers polygones « lectilignes , on des diamètres ^ d'où ils concluaient que ces Q denx rapports étaient les mêmes. '

partie du premier; les Porismes ne nous sont con-r nus que par ce qu'en dit Pappus : nous ne pouvons nous enfoncer assez dans la théorie pour juger leur mérite scientifique '.'On a élevé beaucoup de doute sur Tauthenticité des écrits qu'Euclide nous a laissés sur Toptique et la catoptrique. Lors même qu'on mettrait sur le compte du temps et du défaut d'expériences les erreurs de physique et les fausses hypothèses qu'ils contiennent, la partie mathématique en est si inexacte , les propositions en sont si mal démontrées , qu'il est impossible que Iç créateur de la science soit l'auteur de ces fragmens. Tel est du moins le jugement d'un mathématicien alle-

I Reimer, dans ses additions à Bossut, tom. I.**, p^^g* 1^5, dit que les Data sont considérés comme une introduction à Tanalyse géométrique , et qtle Pappus les recommande comme tels. On apjielle donnée, ce qui est connu, soit par hypothèse, ou ce qui. peut être démontré, etc. Reimer donne une idée des Porismes y et pour cela il emprunte les propres expressions de Robert Simson. Porisma est propositio , in qua proponitur demonstrare rem aliquam vel plures datqs esse, cui, vel guibus, ut et cuilibet ex rébus innumeris , non quideni âatis , sed .quœ ad ea , quœ data sunt , ' eandem habent relationem , conuenire astendendum est affectionem quandam communem in propositione descriptam^ Porisma etiam in forma problematis enuntiàri potest , 4i nimirum ea , quœ data demonstranda sunt, inuenienda proponantur. On connaît asse^ les Données par le travail exécuté par Schwab diaprés Simson. Quant aux Porismes, voyez les additions de Reimer à Bossut, pag. 370 : nous ne pouvons qu'y renvoyer.

mand ^. Cela n'empêche pas que Delambre n'ait préféré ces fragmens , tout, incomplets qu'ils sont , au traité bien jilus complet que Ptolémée nous a laissé. Eudoxe de Cnide fut l'un des mathématiciens de l'école platonicienne ; 11 vécut au temps de Philippe de Macédoine , et nous ne le rappelons ici qu'au sujet d'Aratus , qui mit'ses livres en vers. Les extraits qu'il en fit causèrent malheureusement la perte de l'original , ce qui est d'autant plus fâcheux, qu'Archimède le cite avec estime. Eiidoxe avait tant fait pour compléter le système de la géométrie , qu'on alla jusqu'à lui attribuer le cinquième livre des Élémens d'Euclide. Son ouvrage sur l'astronomie, celui -là "même qu'Aratus mit à la portée des gens du monde, avait deux parties essentielles ; l'une était intitulée le Miroir^ l'autre Phénomènes célestes,^ L'ouvrage d'Aratus est sans importance pour l'astif onomie : il la savait fort peu , peut-être même point du tout ; il n'a décrit que des signes , et même l'on

1 Reimer , sur Bossut, pa^. 279. Il croit <ju^un disciple a rédigé ce traité diaprés le souyenir ijuHl avait des leçons da maître, et la préface de Poptique pourrait le faire penser,

OU bien Ton pourrait supposer qu^Ëuclide ajant écrit luimême ces traités , ils ont eu le sort qu'au récit de Pappus ont éprouvé , dè& le 4-* siècle , les traités de mécanique d'Héro et la plupart des ouvrages des anciens sur les mathématiques appliquées.

3 Voyez , sur Eudo!Le , Schaubach , Histoire de Fastronomic grecque y pag. a5i et 33i.

valions pour bien détermkier les équinoites >. Le dernier historien de l'astronomie fait remarquer qu'il n'est pas même certaii^ qu'il ait existé une pareille sphère armillaire, et dit que, pour déter^ miner la différence qui sépare les deux tropiques , Ératosdiène se servit d'un gnomon. Si Ératosthène eût suivi une meilleure méthode, Ptolémée, qui vint après lui , n'aurait pas commis une erreur de quinze minutes ^. Pour qu'Ératosthène pût , employer sa sphère armillaire, il aurait fallu que le méridien d'Alexandrie eût été déterminé antérieurement, qu'on eût trouvé la hauteiu* de Féquateur^ enfin , chose qui n'était pas aisée , il aurait Êdlu mettre l'équateur de l'instrument au niveau de l'équateur céleste, ce qui exige tme grande précision ; précision . qui n'est' pas même supposable dans l'état où

1 Voyez Montucla , Histoire des mathématiques, toI. I, pag. 3d6. Il n^hésite pas à en faire honneur ^ Ératosthène. Bossut, tom. I/', pag. a34 et 335, en agit de même.

a Delambre, Histoire de Fastron. antienne, toI. I, pag. 87. d £n effet, le gnomon ne donne guère que les ombres da « bord supérieur du soleil ; la hauteur de Téquat^ur qui s''en « déduit doit être trop forte du demi-diamètre du soleil , on « de quinze minutes environ ; la hauteur du p61e trop petite « d^autant. Or, la hauteur du'p61e, à Alexandrie, est en effet a trop faible d^enyiron quinze .minutes dans Ptolémée, et cette « erreur serait inexplicable avec les armilles ou le quart de il cercle'' qui auraient donné la hauteur du centre , à moins <t qu^on ne dise que ces instrumens ne donnaient les- angles « qu^à un quart de degré près. ^

étaient alors les sciences. Il est plus certain qu'Ératosthène chercha à déterminer la circonférence de la terre au moyen de Fobservation , et que Tare du méridien entre Alexandrie et Syène faisait un 5o.* ou 7^1 2' du grand cercle. Il chercha à l'exprimer en stades par des mesures positives , ce qui rendait facile le calcul de la circonférence entière. * Il suffirait , pour se convaincre que de la sorte il ne pouvait arriver à une grande exactitude , de faire remarquer qu'il évaluait à 'Jijg de la totalité de la circonférence la distance qui sépare les tropique» l'un de l'autre ; que , selon lui , Alexandrie et Syène étaient sous le même méridien ; qu'adoptant pour mesures les opérations d'Alexandre Bématiste , il ne tint aucun compte des déviations du chemin ni des hauteurs comparées de l'un et de l'autre point

1 II faut lire sur tout cela , et sur la détermination de Fobliquité de Féclip tique , une exceUente .dissertation de M. Letronne : Les anciens ont- ils exécuté une mesure de la terre postérieurement à rétablissement de Fécole d^Alexandrie ? Mém. de Tlnstit. royal, etc., toI. YI, pag. a6i -307. Il y fait voir qiî^Érathosthéne n''a compté que 7' 8' 34'' entre Syène et Alexandrie, et non 7^12' comme le dit Cléomède. Il termine ainsi : « Je me contente d^avoir, par Fanalyse des données qui n 8*y rattachent , déplacé le point de la question , en prou- <( vaut que ce qu^on ayait pris pour un principe n^est réellen ment qu^une conséquence , et d'avoir montré qu'Ératosthène « a fait seulement Pune des deux opérations nécessaires pour « constituer unt mesure d'un arc da méiidicn. *

au-dessus de la mer. Cependant on sait combien îl esi nécessaire d'en Ëûre état , surtout quand il s'a^t d'une distance de sept degrés. Biccioli , Bossut et Schaubach soutiennent qu'Ératosthène se servit du scaphium ou de l'hémisphère concave de Bérose , dans laquelle s'élevait une pointe qui atteignait le point central de la courbure ; ihais le dernier historien de l'astronoinie des anciens le nie absolument 1

Les Catastérismes ne $ont probablement que des extraits : Ëratosthène nous eût donné quelque chose de plus complet. On énumère sèchement quarantequatre constellations , et Ton indique pour chacune un certain nombre d'étoiles ; enfin, on y joint quelques données mythologiques fort superficielles. On compte bien quatre^ cent soixante -quinze étoiles, .

mais jamais on n'indique la distance des astres, à

I SchaabacH , Histoire dé Uastron. des Grecs, pag. 279. — Reimer sar Bossut» pag. 9»8 , jse dëdajre pour le scapbJam ; M. Letronne dit que cela est d^une faasseCé éyidente. Voici c« que dit Delambre, Histpire àfi Ti^tronomie anciénna^ vol. It pag. 9 1 : « Cléomède a écrit qu^Éraiosthène s'était servi do « scaphium ou scaphé; c'est-à-dire de l'hémisphère coocaTe « de Bérose. Ce petit instrument n'a jamais senri que pour (I la gnomonique \ jamais il n'a été employé au^fr observations « astronomiques, et Ptolémée.ne le nomme pas même une m seule fois. Dans ce cas, Fincertitude serait bien plus graude « encore. Nous examinerons plus loin ce récit de Cléomèdt ». a et nous verrons qu'il ne mérite aociine confiaaoe. *

( 4^7 ) Téquateur ou à récliptique ; il est difficile d'admettre qu'avant Hipparqùe on ait possédé en ce genre aucun catalogue supportable. Nous ne ferons pas mention de ce qu'Ératosthène a imaginé' pour trouver par un moyen mécanique les nombres premiers, mais à cette occasion nous ferons remarquer que tout ce qu'il a fait en géométrie tend beaucoup plus à une application commode qu'à une méthode rigoureuse.

Il n'y a rien de saillant dans son Comtmentaire sur Aratus, mais peut-être est -il l'ouvrage d'im autre Ératosthène.

Il y a, dans le Commentaire d'Eutocius sur la sphère ei le cylindre d'Ardiimède, quelques vers d'Ératosthène. Dans une lettre à Ptolémée , il avait donné là solution duproblèïne, qui est de trouver, pour une quantité simple quelconque, le double cube ; à la fin de la lettre il résume son opération en dix -huit vers élégiaques, et dans le dernier il indique son nom et sa patrie. Cette proposition reposant entièrement sur celle de trouver entre deux lignes données , une quantité donnée de lignes proportionnelles , Ératosthène , pour figurer mécaniquement l'opération , inventa un instrument particulier, qu'il appela mésolabe. Les anciens obtinrent toujours par la construction ce que les modernes demandent au calcul ; la proposition de grossir ou de diminuer un corps déterminé , fournissait aussi

la possibilité d'augmenter ou de diminuer la force d'une machine dans une proportion quelconque.

Archimède fit beaucoup plus pour la science qu'Ératosthène , dont il fût le contemporain. Ses créations , conmie celles d'Aristote , d'Euclide , d'Apollonius de Pergâ et d'Hipparque, ont eu pour objet la science dans toute l'étendue de ce mot, et son application à' Tindustrie et aux arts. Archimède était parent du second Hiéron ; il était de Syracuse ; il vécut et mourut en Sicile : mais nous le comptons pour l'école d'Alexandrie , parce qu'y ayant fait ses études, il conserva toujours des relations avec cette ville, et fonda toute sa science sur celle de l'Egypte. Il eut pour maître l'astronome Conon , celui-là même qui retrouva la chieveluré de Bérénice, parmi les astres. Non -seulement il apprit de lui l'astronomie, mais encore les hautes mathématiques ; il surpassa ce maître pour I^ théorie des spirales et y ajouta de nouvelles découvertes. *

En théorie , ce qui frappe nos regards dès l'a-

1 Ce quMl y a de plus admirable dans son Traité des spi» raies, cVst la force d^esprit avec laquelle il suit toujours le fil de la démonstration k travers ce dédale de propositions intermédiaires qui lui servent à déterminer la longueur de ces courbes au moyen des tangentes, des perpendiculaires, etc. Ces recherches sont aujourd'hui plus faciles par la découverte du calcul intégral, mais cela laisse en son entier le mérite d'Archiméde.

bord , c'est sa découverte des rapports du diamètre à la circonférence du cercle j mais comme il n'oubliait jamais l'application , il s'attacha moins à obtenir la plus grande exactitude possible (ce qu'il aurait pu faire en poussant plus loin sa division), qu'il ne chercha à trouver un rapport qui pût satisfaire l'usage ; il se contenta d'enfermer le cercle entre deux polygones à quatre-vingt-seize angles, et de la sorte il obtint la proportion de 7 à 22, que l'on conserva dans la pratique , même lorsqu'on rechercha pour les calculs une plus grande exactitude. Dans sa théorie de la sphère et du cylindre, ses calculs ne s'arrêtent pas à la superficie, ils comprennent aussi le corps même j mais il regarde toujours comme connu ce que d'autres avaient démontré avant lui , ne donne que ce dont il est l'inventeur, et ne recommence que les démonstrations qui lui paraissent ou inexactes ou peu rigoureuses. Il attachait tant d'importance à la découverte des rapports entre la sphère et le cylindre, qu'il voulut que Son tombeau en rappelât le symbole. Dans sa quadrature de la parabole , il a donné le premier exemple de la mesure exacte d'une surface enfermée par une ligne courbe , çn démontrant que la parabole est égale aux deux tiers du rectangle circonscrit. ^

1 Dans une note sur Bossur , pag. S^ , Reimcr examine les

Le calcul appelé par lui y^/eciAfÀitfjç * paraît être une plaisanterie , mais il conduit à une importante application du calcul aux mesures ; il dut être d'une grande influence sur l'arithmétique des anciens. Les Grecs n'entendaient pas par xÇidiÀtiréKfi la même chose que nous. C'était une arithmétique générale, composée de recherches sur les nombres , leurs rapports et leurs propriétés. EucHde avait envisagé ce sujet de la même manière; l'art des calculs (Aoyio-r/JCJf) en était tout différent Nous ne connaissons que très-imparfaitement cette arithmétique des Grecs, et les fragmens réunis par Delamhre ne nous en fournissent qu'une image incomplète. Le défaut de détermination et de retour périodique des chiffres

moyens qui cpndaisirent Archimède jèi ce résultat. Il se serrit d^une part d^un procédé tout mécanique et tout aussi inusité qu^ingénieux. Il trouva le rapport de la surface de la parabole à celle d^un triangle inscrit , en cecherchant lce qui arriverait si Ton pouvait peser les deux superficies au moyen d^ane balance mathématique. D^autre part il eut recours à un procédé purement géométrique. Il décrit encore quatre triangles dans les deux segmens qui restent entre le trianglç inscrit et h parabole , et continuant de la sorte , il trouve que le premier triangle est toujours aux autres dans la proportion géométrique >9 Aj '/la > etc., la somme obtenue lest de ))) par conséquent il porte à % la somme de tous les triangles inscrits , à V, la somme du rectangle circonscrit.

I jireiiarius, calcul pour exprimer le nombre des grains de sable que contiendrait Tunivers.

par unités,, dizaines, etc., devait rendre fort pénibles les calculs compliqués. On inventa de bonne heure le cadre ou la table à calculer ; des lignes ou des bâtons y marquaient la place des nombres dans le système décimal , en sorte que ce qui sur la première marquait trois unités, en désignait trente sur la seconde , trois cents sur la troisième , etc. Boéthius fait honneur de cette invention à Pythagore , mais il se pourrait bien qu'elle eût été occasionée par la manière dont Archimède désigna les nombres. Ce qu'il y a de certain , c'est que dans son y^x/JtiÀirtis il les a astreints , quelque grands qu'ils fussent, à un retour méthodique, qui, dans notre système arabique , est réduit à de petites périodes. Toute la dissertation e3t évidemment dirigée contre Terreur commune , qui veut que le sable de la mer soit innombrable. Ce n'est pas seulement cette opinion populaire qu'il combat , dit-il ; mais il s'élève contre cette autre encore qui, sous l'apparence de la science, a soutenu que l'on ne pourrait exprimer en chiffres la sonmie des grains de sable de la mer. Il croit que les nombres renfermés dans les livres qu'il adresse à Zeuxippe, sont, plus que suffisans pour indiquer une quantité de grains de sable telle qu'on en pourrait former une sphère égale, non-seulement à toute la terre , mais à l'ensemble de l'univers. A cette occasion il fait connaître sa pensée sur les rapports de grandeur qui existent entre la terre et

l'univers ^. Les plus anciens astronomes des Grecs regardaient le diamètre du soleil comme étant tout au plus dix -huit fois plus grand que celui de la lune. Archimède, sans entrer dans des calculs spéciaux, le suppose d'emblée trois cents fois plus grand. Il suppose aussi qu'une graine de pavot est l'équivalent de dix mille grains de sable j puis , pour concéder le plus possible d'étendue à ses adversaires, il admet qu'il faudrait quarante graines de pavot pour former la jiongueur d'un pouce , quoiqu'il lui ait. suffi souvent d'en placer vingt-cinq les uns à côté des autres.

Ârchimède n'a pas moins avancé la mécanique, l'optique , l'hydrodynamique ^ il réunissait toujours

1 Delambre,. Histoire de Pastron. ancienne, toI. I , p. io3. (c On sait, dit -il, que suivant les astrologues, le monde est ti une sphère dont la terre est le centre. C^est ce qu'Aristarqae « a réfuté dans le liyre qu^il a écrit contre eux. Il y prétend K que le monde est bien plus grand encore. Il y suppose qae « le soleil est immobile aussi bien que les étoiles , et que la « terre décrit un cercle autour du soleil , qui demeure immon bile au centre du monde , et que la sphère des fixes , dont « il occupe le centre , est tellement grande , que le cercle dé- <i crit par la terre est k cette sphère dans la même raison, que « le centre esta la surface de la sphère. ^ Delambre y ajoute, en se servant des expressions du '^ctjUifxiTnç d^Archiméde, qu'Aristarque ne voulait dire autre chose, sinon que, si la terre était le centre du monde, sa sphère serait à la sphère universelle comme la sphère dont la rotation annuelle de la terre décrirait la circonférence, est k la sphère des étoiles .fixes.

la théorie et la pratique. On peut considérer ^ nous l'avons déjà dit, son livre sur l'équilibre des corps, comme Je premier traité de statique. Le premier il reconnut que le levier, formant un théorème particulier, avait besoin d'une démonstration particulière. U fait naître à nos yeux tout ce système de la manière la plus simple et par le seul secours de la balance, et k conduit jusqu'à la théorie du centre de gravité et à son application , sans pour cela recourir, comme l'avait fait Aristote, au mouvement circulaire ^. Quoiqu'il n'y ait dans tout cet ouvrage aucune définition du centre de gravité , il applique partout sa théorie , et détermine ce centre de gravité pour le parallélogramme, pour le triangle, pour le trapèze , pour la parabole , etc. Non-seule-

1 Bo^sut , Yol. I , pag. 1 44* Quand les l)ras de la balance sont égaux, il faut, pour maintenir Féquilibre , que les poids le soient aussi : si Ton prolonge Fun des bras, il faudra di» minuer dans la même proportion le poids de ce côté. De là la conséquence que deux poids mis en équilibre à des bras inégaux, sont en raison inverse de ces bras. Ce principe termine la' théorie du levier et des machines de ce genre. Archimôde ayant remarqué que les deux poids exerçaient la même pression sur le point d^appui que s^ils y étaient suspendus immédiatement, il réunit par la pensée ces deux corps en un seul^ et tira la même conséquence de la réunion de trois corps. Puis il démontra que dans tout système de petits corps ou dans chaque corps considéré comme formant un pareil sytlème , il y a un centre de gravité.

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ment il inventa la théorie du plan incliné , du moufle , de la vis ; mais il en montra lapplication et créa une infinité d'autres machines qu'il croyait faciles à construire pour quiconque se serait pénétré de sa doctrine, car il n'en a pas même laissé de description, si bien qu'elles ne nous sont connues que par de vains bruits ou par des exagérations.

Aristote avait été bien près de découvrir l'hydrostatique ou l'équilibre des fluides. Archimède y consacra un livre particulier ; malheureusement nous en avons perdu le texte grec ^ Il est permis cependant de douter de quelques récits qui ont le caractère de l'anecdote. Ainsi Archimède découvrit que deux corps d'égale grandeur, et tous deux plus lourds que le liquide dans lequel on les plonge , perdent chacun une égale quantité de leur poids ^ ou , en renversant la proposition , que deux corps sont de grandeur égale quand ils perdent la même quantité de leur poids dans un Hquide. Cette découverte est certaine, mais est -il bien prouvé qu'elle ait eu lieu à l'occasion d'une opération que faisait Archimède pour le roi Hiéron , qui voulait savoir combien il y avait de parties d'argent dans une couronne d'or? On pourrait douter aussi qu'Archimède ait été l'inventeur de la vis qui porte son nom. On prétend qu'on s'en servait dès les temps les plus

1 Libri duo de humido insidentibus*

anciens en Egypte, et, selon Strabon, dans le pays de Babylone, et cela pour mettre à sec des rivières et des marais, et pour élever Teau à une hauteur modérée. Ce qui est incontestable , c'est qu'Archimède n'a jamais été surpassé en mécanique ni en hydrodynamique. Rhodes, Alexandrie, Pergame, Byzance, fondèrent après lui des écoles pour ces sciences : on y enseigna la nautique , l'astronomie, la géographie 5 mais parmi ceux qui vinrent y donner des leçons , le seul homme qui fit marcher la science fut Héron , élève de Ctésibius , qui vivait à Alexandrie dans le même temps qu'Archimède à Syracuse. Il avait écrit , sur la mécanique , le traité le plus complet que l'antiquité eût produit ^ L'application , au contraire , fut enseignée avec beaucoup de zèle dans ces écoles , à en juger par une , collection de fragmens parmi lesquels se trouve toute une théorife dès machines de guerrt, par Biton , qui mourut plusieurs années avant Héron, et une autre, par Athénée, son contemporain. On a encore le quatrième et le cinquième livre de la mécanique de Philon de Byzance; il n'y est

1 Ce sont les /jifi^AViKeti Ùçetycoyeti ^ mechanicœ institution nés. Ou ne les connaît que par ce qui en a passé dans le huitième livre des Collections mathém. de Pappus. Les écrits qui se sont conservés en leur entier, sont ceux du genre pratique \ on les trouve dans la Collection d^anciens mathématiciens , imprimée à Paris en iGuqBj tn-fol.

question que de machines pour l'attaque et la défense des places. Ce que nous avons d'Héron nous fournit aussi des détails sur les machines inventées par lui et par Ctésibius , entre autres sur celle composée de deux pompes aspirantes et foulantes, sur le siphon et sur la fontaine appelée encore de son nom fontaine de Héron. Nous avons déjà parlé des orgues et des horloges hydrauliques de Ctésibius. Ce que l'on nous dit des miroirs ardens d'Archimède et des vaisseaux romains qu'ils incendiaient dans le port de Syracuse est tellement douteux , que nous n'oserions citer ce fait pour en appuyer son mérite en catopirique et en dioptrique. *

Les courbes , l'ellipse , l'hyperbole , la parabole , reçurent d'Apollonius de Perga tout autant d'éclaircissemens qu'Euclide en avait fourni à l'arithmétique et à la géométrie rectiligne, et qu'Archimède en avait donné pour les branches que nous venons de signaler. Apollonius était le contemporaîn d'Archimède. Cent trente ans avant lui Aristée avait écrit sur les sections coniques ; depuis on avait suivi cet auteur , mais Apollonius surpassa tellement ses devanciers qu'on les oublia , qu'on ne suivit plus que lui, de même qu'en mathématiques pures on ne

1 Bossut et Reîmer ont réuni tout ce qu'on pouvait dire sur les miroirs ardens d^Archimède ; ils ont pesé les autorités, tom. I.% pag. 265-378 de Tcdition allemande.

suivit plus qu'Euclide. Heureusement que nous avons encore la plus grande partie du travail d'Apollonius sur les sections coniques ^ 5 ce qu il avait écrit sur la géométrie transcendante n'existe plus 2. Dans les

1 Ce fut le premier qui généralisa la théorie des sections coniques. Reimer. dit qu^avant Apollonius , les premiers inventeurs des sections coniques procédaient d^une manière fort simple. Ils coupaient par une surface plane et à angle droit Tun des côtés du cône. Si celui-ci était rectangle , il en résultait une ellipse ^ s^il était k angle obtus , une hyperbole. Ils avaient toujours recours au cône perpendiculaire , aussi la parabole s^appelait coni '-ectanguli sectio ; Tellipse , coni acu~ tianguli sectio j Thyperbole , coni obtusianguli sectio,

2 L^histoire de Fouvrage sur les sections coniques d^Apollonius est trop extraordinaire pour n^étre pas racontée. Les quatre premiers livres ayant été apportés à Rome, Regiomontanus en fit une traduction latine, qui ne fut point imprimée; mais on publia en iSSy, à Venise, celle de Rémus , et en i 566 une autre de Commandinus avec le commentaire d^Eutocius. On désespérait alors de retrouver jamais les autres livres : Viviani , élève de Galilée , qui avait déjà fait plusieurs travaux, de ce genre , imagina de suppléer à cette perte en puisant dans les auteurs qui avaient pu lire Apollonius en entier; il saisit sa manière et compléta Fouvrage. Vers le même temps, Golius et Navius rapportèrent eu Europe une traduction araber des 5.% 6.' et 7/ livres, et le mathématicien Borelli découvrit un manuscrit semblable dans la bibliothèque de Florence. Il se fit aider par le célèbre maronite Abraham Échellensis, qui traduisait les mots arabes, tandis que lui-même en saisis-sait le sens. Sur ces entrefaites, Viviani avait publie (en 1659) sa diuinatio in quintum librum j4poUonii; il ignorait Feutreprise de BorçUi, et cependant la comparaison de sa divinatia

quatre premiers livres il est parlé de Torigine des sections coniques et de leurs propriétés par rapport à l'axe , au foyer, au diamètre. Tout cela était connu avant Apollonius , mais il a déployé la vigueur de son génie dans l'usage qu'il en a fait et dans les développemens qu il y a ajoutés. Avant lui on n'appliquait ces sections qu'aux cônes perpendiculaires} il en démontra la nature pour toute espèce de cônes, et donna une série de théorèmes et de problèmes qui lui ont acquis la réputation de grand mathématicien. Il n'appartient qu'aux gens du métier de démontrer cette proposition en analysant ses livres. Non moins célèbre que les précédens, Hipparque est le créateur de la trigonométrie des anciens ; il fut encore, et jusqu'à Kepler, le plus grand des

ayec la traduction tourna à son avantage. Quant k Golius , il n^acheva pas sa traduction des sept livres, et celle que Na- TÎus donna eu 1669, ne peut être , dit-on, d^aucune utilité. Enfin, Edme Halley publia une édition complète à Oxford, en 1710. On y trouve le texte des quatre premiers livres qui Bravaient jamais été imprimés^, les Lemmata de Pappus et le Commentaire d^Eutocius. Les trois autres livres y parurent traduits tout de nouveau par Halley, diaprés un manuscrit de la bibliothèque de Bodley, où est aussi Fécrit fort ancien de Thébit Ben Corrah , revu et corrigé par le grand géomètre Nassir Eddin. Halley a fait usage de Fexcellent manuscrit de Golius et de celui de Navius , à la bibliothèque de Bodlej. Le huitième livre fut restitué diaprés les théorèmes de Pappus et par Harley ; car les Arabes ne le possédaient pas.

( 439 ) astronomes. Il enseigna d'abord à Rhodes , où il n'était pas né, mais où il avait fait ses premières observations ; dans la suite il s'établit à Alex^mdrie, où il ne vécut cependant que fort peu de temps. On n'a plus ses écrits , si Ton en excepte le commentaire sur Aratus; mais on sait qu'il fit un ouvrage en douze livres sur la trigonométrie, et qu'il apprit à construire pour les cordes des tables dont on se servait encore, au lieu de sinus, au g.** siècle de notre ère K C'était là un grand mérite dans l'imperfection où étaient les chiffres , surtout si l'on considère que toute la tendance des anciens était dirigée vers la géométrie. Le calcul , en ce qui concerne les cordes , est d'ailleurs si difficile , qu'Hipparque lui-même cherchait ordinairement à l'éviter 2. Il ne faut donc pas s'étonner si, dans les temps qui suivirent, il est si peu question de tri-

1 Delambre, Hist. de Pastron. ancienne, vol. I, pag. 184» dit : (( Nous verrons par ses calculs pour rexcentricité de la « lune , qu'il avait une trigonométrie rectiligne et des tables (( de cordes. " Il dit , pag. 14^ * « H avait composé douze livres « sur le calcul des tables des cordes ; il est fâcheux seulement (( qu^Hipparque n^ait pas donné ses théorèmes. ^

a Delambre , 1. c , pag. i85. — « ha. longueur des .calculs a trigonométriques qu''il savait faire (c^est ce qn^il prouve page

il i4^7 où il dit : il est à regretter que nous ayons perdu ce

n traité m rZv ivdToXZv TrpcbyfjL^rust) , mais qu'il avait un

(c intérêt si grand d'éviter quand il en trouvait la possibilité j

« voilà sans doute ce qui lui a fait imaginer, etc. ^*

gonométrie , soit rectiligne , soit sphérique. Cinquante-cinq ans après la naissance de Jésus-Christ, Ménélas écrivit un traité spécial de trigonométrie sphérique. La science d'Hipparque , à cet égard , paraît avoir jeté le nouvel historien de l'astronomie dans quelque embarras. La manière dont cet auteur a déterminé les ascensions droites et obliques des étoiles , le conduit à croire , comme nous pensions à le faire nous* même, qu'Hipparque avait sur cette science un système complet * , tandis que dans un autre passage il semble en douter^. U

1 Delambre, 1. c. , pag. i84* « Enfin nous voyons par son fi Commentaire sur Aratus , quMl avait exposé er démontr* u géométriquement les méthodes nécessaires pour trouver les n ascensions dibites et obliques des points de Fécliptiquè et ir des étoiles , le point orient et culminant de Técliptique , « Tanglc de Torient, qu^on appelle aujourd'hui la hauteur da « nonagésime II avait donc une , etc. ^

2 Delambre, 1. cit., pag. 117. « Au reste ^ si nous disons « qu^Hipparque était dés-lors en possession des méthodes de « la trigonométrie sphérique , cela n'est pas tout-k-fait hors « de doute. Il n'est pas absolument impossible qu'avec un « globe fait avec soin, dont le méridien, l'équateur et l'ho- « rizon eussent été divisés en degrés, il eût pu .trouver les « derniers résultats que nous venons de rapporter j car il est A encore à remarquer que le mot de calcul, de nombres, de tt trigonométrie, ne se rencontre pas une seule fois dans toot d ce que nous avons analysé jusqu'ici. Accoutumés dès long- « temps à résoudre ces problèmes par le calcul , nous sommes «I trop aisément portés a croire que les anciens faisaient comme « nous. *'

est certain que ce fut lui qui dressa les premières tables pour calculer Tinégalité du mouvement de la terre ; il trouva Texcentricité du soleil , la ligne en absides et le point de leur éloignen^ent de la terre. Enfin , en dépit des connaissances si vantées de la vieille Egypte , ce fut lui qui , le premier , s'appuyant sur les observations qu'avait faites, cent quarante-cinq ans auparavant, Aristarque de Samos, détermina la véritable durée de Tannée solaire.^ Hipparque fit aussi des calculs semblables sur le cours de la lune ; il donna des règles certaines pour calculer les éclipses^ et, fondé sur trois éclipses lunaires , il détermina si bien l'excentricité de la lune , qu'on s'en est tenu à ce qu'il avait fait Ses déterminations , quant à l'excentricité des planètes , ne l'empêchèrent pas d'admettre qu'elles parcouraient un cercle parfait II était réservé à notre époque de démontrer qu'elles suivent une ellipse, et que ces ellipses sont sujettes à des variations provenant de la force

1 II a porté Pexcentricité k yj,^ , rannée solaire à ^SSy^-'/^oct ce qoi le conduisit k en diminuer la durée de sept minutes» qui cependant ne suffisait pas. Le mathématicien que nous copions ici pense , que , s^il n^atteignit pas k une plus grande précision , ce fut la faute du peu d^exactitude des observations d^Aristarque. Si Ton comparait celles d^Hipparque avec les nouyelles, cela porterait Tannée solaire k 365 jours 5 heures 49% secondes : elle diâ'érerait donc k peine d^une seconde de celle que , diaprés Tycho de Brahé , nous ayons obtenue sur des observations plus précises.

générale de la gravitation et de l'action des astres les uns sur les autres. D'abord Hipparque se servit de Tarmille équatoriale, de ce même instrument qu'on attribue à Ératosthène, pour observer les ascensions droites et obliques et la déclinaison des étoiles; mais il est vraisemblable que plus tard il inventa son astrolabe , afin d'épargner de longs calculs : néanmoins leur résultat eût été plus satisfaisant que celui d'un instrument imparfait Toutefois il laissa loin derrière lui ses devanciers Aristille et Timocharis , et de la comparaison de ses observations avec les leurs, il fit jaillir une des découvertes les plus mémorables que les hommes aient jamais faites sur le mouvement apparent de toutes les étoiles fixes. Il trouva ce mouvement général des astres qui , sans changer de position les uns envers les autres , s'avancent du couchant vers l'orient , que l'on appelle la précession des équinoxes. On sait aujourd'hui que ce mouvement est d'un peu plus de cinquante secondes par an. Hipparque, qui n'avait d'autre secours que les expériences les plus incomplètes, Ta cependant deviné avec une supériorité et une sagacité telles que les calculs de Ptolémée n'ont pu atteindre à la même exactitude. Celui-ci donne trente -six secondes à la précession annuelle , tandis que , bien calculées , les observations d'Hipparque arriveraient à un résultat de quarante-deux, et que d'autres atteindraient même à

quarante -sept ou à quarante -huit II n'y avait que cette découverte qui pût faire retrouver des étoiles qu'on avait reconnues plusieurs centaines d'années auparavant. Elle seule était faite pour amener le complément d'une science qui, pour se former, exige des observations répétées pendant une longue série de siècles. *

1 Nous n^en donnerons qu^un seul exemple. Delambre , dans

son analyse de la syntaxe de iPtolémëe (Histoire de Fastro-

nomie ancienne , yol. II , pag. a62 ) , expose clairement ce

que nous voulons dire ici. Il s^agit du Catalogue des étoiles.

« Entre Hipparque et Ptolëmée il s^est écoulé a65 ans, qui,

« h 36'^ par an , font a** 3 9'. Ptolémée dit quVn général il a

a trouvé a y, environ, et Ton suppose généralement qu'il n'a

« fait qu'ajouter a"" /^o' k toutes les longitudes d'Hipparque,

«X en conservant les latitudes. En a65 ans , la précession 5o ,1,

« devait avoir augmenté les longitudes de 3° 4^ '^ 9 ^^ serait

„ 36'', 5 de moins si la précession n'était que de 5o . On peut

supposer 3^ 4^') toutes les longitudes de Ptolémée seraient

donc trop faibles de i** /. '* Puis il ajoute :

De Ptolémée à Flamsteed il y a i553 ans, qui, à 5o'',i,

feraient ai" 36' 4^'

Ajoutez pour l'erreur de Ptolémée sur

la précession i 116

«c ce

La réduction de Ptolémée k Flamsteed

1690 aa 38 i

De 1690 à 1800, 110 ans à 5o",i produisent 1 3i 4^

Réduction de Ptolémée au Catalogue des

Tables de Berlin • a 4 9 4^

Un tel homme ne pouvait manquer de s'apercevoir qu'il n'y avait aucun parti à tirer de la méthode d'Arislarque de Samos , pour déterminer les rapports de dislance entre notre terre et le soleil et la lune, et surtout quelle ne conduirait jamais à connaître les distances réelles. Il inventa donc la méthode des parallaxes , à l'aide de laquelle on a, dans la suite , exactement déterminé la grandeur et Téloignement du soleil et de la lune. Il s'agit de deux lignes visuelles, l'une se dirigeant d'un point de la surface de la terre vers un astre quelconque, et l'autre s'élevant du centre de la terre , de telle sorte qu elles forment un angle qui disparaît quand l'étoile est au zénith , et qui a sa plus grande ouverture quand elle est à 1 horizon. Il devenait facile, après ctla, de rectifier l'erreur commise par Hip' parque dans la détermination de la parallaxe horizontale. Quelle que fut sa méprise pour la mesure de l'angle, le temps quil fallut pour la recdfier atteste assez que le génie d'Hipparque s'éleva bien plus haut que tous les astronomes qui vécurent avant Kepler. U avait déterminé la parallaxe horizontale à trois minutes , tandis qu'elle n'a que quelques secondes. La Hire et Cassîni en évaluaient le nombre à quinze, et nous savons aujourd'hui qu'il n'y en a que huit environ. L'angle se rétrécissant, l'éloignemeni du soleil à la terre devait s'en accroître dans la même proportion. Un mathématicien tel

que Bossut , n'aurait pas dû citer Pline ^ Cet auteur s'écrie dans son enthousiasme , qu'Hipparque était une preuve de la divinité de la nature humaine, lui qui avait osé compter les étoiles; ce n'est là cependant que de la rhétorique mal employée. Le Catalogue des astres n'en contient que mille quatre^ vingts , nombre que , par un ciel serein , un astronome tant soit peu habile , pourrait observer dans très-peu de nuits. Ce qui a droit de nous surprendre, c'est l'exacte détermination de la longitude et de la latitude de chacun. C'est sous ce rapport qu'Hipparque est devenu l'homme le plus marquant de l'antiquité pour l'histoire, pour le commerce, pour la géographie, et Strabon l'a pris pour guide, comme autrefois les Grecs s'attachaient à l'autorité d'Hérodote ou de Thucydide. Hipparque montra comme il fallait se servir, pour la topographie, des longitudes et des latitudes qu'il appliquait à la voûte céleste; il rendit possible l'exécution des cartes au

1 Tout ce que dit Pline sur Hipparque n^est qu^une vaine déclamation, un panégyrique mal entendu. Bossut a transcrit le passage que nous venons d^indiquer. Dans le m^me livre, Pline dit au sujet des tables d^Hipparque : Post hos utriusque sideris cursum in sexcentos annos prœcinuit Hipparchus , menses gentium diesque et horas ac situs locorum et visus populçrum complexus f œuo teste, haud alio modo quani^consiliorutn naturœ particeps. Il y a là -dedans beaucoup d^emphase , majft il y a aussi une ignorance complète de la chose.

moyen de l'astrolabe et d'autres instrumens. Nous pourrions rappeler encore d'autres titres d'Hipparque à la reconnaissance des astronomes , des mathématiciens et des géographes; mais nous aimons mieux laisser parler Delambre ; il dit (vol. I, pag. i85) : a Quand on réunit tout ce qu'il a in- « venté ou perfectionné, et qu'on songe au nombre (( de ses ouvrages, à la quantité de calculs qu'ils a supposent, on trouve dans Hipparque un des « hommes les plus étonnans de l'antiquité , et le « plus grand de tous dans les sciences qui ne sont ce pas purement spéculatives et qui demandent « qu'aux connaissances géométriques on réunisse (( des connaissances de faits particuliers et de a phénomènes dont l'observation exige beaucoup « d'assiduité et des instrumens perfectionnés. La « constance et l'assiduité ne dépendent que de « l'homme , mais les instrumens perfectionnés ne « peuvent être l'ouvrage que d'un long temps et « des efforts continués de beaucoup d'hommes « réunis. ^* Puis il ajoute encore à la louange d'Hiparque , qu'après lui la science demeura trois cents ans stationnaire. Aussi nous arrêterons -nous à cet auteur, pour ce que nous avions à dire de la civilisation dont Alexandrie fut le centre et le foyer Si notre but était d'écrire l'histoire des sciences mathématiques , il ne nous serait pas permis de garder le silence sur Théodose ni sur Cléomède , qui ont

écrit et enseigné à Alexandrie avant le siècle d'Auguste , et par conséquent antérieurement à Finstant où la domination romaine s'étendit sur l'Egypte > mais leurs travaux n'ayant point changé l'état de la science ni son application aux besoins de la vie et aux arts industriels , nous terminerons ce tableau sans nous en occuper.