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PftÉHïEti PROBLÈME. — Étant donnée ta portée <Fun ' canal j ta pehte et la hauteur de Veau qui doit y être con^ tenues déterminer ta targeur uniforme à donner à m section. — Ce problème est des plus intéressants, et se présente très^fréquemoient dans la pratique, en ce qui concerne l'ouverture de toutes les espèces de canaux ; et dans celte toieoil ne peut mârchet* au hasard, sans s'exposer à des erreurs très*^r&greltable8, par i^adoption soit d'tiûe largeur trop grande, entraînant ett pure perte dies dépenses toujours élevées, soît d^une largeur ibsuffisante, qui aurait Tittconvénient plus grand encore de constituer un ouvrage incapable de remplir sa destination.

Voici un cas de cette tâspèce qui s'est présenté dans roavertunê des canaux d'écoulement des Marais Pooiins : Yolame d'eau à débiter par seconde, 7",Q68; pente par kilomètre, O'^JO, ou par mètre, 0",0001 ; hauteur maximum de Teau dans le canal d'écoulement» pour se trouver en contre^bas du niveau des terres à dessécher, 1",787.

Soit Q la (x>rtée d'eau, cos ^ l'expression de la pente, et ^ la hauteur ou profondeur, qui sont les données du problème, et x la largeur du canal qui en est t'întonnue. On aura pour le rapport de la

àx section au périmètre ï) =^ , èl pour la Vitesse

mbymne « ss= ^. & {'on sobetkiw t9ê «xpnss-

300 TEÀCt n tTABLUSnSIfT DB5 CARAUl.

sioDS dans la formale du mouvement uniforme D cos <f = 0,00717 ^+ 0,000024 ii, et si Ton assigne leurs valeurs numériques aux quantités connues Q = 7,968; cos 9 = 0,0001, h = 1-,787, on aura, pour déterminer x^ Téqualion numérique du 3* degré

de laquelle on déduit, par approximation, la largeur cherchée qui est x = 8"',1 0.

On peut arriver au même but, avec plus de facilité, au moyen de la table; car, au lieu d'employer Téquation du 3* degré qui précède, où peut se servir également de celle-ci :

(^) •^-ÛW = '• Si dans cette dernière ou introduit, d'après une règle connue, deux valeurs différentes de D, comme on connaît cos f , la table susdite donnera de suite des valeurs correspondantes de ti, pour chacune desquelles on cherchera à satisfaire à Téqualion précédente; et en rectifiant Terreur de proche en proche, on arrivera bientôt à la véritable expression du rapport dont il s'agit, et par suite à la valeur de x^ qui

est, d*après les formules ci-^dessus, x = t— ^ .

Ainsi, par exemple, dans l'espèce qui nousoccupe, si l'on fait successivement D= 1 etD = 1,5, on a pour les valeurs correspondantes de D cos 9, en dix-

POftMOLlS USOBLLES. 30 i

millionièmes de mètre, 1 .000 et 1.500; d*après quoi la table donoe les deux valeurs suivantes : u= 0,49, et tic=0,61. Ces deux systèmes de données, introduits dans le premier membre de Téquation (E) qui doit être égal à zéro, donnent :

ce qui prouve que la valeur de D est bien effectivement comprise entre les limites 1 et 1 ,5. Si, d'après la même méthode, on substitue d'autres valeurs plus rapprochées, on arrive promptement à la véritable expression qui est D = 1 ,24, à laquelle correspond, comme d'après la formule (D), â;= 8*^,1 0.

Deuxième problèice. — Étant données les sections et tes pentes de deux rivières, trouver C exhaussement de niveau qtiéprouvera l'une d^elles en recevant Cautre comme affluent. — Pendant longtemps on a cherché la solution de ce problème, en Italie; et il a donné lieu, entre les hydrauliciens de ce pays, à de trèsvives discussions. Il s'agissait principalement* de savoir quel exhaussement prendrait le niveau du bras principal du Pô, qui coule au nord de Ferrare, par rimmission du Reno, torrent du Bolognais, envisagés l'un et l'autre on temps de crue.

Selon les mesures relatées par Manfredi, la largeur du Reno est de 52'",74, et la hauleur de feau de 4", 17. La largeur du Pô à Lagoscuro est de 288",37, et sa hauteur en grandes eaux est de 1 1*,38. D'après

503 TEÀGÉ BT ÉTi9M|aiWIT ItfS CANAUX.

Ie9 pQDtea mesar^a clana diverti Qp4reUoQs, on «i pour le Reno, co8 f =: 0,0002i58| et poor to P6, cos <p= 0,0000996.

A la rigueur, il faudrait mesurer exactement le pé* rimètre des sections pour en déduire le rappQrtD; mais comme dans les fleuves ou rivières d^une grande largeqr le périmètre mouillé est à très-peu près ^al à la largeur, plus le double de la profondeur, on peut considérer ici les périmètres copame ét^nt pour le Reno de 61^,08, et pour le Pè de d11"»43; de aorte que Ton a pour le Reno D =?= 3,604 , et pour l^ Pô, 0:^10,547, oaenûn:

Pour le Reno D cos ç = 0,0068851

Pour le P6 D eot f = 0,0010»0S.

D*après ces données, on trouve, au moyen de la table précédente, que la vitesse moyenne et les portées correspondantes sont :

Pour le Reno w = l-,52 Q= 334"%28

Pour le Pô u=z l-,66 Q = 5454«^,10.

Le rapport entre les volumes des hauteurs du Reqo et de celles du Pô, est donc sensiblement de 1 k 16,32; et la portée d'eau du Pô, accrue de celle du Reno, sera de 5.788",38.

Pour trouver maintenant la hautepr y que représentera cette portée d'eau dans le Ut du Pô, il faut, d'après Yenturoli {Éléments de mécanique^ tome II» art. 329), résoudre l'équation du 3* degré que voici*:

0,00747 ^^ -h 0,000024 Qly = ^f^^-

90UVU» UiDlUli. Vil

Et alors l'équation réduite en nombres avec ces données devient :

d*où l'on tire :

y = ii,83.

Comme la hauteur d^eau primitive du P6 était de 1 1 ",38y on voit que Texhaussement cherché serait de 0-,45.

En France^ pour les calculs relatifs à l'établissement des canaux à eau courante, soit d'irrigation, soit de desséehement, on est dans l'usage de présenter les formules de Prony et Ëytelwein, sous une forme un peu différente de celles qui précèdent.

On les ramène l'une et l'autre à cette forme élémentaire :

(1) Ri = au + bu\

dans laquelle t représente la pente par mètre; R, je rapport de la section au périmètre mouillé ; de manière que l'on a :

u étant la vitesse moyenne de l'écoulement, si l'on désigne par Q le débit par seconde, on a :

(3; û = Stt OU M = -

304 TRACÉ IT ÉTAftLMffilUIfT BBS CAHAII&.

La sectioD S est Taire superficielle du trapèze cor^ respondant ao périmètre mouillé; elle s'exprime en fonction de la hauteur moyenne / et de la hauteur A, de sorte que Ton a S = /A.

Le périmètre mouillé p a lui-même son expression au moyen de ces deux, éléments.

a et 6 sont les coefH^ients numériques ayant les valeurs suivantes :

D'après Prony j J ^ J; JJJJJJ D'après Eytelwcm|; ^ J;

En appliquant ces dernières formules, il faut avoir soin surtout de ne pas arriver à des équations de degrés supérieurs, dont la solution resterait indéterminée.

Mais, en ayant soin de choisir convenablement les inconnues et d'en restreindre le nombre, on évite cet inconvénient.

En outre, il arrive souvent, que sans même être arrivôà des équations d'un degré trop élevé, on trouve de l'avantage à procéder par tâtonnement, en substituant dans l'expression finale, des valeurs successives pour celle des deux quantités qui sert à la détermination de l'autre.

Voici quelques autres exercices des calculs à faire à l'aide de ces formules.

1* Déterminer les dimensions (tun canal principal j dont la portée (feau serait de M mètres cubes par seconde^ à ouvrir dans une terre végétale de consistance moyenne.

FORMUUIS USUBIXIS. 305

D'après cela, on aara les données suivantes :

attenda que cette dernière ne correspond qu'à une vitesse de fond d'environ 0",75, qui est bien en rapport avec cette nature de terrain.

D'après les proportions convenables à établir entre / et /i, on aura :

Appliquant ces données, on a :

i> • A AAAo.o n s 0,000353 . ,^ R» = 0,000353 R = - = -^ — : = 1,36

Si dans la formule (4) on remplace / par sa vag leur T , on obtient : .

Substituant les valeurs de S et de p, on a :

A* — 7,23 A + 9,22 = 0; d'où h = 3625 — 182 = l-,80,

et par suite :

D'où l'on peut déduire pour la largeur au plafond :