DES RE
toujours possible et qu'on peut la réaliser avec une correspondance arbitraire
entre les droites.
Deux surfaces réglées non développables sont toujours applicables du deuxième ordre. — Donnons la particularisation fondamentale aux repères associés à deux surfaces non développables. Les équations de Pfaff imposées par l'application du
premier ordre entrainent :
LA SOU Re AU 2 oo — oi) = fo: 20,]= {00,0 fo,0, 0} 6.
L'application du deuxième ordre exige donc quatre nouvelles équations de Pfaff :
Où — Qi = dy — On = on — Où = Qu — CM NE Puisque nous pouvons choisir à notre guise le premier repère, imposons-lui la première particularisation spéciale.
! Nous aurons alors :
De its ni NO ar le NO —20
3% et ces équations entraïneront :
= Lo (os = w2)| —= COM A0:
Pour réaliser une application du deuxième ordre, nous devons imposer au deuxième repère la première particularisation spéciale. Il suffira ensuite de
satisfaire au système de Pfafr :
Qi; — O GE UE OS Ge système qui fournit la correspondance de droites n’entraîne qu'une équa-
tion quadratique :
[oO — 0 ;
cette équation quadratique n'est d’ailleurs pas une conséquence des restrictions imposées aux repères. Le système de Pfaff formé par les deux équations
A5 = 0 el Q33 — Q,, = 0
est donc en invo'ution et sa solution générale dépend d’une fonction arbitraire d'un argument. On en déduit que deux surfaces D sont toujours applicables du
deuxième ordre avec une correspondance arbitraire.
Généralités sur l'applicabilité du troisième ordre pour deux surfaces D. — On
voit immédiatement que l’applicabilité du troisième ordre peur deux surfaces D
RO
exige quatre équations nouvelles de Pfaff :
Qu = Qu = y = Qy = 0.
to
Donnons au premier repère la première particularisation spéciale : cette même particularisation est imposée au deuxième repère. Puisque l’on doit avoir Op = Wyr, Qu — = On — W et du = Os
deux surfaces D applicables du troisième ordre doivent appartenir au même genre D,, D, ou D:. Rappelons que deux surfaces de genre D; sont égales et par suite peuvent être considérées comme étant applicables d'un ordre quelconque.
Le système de Pfaff qui fournit les surfaces applicables du troisième ordre sur une surface donnée entraine les équations quadratiques suivantes :
si l’on pose
OU = On — 23040, 0, = œiQn — O4 + æQ, 0, = ao — Qu + mob:
Excluons le cas pour lequel les trois coefficients « seraient nuls ; la surface
donnée serait alors une quadrique D,. Nous avons l'identité : Q30> — 403 + æly = O.
Par suite que la quantité | | (a) + Laits soit nulle ou non, on à toujours deux expressions 0 indépendantes ; le système quadratique :
% [o,0,] = [o0,] = [w,] = 0 est donc involutif avec | STE UE
La solution générale du système de Pfaff qui fournit les surfaces applicables du troisième ordre sur une surface D, ou D, dépend donc de deux fonctions arbitraires d’un argument. Puisque les surfaces réglées les plus générales dépendent de trois fonctions arbitraires d’un argument, deux surfaces réglées ne sont pas en
général applicables du troisième ordre.
Applicabililé du 3° ordre sur une surface D,. — Les surfaces D, dépendent de 3 fonctions arbitraires d’un argument. Deux surfaces D, ne sont donc pas en général applicables du 3: ordre.
Donnons-nous une surface D, et cherchons les surfaces applicables du 3e ordre. Imposons au 1° repère la 2° particularisalion spéciale. Le système de
RE ee
Pfaff exigé par l’applicabilité montre que le 2° repère devra subir aussi la 2° par-
ticularisation. Il ne reste alors qu’à satisfaire aux 2 équations O3 — &13 et Qu — vu;
cela exige que la valeur numérique de l’invariant fondamental ? relatif à la droite r soit égale à la valeur numérique de l'invariant fondamental € relatif à la droite R qui correspond à la droite ». Si nous posons
63 —= dp et QE dP et si nous remarquons que vw, et 504, sont nuls, nous obtiendrons :
dP = dp.
La correspondance de droites qui réalise l’applicabilité d’un ordre égal ou supérieur à 3, associe donc des droites dont les paramètres intrinsèques ne diffèrent que par une constante. On peut d’ailleurs annuler cette constante par un choix convenable des paramètres intrinsèques, puisque ceux-ci ne sont définis qu’à une constante additive près.
Il est facile de déduire de ce qui précède qu’une surface D, est toujours déformable du 3° ordre. Supposons par exemple que la surface donnée soit une surface D',, ce qui est le cas général. Imposons au repère associé à cette surface toutes les particularisations projectives ; soient À(p), à,(p) et ip) les trois invariants fondamentaux. Considérons le système d'équations différentielles :
da = [— F(pla + & + asldp; da: =|E{p}a + F'p,a, + à;] dp: das = Hp'ti — F(pja: ss a: }dp ; da, = [Mp)a: — a: + P(p'as +KF pla, dp.
À chaque détermination des deux fonctions F p) et %(p), ces équations différentielles font correspondre une surface dont les trois invariants fondamentaux sont X(p}, F(p) et (bip. Donnons-nous alors une suite continue de déterminations des fonctions F(p) et p) : à partir de la détermination ),{p et ),;/p); nous obtiendrons ainsi une suite continue de surfaces ; la première surface de la suite sera la surface donnée tandis que les autres surfaces de la suite satisferont aux conditions d’applicabilité sur la surface donnée. Celle-ci est done déformable. Donnons-nous deux surfaces D, et cherchons à reconnaître si elles sont
applicables du troisième ordre. Donnons aux repères la deuxième particularisation spéciale. Nous aurons
O3 = AW), et Qi; = AU
Un premier cas particulier serait celui pour lequel à serait identiquement nul: il
ER, Te Ne faudrait alors que À soit nul ; l'identité À = 0 ge de . . . r f . . . .
a d’ailleurs une signification géométrique simple : quand elle est satisfaite la 2 " . ‘rer : .
droite »’ reste fixe et par suite les différentes quadriques surosculatrices contennent une droite fixe. Un autre cas particulier serait celui pour lequel À aurait une valeur constante; il faudrait alors que A ait la même valeur constante. Dans le cas général À aura une valeur variable; il faudra alors que A ait aussi une valeur variable. D'ailleurs on a [dA w13| = O et [dAQ,;] 0 ; si nous posons par suite di = oi et dA = AO, ; la condition que l’on ait
pour chacun des couples de droites correspondantes impose que l’on ait aussi
D'ailleurs l'invariant x et l'invariant dérivé M ne dépendent plus que d’un paramètre (intrinsèque ou non); ils sont donc unis par une relation de la forme
EL AAUNE Pour que la 2° surface LOT AEe soit applicable il faudra que l’on ait , NRA UNE Cette condition nécessaire est d’ailleurs suffisante. Supposons . effet qu’elle soit
remplie et imposons la correspondance définie par
À (pi) = A (Pi); nous aurons
et par suite, puisque MCD) APT:
la condition
sera réalisée.
Remarquons enfin que s’il s’agit de deux surfaces D", l'égalité des uniques invariants fondamentaux à et À entraîne l'égalité des deux surfaces, comme on
le vérifie aisément.
Les N « “y PAS AS
Généralités sur l'applicabilité du 4° ordre pour deux surfaces D. — Gonsidérons deux surfaces D, et supposons que le 1° repère a subi la 2° particularisation spéciale, L'applicabilité du 3° ordre exige, comme nous l'avons vu, quatre équa-
tions nouvelles de Pal” :
Qu = Qu = = dy = 0.
Ces équations de PR entrainent deux équalions quadratiques : OTM = 0 el Loi@i] 0!
L'applicabilité du 4° ordre exigera done deux équations nouvelles de Pfafr :
Oro el (y = 0.
On en déduit immédiatement que deux surfaces D, qui n'appartiennent pas à la même famille D',, D’, ou D"), ne sont jamais applicables du 4° ordre.
D'ailleurs deux surfaces D", applicables du 4° ordre sont à forliori applicables du 3° ordre et par suite, en vertu d'une remarque faite précédemment, sont égales. Aussi ne nous occuperons-nous que de lPapplicabilité du 4° ordre de deux
surfaces D’, ou de deux surfaces D",
Applirabililé du quatrième ordre pour deux surfaces D',.— Donnons-nous une surface D’, el imposons à son repère toutes les particularisations projectives. Le repère associé à une autre surface D’, applicable du quatrième ordre sur la surface donnée devra subir aussi toutes les particularisations projectives. Il suffira alors, pour satisfaire à toutes les conditions exigées par l’applicabilité, de réaliser les trois équations de Pfalr :
On = Qu = An — Qi = 0.
IL est donc nécessaire que les invariants À el X, aient les mêmes valeurs numériques que les invariants À el A;, pour chacun des couples de droites correspondantes (c'est-à-dire pour des valeurs égales des paramètres intrinsèques p et P' convenablement choisis).
IL est facile de déduire de ce qui précède qu'une surface D’, est toujours
déformable du quatrième ordre.
V0 l11# 0 “drp , » , GPTL 1pQ n Lpplicabilité du 4° ordre pour deux surfaces D". — Donnons-nous une surface D°, el imposons à son repère loutes les particularisations projectives. Nous aurons done
bis = el Waits 0,
Le repère associé à une surface D", applicable du 4" ordre sur la surface
AT
donnée devra subir aussi toutes les particularisations projectives. On aura alors Qe = 0, ct 020:
Pour réaliser une application du 4° ordre, il suffit donc de réaliser une applica-
tion du 3° ordre car les deux équations de Pfaff
Os — O el LE A0)
seront satisfaites par un choix convenable des repères,
Deux surfaces D, applicables du 5° ordre sont égales. — Nous avons déjà remarqué que 2 surfaces D”, applicables du 3* ordre étaient égales. Considérons ‘deux surfaces D. L'applicabilité du 4° ordre impose les équations nouvelles de Pfafr :
1200 et O1, — 0.
Ces deux équations entraînent
Li = 6] = 0.
L’applicabilité du 5° ordre exige donc
On peut d’ailleurs supposer que l’expression
Q,: —- Q:s + Vs + Q,,
est nulle. Il en résulte que l'applicabilité du 5° ordre entraîne les seize équations
deux surfaces D', applicables sont donc égales. Le même raisonnement s'applique au cas de deux surfaces D”;
Deux surfaces D, sont loujours applicables du 3° ordre. — Donnons-nous deux surfaces D; et cherchons à réaliser l'application du troisième ordre. Imposons au premier repère la première particularisation spéciale puis une deuxième particularisation spéciale partielle telle que l’on ait
CORRE OL AO 4 Os VO:
Les mêmes particularisations seront imposées au deuxième repère. Par suite du
choix des repères, on aura alors satisfait aux équations quadratiques :
[oi Wie] = O [oi(oo: — 633 w4,)] ct [o1Q:>] = O
oi os — 3 — Q4)| 10:
Pour satisfaire à toutes les conditions imposées par l’applicabilité du troi-
sième ordre, il suffira de choisir la correspondance de droites et les repères de manière à avoir :
Ces trois équations de Pfaff constituent done un système qui fournit la correspondance de droites. Ce système est d’ailleurs complètement intégrale : il
entraine l'équation quadratique
[mio] = 0 mais cette équation est iden tiquement satisfaite puisque l'on a [oiwso] A0) el [wiQ2] — ©.
Il est donc toujours possible de trouver une correspondance de droites qui réalise l'application du troisième ordre. De plus le choix des repères et de la correspondance dépend de trois constantes arbitraires.
Il est intéressant de remarquer que l’on peut d'une infinité de manières choisir le repère associé à une surface D, de manière à salisfaire aux conditions imposées par la particularisation fondamentale et par la première parlicularisation spéciale ainsi qu'aux conditions :
O39 = 3 —Wyo = Di — O1 = 33 — Gi = W3j = O.
On peut même ensuite modifier le repère de manière à changer l'expression w13 en l'expression
Or Ko, K étant une constante arbitraire. (Je ne donnerai pas ma démonstration car elle est un peu longue. Pour obtenir un repère convenable, je suis conduit à chercher une solution particulière d'une équation de Ricatti et à effectuer une quadrature).
Choisissons alors les repères associés à deux surfaces D’ données, de la manière qui vient d’être expliquée. Pour réaliser une application du troisième ordre, il suffira d'adopter une correspondance de droites qui satisfera à la condition
Qs = O3 ou, ce qui revient au même, à la condition Q5 = Koss
(il suffit dans ce dernier cas de modifier ensuite le premier repère).
Adoptons des paramètres de position tels que l’on ait
CIRE dp et Q,; — dP
RG
On réalisera une correspondance donnant l'application du troisième ordre en s imposant l’une quelconque des relations :
k et h étant des constantes arbitraires.
Généralités sur l'applicabilité du quatrième ordre pour deux surfaces D,. — Considérons deux surfaces D,. Donnons au premier repère les deux premières particularisations spéciales. Nous avons vu que l'applicabilité du troisième ordre imposait quatre équations nouvelles de Pfaft :
ces équations entraînent deux équations quadratiques :
[or ER O et [oiQss — 0:;] 0!
L'applicabilité du quatrième ordre exige donc deux équations nouvelles de Pfaft :
2 = O el Os — 0, = o.
Les deux premières particularisations spéciales sont imposées au deuxième repère. Posons alors &p — how, et Os — H,9; Si h, est nul, H, devra être nul. Il en résulte qu’une surface D’, n'est jamais applicable du quatrième ordre sur une surface D".
Nous allons étudier l'applicabilité de deux surfaces D': puis nous démon-
trerons que deux surfaces D’; applicables sont égales. é Applicabililé du 4° ordre pour deux surfaces D',. — Considérons deux sur-
faces D’,. [mposons à la 1° surface un repère qui a subi toutes les particulari-
sations projectives. Si L'on veut appliquer la 2e surface sur la 1e, on devra faire subir à son repère toutes les particularisations projectives. Les deux équations de Pfaff
OU et O0;
sont alors les seules qu'il suffit de satisfaire pour réaliser une application du 4° ordre. Puisque l’on a
où = Voys et DRAC O NS
il en résulte que sur deux droites correspondantes les invariants X' et A” doivent avoir même valeur numérique.
L'étude de lapplicabilité du 4e ordre de deux surfaces D’, s’effectuerait d’une
manière analogue à celle de l’applicabilité du 3° ordre de deux surfaces D,. On
SEAT nes
verrait qu'en général deux surfaces D', ne sont pas applicables du 4° ordre mais
qu’une surface D’, est toujours déformable du 4° ordre.
Deux surfaces D", applicables du 4° ordre sont égales. — Considérons deux surfaces D’, Donnons aux deux repères les deux premières particularisations spéciales. Nous aurons
Wjp — O, Qi» = 0, OR foi et 05 = FO; ;
l'équation
sé 93, —= 0
montre que si f est nul, F sera nul aussi, mais les deux surfaces considérées seront alors égales puisqu'il s'agira de deux surfaces de Cayley.
Supposons donc que les deux surfaces soient des surfaces D”; proprement dites. Imposons à la 1 surface le repère défini au chapitre précédent. Nous aurons en particulier
Woi — O0.
Toutes les expressions ;; sont nulles sauf 4. Donc ©: n’est pas nul. Mais une surface D’, admet un groupe projectif de déplacements qui permet d'annuler
w. La 2° surface est donc égale à une surface pour laquelle on aurait en outre
 vec cette nouvelle surface on aurait
De os
Les deux surfaces applicables du 4° ordre sont dont égales puisque toutes les
expressions @,, doivent pouvoir être annulées.
Deux surfaces D; applicables du 5° ordré sont égales, — Deux surfaces D, applicables du 5° ordre sont 4 fortiori applicables du 4° ordre et par suite elles sont égales. Considérons alors deux surfaces D’, applicables du 5° ordre. Les équations nouvelles de Pfaff imposées par l’applicabilité du 1° ordre entraînent
l'équation quadratique
[oiQo1] RON
L'applicabilité du 5° ordre exige donc la nouveile équation de Pfaff
Il en résulte que les deux surfaces D’ sont égales.
