CHAPITRE VI

Propriétés projectives des Congruences.

Nappes focales d'une congruence V. — Les congruences V possèdent deux foyers distincts sur la génératrice r. Chacun des deux foyers engendre une « nappe focale » à une ou deux dimensions. La particularisation fondamentale

du repère donne Wo —= W, = O; ê

les déplacements d, satisfont à CRE (O) ou Aer 10:

On en déduit que les deux foyers sont & et a et que les plans focaux correspondants sont respectivement [da,a;] [a,;a2a, |.

Le premier plan focal est tangent à la deuxième nappe focale tandis que le deuxième plan focal est tangent à la première nappe focale.

Classificalion des congruences V. Première marlicularisalion spéciale du repère. — Considérons une congruence V. Après la particularisation fondamentale du repère nous sommes conduits à poser

Du, = UWi + VU, Di = — Vo, + WU, Wu = TAON + V'ws, Dyg = — V'oi + W'uws.

On peut toujours annuler les coefficients w et v' mais chacune des 4 équations

DEN, TON = où ANS

a une signification invariante; d’ailleurs chacun des coefficients u,u', w,w' peut subir une dilatation; les 4 dilatations ne sont assujetties qu'à laisser invariant le rapport À des deux quantités u.w ww. Nous devons donc distinguer différents genres de congruences V. On déduit des valeurs de da et de d{a,aa, | que la position du premier foyer dépend de 1 ou 2 paramètres suivant que w est nul ou non et que la position du deuxième plan focal dépend de 1 ou 2 paramètres suivant que « est nul ou non. Si & et w sont nuls à la fois la première nappe focale N, se réduit à une droite R,

» Le

Dans le cas général aucun des coefficients u,w,u',w, ne sera nul et l’on pourra se ramener à