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on aura alors À = w';
les deux nappes focales seront des surfaces non développables. Les différents cas particuliers se distinguent par la nature de chacune des deux nappes focales (surface non développable, surface développable, courbe ou droite); dans chaque cas particulier la première particularisation spéciale consistera à égaler à l'unité ceux des coefficients u,w,u',w' qui ne sont pas nuls. [Il n'est pas nécessaire d'étudier tous les neuf càs particuliers possibles si l’on tient compte de celte remarque qu'une transformation par polaires réciproques change une nappe focale « courbe » en une surface développable. Les congruences V les plus singulières sont celles pour lesquelles les 4 coefficients u,w,u’.w' sont nuls: ce sont les congruences linéaires non spéciales.
Propriélés des Congruences V générales. — Considérons une congruence à deux surfaces focales distinctes et non développables. Imposons au repère la première particularisation spéciale. Nous aurons :
Dj = y = O0 y = Ou = M, y 0%; 0 — Jo].
Portons d’abord notre attention sur les déplacements d; ils satisfont à l'une des deux équations CRE) OM OS D'ailleurs chacune de ces deux équations est complètement intégrable; un
choix convenable des paramètres p1 et p, permettra d’avoir : w, = gidpi w3 = 20e.
Les déplacements d, peuvent s'associer de manière à engendrer des développables.
Grâce au choix des paramètres p les deux familles de développables sont
De
fournies respectivement par , pi (te Pr = Cte ; aussi dirons-nous que la congruence a été « rapportée à ses développables ». Occupons-nous des lignes asymptotiques des nappes focales N, et N;. Les directions asymptotiques sont fournies respectivement par : [aaas d'a] = 0 * [uæa:d'&] = 0.
Les lignes asymptotiques de N: satisfont donc à l'une des deux équations différentielles O4 = lo, y = — lo tandis que les lignes asymptotiques de N, satisfont à oi = os ou W, = — JÀw3.
‘ Propriétés des congruences V dont les deux nappes focales sont des surfaces développabtes. — Considérons une congruence à deux surfaces focales distinctes et développables. Imposons au repère la première particularisation spéciale. Nous aurons.
Gi, = Dog — Of Wg, — is —O, Wie = O3; Way — OO &s = [oseo; | = O0;
Us == [ouw] — 107 Les déplacements d, sont fournis par = O et w3 — 0; Si ü, — ©
la droite r’, reste fixe tandis que si 6; —0 la droite 7», reste fixe. Les deux nappes focales contiennent donc respectivement les droites r, r’,. D'ailleurs les développables de la congruence sont aplaties sur
des plans : dans un déplacement d, pour lequel ® — O
le premier plan focal reste fixe tandis que dans un déplacement d, pour lequel W3 = O
le deuxième plan focal reste fixe.
On peut donc engendrer de deux manières différentes une telle congruence
par les tangentes à une famille de sections planes d'une surface développable.
Choix projectif du repère associé à une congruence V générale. — Après la première particularisation spéciale du repère associé à une congruence V géné-
rale on doit poser :
633 — 041 — ho, + Rio pe — Goo = Kio + Kw.
li est aisé de voir qu’on achèvera de déterminer le repère par une deuxième
particularisation spéciale qui consistera à annuler À et k; on posera donc ;
O3 — &y = io Wpy —— Woo — ou),
en désignant par X, et À deux invariants fondamentaux de la variété. D'ailleurs on aura :
w' — low] w'3 == — h)fosw;|.
Classifivalion des congruences U en trois genres Uo, Ur, U,. — Considérons une congruence à nappes focales confondues. Imposons au repère la particulari-
sation fondamentale. Nous devons poser :
PER OR e NO on rm AE CR pete Dem E ET = VU H Yo Dos Æ Op = Ya + Yau2- Nous pourrons toujours annuler y et y; mais les valeurs de ©}, et à; nous obligent à distinguer trois genres de congruences U : 1° les congruences U, pour lesquelles x n'est pas nul; 2° les congruences U; pour lesquelles y, est nul tandis que +: n’est pas nul ; 3° les congruences U: pour lesquelles y: et y, sont nuls.
De la valeur de da, on déduit que la nappe focale double d’une congruence U, est une surface tandis que la nappe focale double d'une congruence U; ou U,
est une courbe.
Propriélés des congruences Us. — La première particularisation spéciale du repère associé à une congruence Ü, consistera à s'imposer les trois équations :
W34 — Us GENE ONE 0 nt 0 MN TON RO
Les déplacements d, sont fournis par
le foyer a, se meut alors sur une courbe qui admet r pour tangente et [aaa:] pour plan osculateur. Mais ce plan est tangent à la surface focale en a, ; il en résulte que dans un déplacement d,, le point a, décrit une ligne asymptotique de de la surface focale.
Les congruences U, peuvent donc être engendrées par les tangentes aux asymptotiques d’une famille, sur une surface. Cette propriété et sa réciproque on!
d’ailleurs été démontrées par M. Kœnigs.
