CHAPITRE X

Déformation projective des complexes.

Généralilés sur lapplicabilité du premier ordre pour deux complexes non spéciaux. — Le système de Pfaff qui fournit les couples de complexes non spéciaux applicables du premier ordre est:

(1) we +w, = 0; Ps Qu = 0 =0,,. 06.

Ce système de Pfaff entraine un système non involutif de cinq équations quadratiques extérieures. On peut d’ailleurs profiter de l'indétermination laissée

aux deux repères en prolongeant le système (1) par les quatre équations de Pfafr :

(2) DO 0 0 mOi due Q 0,

Le système de Pfaff formé par les neuf équations (1) et (2) entraîne six équations quadratiques extérieures :

Low] + Low] + [ons] = 0; lu] qe [un — Qi] ae [uso] 70; Co Qi] ES (don 0] =$ [uso] —IO0Ë (3) | Loos] —[o,9,)+al8:0:]+ [loin [ou] = 0; Pod son r20,0. ol clos) ele. ou 0:

1 — [on Qi] + 2[uD:| + 2 [02 Qu — Ode [eu] — (0; —Q5]—=0.

. Le système quadratique (3) est involutif. Par un élément linéaire intégral arbitraire à deux dimensions 6, il passe en effet comme nous allons le démontrer un élément linéaire intégral 6,. Nous pouvons supposer que l'élément arbitraire & est défini par deux éléments linéaires intégraux qui satisfont respectivement à :

W> — 03 — O et bre RE IO

Céla résulte de cette remarque que par un changement du premier repère les trois expressions w, w: w3, considérées comme les coordonnées homogènes d’un point M dans un plan Q, subissent la transformation projective qui laisse fixe la conique F; on peut donc amener une droite quelconque du plan Q (image d’un élément &;) en coïncidence avec la droite qui joint les deux points situés sur E et de coordonnées respectives %1, 0, o et 0, Oo, wa. :

Considérons alors les deux éléments linéaires intégraux (a) et (b) pour lesquels

les expressions :

61, 2, 63, mi, Mr, M3, On, Qi Op, Qu, Qu, Os — 9, 0»

sont respectivement proportionnelles à :

104110 us Or en ea LE eue CONS EN PAT Re 0 RO le POUPEE Exprimons que les éléments linéaires (a) et (b, sont en involution et qu'un élément linéaire intégral (w) est en involution avec (a) et avec (b). Nous obtiendrons ainsi des équations qui traduisent ce fait que l'élément 8, à deux dimensions défini par (a) et {b) et que l'élément &; à trois dimensions défini par (a, (b} et (w) sont tous deux intégraux. Ces équations montrent que l’on peut exprimer

linéairement en w;, w, w, les neuf expressions :

Dis Do, Ms Oo, Qi — Qu, Qu, Qi, Qe —- Qu, Qu.

Par suite ces équations définissent un seul élément & qui contient l’élément 6.

En employant les notations du Mémoire de M. Cartan sur l'intégration des systèmes d'équations aux différentielles totales on voit ainsi que le nombre entier r, est nul, ce qui exige que le nombre entier s3 soit aussi nul.

La solution générale du système (1), (2), qui fournit les couples de complexes non spéciaux applicables ne dépend donc certainement pas de fonctions arbitraires à plus de deux arguments. Puisqu’un complexe non spécial, arbitraire, dépend d’une fonction arbitraire à trois arguments, nous devons en conclure qu'en général deux complexes non spéciaux ne sont pas applicables et que sur un complexe non spécial donné arbitrairement on ne peut en général appliquer d’autres complexes. Les complexes non spéciaux sont par suite en général indeformables.

Pour connaître le degré de généralité de la solution du système (1), (2), il faut chercher la valeur de l’entier »,. Il est facile de vérifier que par un élément linéaire intégral du premier ordre &, il passe une infinité d'éléments 6; dépendant de quatre paramètres ; par suile 7, est égal à 4 et s; est égal à 3. La solu-

tion générale du système de Pfaff (1) (2), qui fournit les couples de complexes

applicables ainsi que la correspondance de droites, dépend donc detrois fonctions

arbitraires de deux arguments.

Expressions de Pfaff qui sont égales sur deux complexes non spéciaux applicables. — Considérons deux complexes non spéciaux applicables. Les équations (x) et (2) du paragraphe précédent expriment que les huit expressions de Pfaff

43, D Oyes Dogs Osez 33 — 64, y — Op, Us, + op, Gis + Wjo sont égales aux expressions correspondantes du deuxième complexe.

Posons pour abréger en supposant que le premier repère a subi la particularisation fondamentale :

DES. NOM OT ONE RO RAI 20 bb ab 30 0h ab; 26 — bb —= db.

En vertu des équations (3) du paragraphe précédent, les quatre expressions

quadratiques :

Posons alors :

291 — 2031 SE Y (7 Cf Dow: + d'os Ds = (VW — w, u) — Dow, — (dr — D'o)oa = (io 293 = 204 + doi — 2060: + os.

D’après ce qui précède, les quatre expressions quadratiques

Loup] + [osge] + [ous], — foip:] + 2fusn,|, [op] — [os], — 2 6391] + [wsv)] doivent être égales aux expressions correspondantes du deuxième complexe.

Cela ne peut d'ailleurs être réalisé que si les trois expressions de Pfaff

2, , », Sont égales aux expressions correspondantes du deuxième complexe.

Remarque sur le choix du deuxième repère. — Si deux complexes sont appli-

cables on peut réaliser les équations de Pfaff.

OL = Qi Ou On — Qu du = Qs + Do — Os — dy

En considérant les équations quadratiques entraînées, on arrive à cette con-

clusion que le second repère peut encore être modifié sans nuire aux conditions

d’applicabilité. Pour cette modification du repère les deux expressions égales ES et Eu

ne sont pas nulles et le complexe linéaire qui joue le rôle de 1, est changé. On peut donc supposer que le deuxième repère a été choisi de manière que l’on ait un complexe linéaire tangent déterminé pour jouer le rôle de T.

Appliquons cette remarque à l'étude de l'applicabilité d’un complexe linéaire non spécial sur un autre complexe. Nous adopterons le complexe linéaire étudié comme complexe F;. Dans ces conditions la forme F, sera fixe, ce qui entraîne les équations de Pfaff :

Déformation des complexes enveloppés par un complexe linéaire dépendant d'un paramètre. — M. Cartan a démontré que dans un espace conforme « les hypersurfaces enveloppes d’une familled’hypersphères dépendantd’un paramètre admettent une représentation conforme sur l'hypersphère ». Si on applique ce théorème à l’espace conforme à quatre dimensions on trouve par transposition dans l’espace réglé que les complexes enveloppes d'une famille de complexes linéaires dépendant d'un paramètre sont applicables sur un complexe linéaire.

Faisons la démonstration directe de l’applicabilité d’un complexe linéaire sur un complexe K.

Donnons au repère associé à un complexe K la première particularisation spéciale et supposons le repère complètement choisi. Les paramètres qui fixent la position du repère associé à un complexe linéaire supposé applicable devront satisfaire aux équations de Pfafr :

Ces équations de Pfaff n’entrainent que quatre équations quadratiques exté-

rieures qui exigent pour être satisfaites que l’on ait trois nouvelles équations de Piatt;

Qs1 — O9 — 0,1 = Q,, —+ O,

Ces dernières équations n'entrainent que l'équation quadratique [0] = 0.

Posons donc : 0, = hu».

Cette équation nouvelle de Pfaff entraîne

(1) 2h[ ot TS. 633) ] + [oyso, | Fe [2dhe,|.

N : DAC 3 . x rar Cas

Nous pouvons d’ailleurs supposer que le premier repère a été choisi de manière que l’on a :

Oo — O et DL O:

Gil suffit pour cela de profiter de l’indétermination laissée au repère après la première particularisation spéciale).

L'équation (1) devient

| ho] —= QG.

D'ailleurs w, est une différentielle totale exacte, car son covariant est nul. EH

suffira pour réaliser l’application d'adopter : h — f(ps) si p, est choisi de façon que sa différentielle soit égale à «2. On peut ainsi réaliser d’une infinité de manières, l'application d’un com-

plexe K sur un complexe linéaire, puisque la fonction f est arbitraire.

Les complexes G applicables sur un complexe linéaire. — Donnons au repère associé à un complexe G la première particularisation spéciale. Supposons qu'un complexe linéaire non spécial soit applicable sur le complexe donné. On peut choisir le deuxième repère de manière à avoir :

U, = I Is —0 — 0,

3 = Dr = = Mu = Qu HO = Qu He = Os — On = Q,, — 0:

Ces équations de Pfaff entraînent quatre équations quadratiques qui exigent que l’on ait :

Au = — w,, 2Q3e — 0, — + », U,

IT Oo.

Dès que le premier repère sera complètement choisi, toutes les expressions

Q;; seront done connues. On aura en effet :

Qui = — 0; Que = —0 ; hQy3 = w— 28 ; hu = — w3— 20. D'ailleurs, on a en particulier l'équation quadratique extérieure : {un + w3) = ©.

On peut donc choisir les paramètres fondamentaux du complexe G applicable de façon à avoir :

W1 + Way = lp.

En cherchant les trois familles de surfaces réglées asymptotiques, on trouve

que les surfaces de deux familles satisfont à l'équation : &y +03 = O0 ou UN O0!

Donc quand un complexe G est applicable sur un complexe linéaire, les

surfaces réglées asymptotiques de deux des trois familles s'assemblent en con-

gruences dépendant d'un paramètre.

Déformation d'un complexe spécial. — Donnons-nous un complexe spécial. Imposons au repère associé la particularisation fondamentale. Le système de

Pfaff qui fournit les complexes spéciaux applicables est :

(1) Qu = 3 = O3 = 0, = 0.

Ce système n’est pas involutif. On peut d’ailleurs profiter de l’indétermina-

tion des repères en prolongeant le système (1) par les deux équations de Pfaff.

(2) Q,) = Q: VOS Le système formé par les équations (1) et (2) entraîne cinq équations quadratiques :

Qu] — [w:Q,;| — O.

| . foie Qu] a: [w:0; |] = Los se O3 | Fe [w,0,, | — 0.

IL est facile de donner au système (3) une forme simple en donnant au premier repère une première particularisation spéciale qui intéresse les deux expres- SIONS w4 €t w,4.

Il s’agit alors d’un complexe spéciai donné à surface non développable comme support. (Dans les cas particuliers où le support est une surface développable, une courbe ou une droite, l'une au moins des deux expressions est nulle). Plaçons-nous dans ce cas général. Les complexes applicables devront, en vertu des équations (2) avoir pour supports des surfaces non développables

et de plus les lignes asymptotiques se correspondent car leurs équations sont : D? — 63? = 0, — Q,? RO

Le système (3), où l’on tient compte des simplifications fournies par (4) est

involutif. Les caractères ont pour valeurs respectives SEEN S = 1, Si=0:

Il en résulte que le système de Pfaff qui fournit les complexes applicables et

la correspondance de droites, admet une solution générale qui dépend d’une fonction arbitraire de deux arguments.

Mais un complexe spécial dont le support est une surface non développable dépend précisément d’une fonction arbitraire de deux arguments. IL est done à prévoir que tous les complexes spéciaux dont les supports sont des surfaces non développables sont applicables sur le complexe donné et que par suite les complexes spéciaux admettent tous une déformation du premier ordre.

Il en est effectivement ainsi. Pour le démontrer, on se donne deux complexes spéciaux dont les supports sont des surfaces non développables; on choisit les deux repères et on considère le système de Pfaff qui fournit les correspondances de droites capables de réaliser une application; on constate alors que ce système de Pfaff admet toujours des solutions.