CHAPITRE II
Champ électrique à l’intérieur d’un solénoïde, et courants dans un conducteur électrique coaxial.
Composantes « électrostatique » et « induite » du champ électrique. — Avant d'étudier l’action des courants de haute fréquence sur un gaz placé à l’intérieur d’un solénoïde, il importe de distinguer nettement les deux composantes « électrostatique » et « induite » d’un champ électrique quelconque. On sait qu’à tout état électrique stationnaire correspond, si l’on met à part les f. e. m. appliquées (f. e. m. de polarisation, de contact, etc.) un champ électrique qui dépend d'un potentiel au sens strict du mot, et dont les lignes de forces ouvertes se terminent toujours sur une charge électrique libre. Le champ est dit électrostatique. Si l’état électrique cesse d’être stationnaire, les phénomènes d’induction modifient le champ électrique. Le champ ne dérive plus d’un potentiel ; mais on peut toujours séparer le champ électrique total en deux composantes dont l’une garde toutes les propriétés d’un champ électrostatique (en particulier, elle se calcule comme dans l’état stationnaire d’après la répartition spatiale des charges si les variations de l’état électrique sont assez lentes), et dont l’autre, donnée par les équations de Maxwell, est dite champ d’induction. Le champ d'induction a des lignes de force fermées sur elles-mêmes ; sa circulation le long d’un contour fermé n’est généralement pas nulle.
Considérons maintenant un solénoïde à une seule couche de fil, de longueur /, comprenant N spires de rayon R, de
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pas pet de self L. Nous supposerons tout d’abord que le point milieu de la self est au potentiel du sol, et que É sol est à une distance de la bobine grande par rapport à ses dimensions (). Supposons qu’à un instant déterminé il existe une différence de potentiel V aux bornes de la self, des charges électriques vont se répartir sur les parois du conducteur et créer à l’intérieur du solénoïde un champ « électrostatique ». Si le potentiel V se met à varier jee le temps, assez lentement pour que les durées des PROPRPAHOLE électromagnétiques entre les extrémités de la self soient courtes par rapport aux variations de V, le champ électro-
+ + a C0 MmOME.CMEC NO O (e] g (eo) O (e] (o) ne “ Fig. 7. — Champ électrostatique à l’intérieur d’un solénoïde.
statique suit les variations de V. Mais en même temps va naître un champ d’induction. La somme géométrique des deux champs est le champ électrique proprement dit : force exercée sur une masse électrique unité.
Intensités respectives des deux composantes du champ électrique. — Calculons l'intensité du champ induit dans le
(!) Si c'est un autre point de la bobine qui est au potentiel du sol, nous pourrons revenir au cas précédent en tenant compte du champ électrique existant entre la bobine et le sol quand la bobine est tout entière au potentiel du point milieu. Le champ existant réellement est la somme du champ à l’intérieur de la bobine avec son point milieu au sol, et du champ entre la bobine et le sol, la bobine étant au potentiel du point milieu. Si la bobine est suffisamment loin du sol, ce deuxième champ est négligeable par rapport au premier.
cas ou la bobine est parcourue par un courant alternatif sinusoïdal de pulsation w. Nous supposerons la résistance R de la bobine négligeable devant sa self L; dans ces conditions, la différence de potentiel aux bornes de la self se réduit à la f. 6. m. d’induction sur l’ensemble de la bobine. Faisons l’approximation assez grossière que, au milieu de la bobine, le champ magnétique soit uniforme et d’amplitude H; la f. é. m. d’induction sur une spire a pour amplitude :
e = — HrR°v.
Cette f. é. m. est égale à la différence de potentiel entre deux points correspondants de deux spires consécutives. Le champ électrique d’induction au voisinage de la spire est
alors :
E tr: £ : 2TR ?
tandis que le champ électrostatique entre les deux spires
est :
Le rapport des intensités des deux champs, au voisinage des spires, est égal au rapport de la longueur d’une spire au pas de l’enroulement. Ce rapport est généralement grand. Pour les bobines que j'ai utilisées, p est de l’ordre du centimètre, tandis que le diamètre des spires est compris entre 5 à ro cm., ce qui donne 15 à 30 cm. de circonférence. La composante « électrostatique » du champ électrique est 15 à 30 fois plus grande que la composante due à l'induction.
Si on fait la comparaison des champs pour un point pris à l'intérieur de la bobine, ce rapport est encore plus grand. Si
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la longueur de la bobine est grande par rapport à son diamètre, les lignes de force du champ électrostatique sont parallèles entr’ellés au milieu de la bobine, le champ est uniforme ; son intensité au centre est égale à celle au voisinage des spires. Au contraire, le champ induit en un point est proportionnel à la distance du point à l’axe de la bobine. Le champ induit diminue quand on se rapproche de l’axe de la bobine. Le rapport entre les deux composantes du champ croît donc en faveur de la composante électrostatique quand on se rapproche du centre de la bobine.
Le champ électrique total à l’intérieur d’un solénoïde se réduit donc pratiquement au champ électrostatique. Mais nous allons voir que les courants produits par les variations du champ dans un conducteur placé à l’intérieur du solénoïde sont dus surtout à la composante induite, le champ électrostatique étant compensé par le champ produit par les charges électriques libres qui apparaissent sur la surface du conducteur.
Courants dans un cylindre conducteur placé à l'intérieur d'un solénoïde parcouru par un courant de haute fréquence. — Nous supposerons qu’un cylindre conducteur de conducti-
Fig. 8 — Conducteur à l’intérieur d’un solénoïde,
bilitéy, de rayon r, de longueur / égale à celle du solénoïde, est placé à l’intérieur du solénoïde, les deux axes étant confondus (fig. 8). 11 est commode pour l'étude des courants produits dans le conducteur d'étudier séparément l’action des composantes électrostatique et induite du champ électrique.
Courants dus au’ champ électrostatique. — Le conducteur va se trouver placé dans un champ électrique résultant de la composition du champ électrique appliqué produit par le solénoïde et d’un champ électrique dû aux charges électriques produites par influence sur sa surface. Dans la mesure où ce deuxième champ est faible par rapport au premier, on peut considérer le conducteur comme placé dans un champ électrique uniforme. L'étude se fait alors plus commodément en supposant qu'on ait affaire à un conducteur limité par deux surfaces planes indéfinies placé entre les armatures d’un condensateur plan. Nous étudierons un peu plus loin le cas où le champ d'influence perturbe complètement le champ appliqué.
Conducteur dans un champ électrique uniforme alternatif. — Soit / la longueur du conducteur de conductibilité y, placé
ts: Enr = A Va Vo Va Fig. 9. — Conducteur dans un champ électrique alternatif uniforme.
à une distance «a de chacune des armatures d’un condensateur plan, entre lesquelles on établit une différence de potentiel d'amplitude V et de pulsation w.
La différence de potentiel V entre les deux armatures est la somme des deux différences de potentiel V, entre le con-
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ducteur et les armatures et de la différence de potentiel V; entre les deux parois du conducteur.
V—2V, Ve La différence de potentiel V, produit dans le conducteur un champ :
FREE Vi RATES et un courant de densité :
Je
courant qui fait varier la densité d'électricité s sur la surface du conducteur de :
tandis que la différeuce de potentiel V, est reliée à 5 par la relation :
Va
4Ta ‘
En différentiant la première équation, on trouve finalement : de — — — 8ryae — |
relation qui lie le champ électrique e dans le conducteur aux variations de la différence de potentiel entre les armatures
du condensateur. V étant une fonction sinusoïdale, ne est la
somme de deux composantes en quadrature de grandeur
8rya et lo.
Sr yest grand, le premier terme compte seul, e est égal à : I dV 8rya dt ?
le champ électrique dans le conducteur est en quadrature Vo
, d'autant 8rya
avec le champ appliqué; son amplitude est
plus petite que y est plus grand ;
LS
ILLUMINATION DES GAZ RARÉFIÉS 27 la densité d RER sité de courant / — =—, également en quadrature
avec le champ appliqué, est indépendante de la conductibilité.
St y est petit, le deuxième terme compte seul, on a :
RONA
le champ n’est pas modifié par la présence du conducteur, la densité de courant en phase avec le champ est :
elle est proportionnelle à +.
Dans le domaine intermédiaire, on a :
PE M VE + 64r?y'a?/u° à
La valeur de y pour laquelle les deux composantes de e sont égales est :
er pu lo | ra
prenons un exemple :
D — 2,101 Pro EME
on trouve :
V=—r10 2 OH CRT.
Calcul du courant maximum dû au champ électrostatique dans le cas du solénoïde. — Le courant passant dans le conducteur coaxial au solénoïde dans le cas où 7 est grand peut se calculer assez exactement. Nous supposerons, en première approximation que la différence de potentiel entre le milieu de la bobine et un point à la distance x du milieu, est proportionnelle à x; soit kæ cette différence de potentiel.
La conductibilité du conducteur étant grande, son poten-
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tiel est uniforme ; il existe, au voisinage du conducteur, à la distance x du milieu un champ électrique E d'intensité : ; kx E rem are, : Tor et, par suite, sur la surface du conducteur, une densité super-
ficielle E Ua 4r 4r(R —r)
et sur la surface de la moitié du conducteur une charge totale
ù kr [2 Q = f. arrcdx — = — +
Fig. r0, — Champ électrique entre le conducteur et le solénoïde.
qui s'exprime en fonction de la différence de potentiel V — kl aux bornes de la bobine par :
