PAT

rV4ryo = Q, le facteur ÿ4ryw joue ici un rôle comparable à celui du fac-

teur V2ryo dans le problème plan ; si nous appelons p la

pénétration de Lord Kelvin, les rapports Tete s’écri-

vent iC1 :

Q = Va es LR nr

Le champ magnétique s'écrit alors :

Jo(gV — À) it.

REA OV e .

Le champ électrique se calcule aisément par les équations (2) et s'exprime à l’aide de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1.

On a en effet :

, here)

ce qui donne :

ns VER ÉNNON na

Les fonctions J,(qg\ — à) et — ÿ — : J,(gÿ — à) ont été explicitées et calculées par Lord Kelvin dans son mémoire sur l'effet pelliculaire, il pose :

J(gv — 1) = ber g + à bei q — V — 13 (gv — à) = ber’ q + à beï! qg les fonctions ber g et bei q et leurs dérivées ber' g et bei’ q

étant des fonctions réelles de la variable q dont les développements en séries entières s’écrivent :

ER Du U Ca berg—1 AE tRRoE — 2 6 10 VE ES à A CU RE TE Re TR Un Lt 92 V2 I6S + 2?,42,62,8?. 10?

et par suite :

ber' q = -T M AE UT Er TES bei’ À sé ste + ...

Les expressions de À ete s’écrivent alors :

ber g + à bei g rot

h = A ber Q + x bei Q Pr # o ber’ g +ibeï’ q iwt__Awp , 2 ber'q+ibeiq ;,, TE Ery ber Q +1beQ TT 2 qgbherQ+ibeaQ :

Cas où la pénétration est grande. — q et Q sont alors

petits, les développements en série donnés plus haut permettent d'obtenir des expressions simples de À et de e en fonction des puissances de g et Q.

On trouve :

De +i(E-€)+ :

W=UN 5 SE os Aer gt Fer: QE ; | eivt e=— 0 D:

Indiquons deux valeurs intéressantes de A et de e :

an centre du conducteur q = 0 :

1— 1 DA = er” PSE sur la surface (q = Q) :

Avr 28: iv C— 5 Q e 1 + 3% Cas où la pénétration est petite. — Si la pénétration

est très petite par rapport au rayon, on peut considérer le problème comme plan; si l’on désigne par 4 la distance du - point où l'on calcule le champ à la surface du conducteur, on sait que le champ magnétique est donné par l’ex-

pression €

hk = A é - P cos (ut = à) (p < pénétration),

3/4 FÉLIX ESCLANGON

Jes équations de Maxwell donnent, pour le champ élec-

trique :

— Z CVs $ £ £ JAN URE P [sin (ut — £)— cos (ut —+)|.

Résultats. — Champ électrique à l'intérieur du conducteur. — L'expression générale du champ électrique induit par le champ magnétique A cos wf est :

Awr 2

A 200 (ber'g ber Q + bei’ q bei Q) cos wt—(bei’qber Q — ber’gbeiQ}sinwt ber?Q + be Q ?

expression que nous pouvons écrire :

= Esin (wl — +).

Awr :

ÊTES re (es COS wt — €» Sin wl) see

Nous donnons ci-dessous les valeurs de e,, e,, et E pour diverses valeurs de Q, en différents points du conducteur

1e PAUGNES SEP définis par le rapport Pb== ne ce On trouve les valeurs :

pour Dr OYs 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 CA 0 0,049 0,089 0,106 0,120 0,134 0,120 e2 0 0,191 0,389 0,482 0,579 0,781 0,986 E 0 0,197 0,395 0,494 0,591 0,792 0,992 POUTT OST æ 0 1/6 1/3 1/2 213 B70 0e ENT ei 0 0,08/ 0,17 0,255 0,34 0,37 0,36 (5) > 0 /0;01 0,002 0,044 0,13 0,28 0,50

æ 0,2 0,4 0,6 0,8 I ei 0 0,047 0,0325 0,102 0,200 0,241 CA 0 0,032 — 0,051 — 0,054 0,035 0,282

Pour Q = 1, le champ électrique est resté très voisin de ce qu'il est dans un isolant, pour Q — 3 il est sensiblement déformé tant en grandeur que dans ses variations, pour Q — 5 il commence déjà à se rapprocher de ce qu'il serait dans un conducteur plan.

Champ électrique sur la paroï du conducteur. — HN est donné par l'expression :

Awr 2 ber”OQ+ibei Q 2 © berQ+ibeiQ

tot

soit en prenant la partie réelle :

Awr 2 SC)

(ber’ Q ber Q + bei’ Q bei Q) cos w{ —{(ber Q bei’ Q — bei Q ber’Q}sinw/ ber° Q + be Q

que nous pouvons écrire :

Awr Fi

+ (e, cos wf — e, sin wf);

l'amplitude du champ est :

È — Awr 2 ber?QO+bei?Q 7 2 Q be”OQ+berQ ?

pour une faible pénétration, le champ électrique est :

PORN (cos wf — sin wf),

ce qui donne une amplitude :

RE Awr 2 ART AO

+ A LAN re 4 V2 ;

Si au contraire la pénétration est grande, on trouve :

cos wl — sin wl

36 FÉLIX ESCLANGON

Ces expressions donnent pour Q = o et Q infini, les limites des grandeurs e,, e, et E sur les parois du conducteur. La limite commune pour Q infini des quantités e, ete,

Vo RAS 2 est où et la limite dé FE: rs J'ai calculé les valeurs de e,,e, et E pour quelques valeurs

de Q. Ces résultats sont indiqués dans le tableau suivant :

Q 0 0,9 1 FES 2 2,9 TER TIR SC Ve 0 0,0311 0,123 0,246 0,345 0,377 COUT ENS TRS EE I 1,000 0,984 0,909 0,774 0,612 LAS DM JS Ur 1 1,000 0,992 0,941 0,863 0,727

Q 3 4 4,5 5 6e ÉTÉ EE: De 0,360 0,292 0,264 0,242 0,207 CRE NT 0,499 0,356 0,316 0,285 0,237 MERE AM PRE 0,615 0,461 0,411 0,373 0,315 Ve Q 0,472 0,354 0,314 0,283 0,23 . 0,50 0,40 0,333

On voit que pour Q —6, les grandeurs e,,e,et E, ne sont plus très loin de leur limite. Ainsi, on peut, si l'on veut étudier seulement l’ordre de grandeur d'un phénomène où intervient le champ électrique, considérer le corps comme isolant tant que la pénétration est égale à une fois et demie le rayon (Q voisin de 1), et même si la pénétration est égale au rayon ; au contraire, st la pénétration est de 4 fois le rayon, on approche des conditions où les résultats du problème plan sont applicables.

Puissance dépensée par unité de longueur du conducteur. — J. 0. Strutt calcule la puissance dépensée par unité de longueur du conducteur en prenant le flux du vecteur de Poynting à travers la paroi du conducteur, On trouve ainsi, comme valeur moyenne :

__ Mwr 1 ber Qber Q + bei O beï Q .

F0 ST be QE ber QU EUR

si la pénétration est faible, W devient :

W A2wr? I A?r ro)

k 0 Va 8 2TY

et si la pénétration est grande :

ANR RNCS arr YAño2rR

g : re S L'expression :

ee ber Q ber’ Q + bei Q berQ ne be Q+hbeeQ

Fig. 11. — Puissance dépensée dans le conducteur.

go =/A®.

: . É I * n’est autre que 2 e,. Elle a pour limites A LENS Q croît

indéfiniment AE quand Q tend vers o. W s'écrit alors : Awr? G W == 4 ro .

: ‘ Er Donnons ci-dessous quelques valeurs de G et de F pour

différentes valeurs de Q.

mn 4,5 5 6. 8 10 15 0,570 0,584 0,594 0,604 0,621 0,643 0,657 0,665

38 FÉLIX ESCLANGON

pour Q — 15 nous sommes encore assez loin de la valeur