INTRODUCTION

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La méthode et les procédés de calcul formant l’objet de la présente instruction, ont déjà été indiqués dans ma 1 Mécanique analytique { année i8i5), et dans un article que j’ai fourni au Bulletin des Sciences mathématiques, dirigé par M. le baron de Férussac (avril i8a5). Le premier de ces ouvrages renferme (tome II, page 4/2 et suîv.) une solution analytique du problème de la corde vibrante, à la suite de laquelle j’ai placé un chapitre fort détaillé sur X acoustique musicale , dont une petite partie est reproduite dans le Bulletin Férussac. J’y insiste sur la nécessité d’appliquer au calcul des intervalles musicaux des procédés analogues à la nature des quantités soumises au calcul , et réunissant, à la simplicité et à la commodité des opérations, toute l’exactitude désirable; ces procédés peuvent aisément être employés par les personnes qui possèdent les éléments de l’arithmétique (i) et leur servir

T) Supposant à mes lecteurs la connaissance des quatre premières règles de l’arithmétique appliquées aux nombres entiers, et au moins l’intelligence de la notation des fractions ordinaires et des fractions décimales, je me bornerai à donner l’interprétation de quelques signes qui abrègent l’écriture. Ces signes se rapportent à des opérations de calcul : mais il n est pas nécessaire, pour se mettre en état de lire la présente instruction, de savoir faire ces opérations; il suffit seulement de comprendre le système de notation qui les indique.

à transformer en expressions adaptées aux convenances et aux habitudes musicales d’autres expressions , qui ne doivent

Le signe + veut dire plus ou ajouté a; ex. 4+3, lisez 4 plus 3 ou 4 ajouté a 3.

Le signe — veut dire moins ou retranché de; ex. : 12 — 7, lisez 12 moins 7 ou 7 retranché de 12.

Le signe X (qu’il ne faut pas confondre avec +) signifie multiplié par; ex. 8x6, lisez 8 multiplié par 6.

Lorsque deux nombres sont placés l’un au-dessus de l’autre et séparés

par un trait horizontal, comme — , cette notation indique la division de

i5 par 8 ou le nombre de fois que i5 contient 8, ou enfin le rapport par quotient de id à 8. J’ai supposé que le lecteur connaissait cette notation; mais j’ajouterai, ou je rappellerai, qu’on exprime le même rapport en écri-

vant i5 : 8, au lieu de

Le signe = veut dire égal h; ex. 7+2=14 — 5. lisez 7 plus 2 est égal à i4 moins 5.

Les signes > et < désignent respectivement plus grand que, plus pc-

, lisez 100 plus grand que 1188 divisé par-

tit que; ex. : zoo >

12; 1 00 < , lisez 100 plus petit que iZiq divisé par 12.

Le produit d’un nombre par lui-même donne ce qu’on appelle son carré , ou sa 2e puissance ; le produit d’un nombre par son carré ou sa 2 * puissance , donne son cube ou sa 3e puissance ; le produit d’un nombre par sa Z6 puissance donne sa é\ puissance ; le produit d’un nombre par sa 4e puissance donne sa 5e puissance, et ainsi de suite.

Exemples : 2 X 2 = 4 \ Ie nombre 4 est la 2e puissance ou le carré de 2 ; ce qu’on désigne par la notation 4 = 2’;2X 2 X 2,ou2X 2 1 = 8 ; le nombre 8 est la 3e puissance ou le cube de 2 , ce qu’on désigne par la notation 8= 2 3 ; 2 x 2 x 2 x 2, ou 2 X 2+ifij 16 est la 4e puissance de 2, ce qu’on désigne par la notation i6=24; 2 X 2 X 2 X 2 X 2,

être considérées que comme symboliques, mais qui, cependant , énoncent les phénomènes sonores fournissant les données physiques desquelles on conclut les mesures naturelles et vraies des intervalles. Les opérations de calcul se réduisent à prendre des nombres dans l une ou l’autre des tables i et 2 placées à la suite de l’instruction , et à opérer, sur ces nombres, par addition et soustraction, d’après les règles exposées au § 2 ; le § 3 renferme plusieurs exemples de l’emploi de ces règles.

Cette transformation des nombres symboliques , par lesquels on est dans l’usage de représenter les intervalles musi-

ou 2 X 2* * 3 4 =32; 3a est la 5e puissance de 2 , ce qu’on désigne par la notation 32 = 25, et ainsi de suite.

Les indices 2, 3, 4, 5, etc., placés au haut du chiffre 2, pour désigner sa 2e puissance 2Q , sa 3e puissance 23 , etc., s’appellent des exposants.

Le nombre qui, par les multiplications successives dont on vient de parler, produit un autre nombre, qui est sa puissance d’un certain ordre, s’appelle la racine du nombre produit , racine d’un numéro ou d’un ordre, indiqué par S’exposant de la puissance ; ainsi , dans les exemples précédents, 2 est la racine 2e ou racine carrée du nombre 4 ( ce nombre 4 étant la puissance 2e ou le carré de 2), ce qu’on représente par la no-

tation 2 = 1/4 ; ce meme nombre 2 est la racine cubique de 8 ( 8 étant

la puissance 3e ou le cube de 2 ), ce qu’on représente par 2 = j/s ; il est la

racine 4e de 16, c’est-à-dire qu’on peut écrire 2 — 1/ 1 6 ; on écrirait pareillement 2 = 1/3!, et ainsi de suite. On supprime ordinairement le n° 2 du signe l/- , lorsqu’il s’agit d’une racine carrée; mais c’est le seul cas où cette suppression est admise.

Les signes V~ , l/~, l/, etc., s’appellent des radicaux ; on peut les

remplacer par des exposants fractionnaires, c’est-à-dire qu’au lieu de l/â,

eaux , étant Tunique but que je me suis proposé d’atteindre dans la rédaction de mes trois premiers paragraphes, on n’y trouvera aucune considération , aucune vue systématique sur la composition des diverses échelles musicales; je me suis borné à mettre en évidence, par de nombreux exemples, l'éminente utilité des logarithmes acoustiques pour analyser et discuter une échelle donnée, faire la comparaison de plusieurs échelles, etc. Ainsi ce n’est pas d’après une préférence accordée au tempérament égal sur d’autres répartitions des sons de l’octave que j’ai calculé la table 2 , en prenant, pour unité

1/2, 1/2 , etc., on peut écrire 21 , 23 * , 2*, etc., cette dernière notation

étant la synonymie de la précédente.

Si le nombre, placé sous le radical, est élevé à une puissance , l'exposant de cette puissance remplace le numérateur 1 des exposants fraction-

naires i? 7 > etc. Ainsi l/a3 , l/a5 , etc. , sont représentés par 2 2 , 23, etc.

On généralisera tout ce qui vient d’être dit, en substituant au nombre 2, pris pour exemple, un nombre quelconque.

Lorsqu’on a à opérer sur un nombre déterminé, 011 peut toujours calculer sa puissance d’un ordre quelconque , l'exposant étant supposé être un nombre entier; il n’en est pas de même du calcul des racines , et en général des puissances en exposants fractionnaires ; elles rre peuvent le plus souvent être obtenues que par approximation; il est vrai qu’on a des moyens faciles de pousser une approximation jusqu’à un degré de précision arbitraire; ainsi, par exemple, la racine 12e du nombre 2, qui ne peut pas être assignée exactement, a, pour valeur approchée, à moins d’une demi-unité près de la décimale du i5e ordre,

et on pourrait, sans beaucoup de difficulté, pousser l’approximation jusqu a un ordre quelconque de décimale.

d’intervalle, le demi-ton ou 12e d’octave, ce choix est déterminé par d’autres motifs exposés au § III. Il est cependant bon de faire observer que l’accord des instruments à touches, par tempérament égal , paraissant, maintenant, généralement adopté, un forte-piano peut, avec l’emploi d’une pareille unité, être assimilé à une espèce d’ étalon musical, portant des divisions de nombres entiers ; je parlerai , aux § I et III , d’un appareil acoustique que j’ai imaginé et construit, et qui donne les nombres entiers et fractionnaires.

L’intelligence des trois premiers paragraphes de mon Instruction exige simplement, ainsi que j en ai prévenu , la connaissance des premières règles de l’arithmétique; les IVe et Ve paragraphes sont écrits pour ceux qui possèdent les éléments du calcul algébrique; on y trouve les formules relatives à la construction des tables de logarithmes acoustiques , aux progressions harmoniques , etc.; d’autres formules, déduites de la théorie générale des cordes vibrantes, et appliquées aux divisions des manches d’instruments de musique, à la détermination expérimentale du son fixe, aux tuyaux d’orgue à bouche, etc.; enfin après avoir, à la fin du § III, donné

quelques détails sur la harpe enharmonique du célèbre Sé- /

bastien Erard, dont la perte récente afflige vivement les amis des arts, je termine le § V par une mention de son fortepiano à sept octaves, et de son orgue expressifi, invention admirable, que Grétry signalait comme la découverte de la pierre philosophale en musique.

La théorie physico-mathématique du son a fait, depuis la fin du siècle dernier, de grands progrès, dus à des géomètres et des physiciens d’un très-grand mérite; une exposition raison-

née de l'état actuel de cette théorie et de ses relations avec le système musical ( exposition qui exige l’emploi des méthodes d’analyse transcendante) pourra fournir matière à une suite ou seconde partie du présent écrit.

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