SUR LES MOYENS DE GALCULER

EN PRENANT, POUR UNITÉS OU TERMES DE COMPARAISON, SOIT l’oC- TAVE, SOIT LE DOUZIÈME d’oCTAVE; ET EN SE SERVANT DE TABLES QUI RENDENT CE CALCUL EXTREMEMENT PROMPT ET FACILE.

FORMULES ANALYTIQUES, POUR CALCULER LE LOGARITHME ACOUSTIQUE DÜN NOMBRE DONNÉ, ET RECIPROQUEMENT; PROGRESSIONS HARMONIQUES, AUTRES FORMULES RELATIVES A L ACOUSTIQUE MUSICALE, AVEC DES APPLICATIONS AUX INSTRUMENTS DE MUSIQUE; DETERMINATION DU SON FIXE, ETC.

Inconvénients du mode ordinaire de représentation des inter -

valles musicaux ; avantages de celui qui est présente instruction.

(i) J’ai eu de fréquentes occasions de reconnaître combien les étudiants en musique, et en général , les personnes qui veulent connaître la partie théorique de cet art, sont embarrassés, rebutés par le mode de représentation des intervalles musicaux , généralement employés dans les traités d’harmonie. Les nombres ou rapports de nombres qui s’y trouvent accolés

l’objet de la

ou substitués aux noms des diverses notes des échoJles musicales, leur paraissent tout-à-fait incohérents avec les notions usuelles d’intervalles acquises par les exercices de musique vocale et instrumentale. Les opérations de calcul, les compositions de rapports nécessaires pour comparer les intervalles, analyser, discuter les échelles musicales , sont tout-à-fait hors de leurs goûts et souvent hors de leur portée.

J’ajouterai que ces opérations, parfois longues et fastidieuses, surtout pour ceux qui n’ont pas une certaine habitude du calcul , peuvent donner lieu à des erreurs inaperçues, tant par les auteurs que par les lecteurs des traités de musique. Je citerai, pour exemple, le tableau d’échelle enharmonique de la planche Ldu Dictionnaire de Musique de J.-J. Rousseau, sur lequel se trouve, répétée trois fois, une valeur, ou représentation d’intervalle partiel, incompatible avec l’ensemble des autres intervalles. ( Je reviendrai sur cette échelle dans le § III.)

(2) A ces inconvénients, signalés par le simple raisonnement, s’en réunit un autre bien grave t celui d’avoir un système de représentation des interx ailes absolument en dehors des habitudes musicales acquises par l’organe de l’ouïe; ces habitudes donnent le sentiment de divers intervalles reçus et définis en musique, intervalles susceptibles de nuances désignées par les épithètes majeur, moyen, mineur, superflu, diminué ;e lies sont, à la vérité, insuffisantes pour des appréciations exactes, rigoureuses, mais elles constituent un mode

naturel d’évaluation vraie de s intervalles, évaluation effectuée par des comparaisons de quantités de même espèce; malheureusement on ne tire aucun parti de ces antécédents . et au

lieu de maintenir les mesures de sentiment perfectionnées par les moyens de précision, de rigueur, qui leur manquent, on les remplace par des symboles de mesure, qui non-seulement ne laissent apercevoir aucune analogie , mais semblent même en dissidence avec les quantités mesurées.

Pour donner un exemple propre à mettre en évidence ce que je viens de dire, je supposerai qu’un musicien, simplement exercé à la pratique de son art, entende les sons ut, ut#, ré, tels que les rend un instrument à clavier, accordé suivant le tempérament égal ; il reconnaîtra aussitôt, par le seul sentiment de son oreille, que l’intervalle ut, ut#, est celui d’un demi-ton, moitié de lintervalle ut, ré; l’habitude de distinguer et d’apprécier les nuances chromatiques, acquise par la fréquence de l’audition et par l’exercice de la vocalisation, lui font reconnaître qu’en partant d 'ut pour arriver à ut#, on ne fait pas plus de chemin qu’en partant d 'ut# pour arriver à ré ; et cette même distance , il saura ou l’apprécier ou l’entonner lui-même, en prenant un ton quelconque pour point de départ.

Maintenant qu’un théoricien vienne lui dire que les sons

ut, ut#, ré, sont représentés par les nombres 1,1/2, l/ï ( il s’agit ici du tempérament égal ); ce musicien, ne sachant à quel genre de phénomène se rapportent ces nombres , ignorant qu’il n’est pas question de rapports d’intonation par différences , mais de rapports de nombres de vibrations par quotients , nonseulement ne comprendra pas le théoricien , mais sera tenté de regarder comme absurde sa représentation des sons , s’il vient à connaître les valeurs numériques des radicaux oyez la note de l’Introduction), et à savoir que la succession des

sons ut, ut#, ré , qui, d’après ses habitudes, lui donne, en demi tons, les différences d’intervalles

o demi-ton , i demi-ton , 2 demi-tons , est représentée par la série des rapports

la 6

qui sont les valeurs de 1 , 1/2 et 1/2 (*).

(3) Voilà l’indication d’une source de difficultés que présentent la lecture et l’étude des ouvrages publiés sur la musique et les règles de la composition musicale. Les auteurs de ces ouvrages ont, généralement, l’usage, lorsqu’ils n’emploient pas la notation spécialement adaptée à l’écriture de la musique (et souvent même en l’employant), de désigner les sons, ou leurs intervalles, par des rapports de nombres de vibrations des cordes sonores rapportées à des temps égaux , nombres que j’appellerai , par abréviation , nombres synchrones ; ainsi l echelle diatonique ut, ré, mi, fa, sol, la, si, ut , étant formée d’après un certain mode de génération , dont l’examen est étranger à l’objet de cet écrit, on représente, de la manière suivante , les sons de cette échelle et leurs relations:

ut ;

ré; mi; fa; sol; la; si; ut.

(*) Les deux dernières valeurs, mises sous la forme i,o5p et 1,122,

ont la 3e décimale exacte ; une plus grande approximation donne l/â = 1,05946 3op44 == la base de la table 2 de logarithmes acoustiques.

( V oyez les dernieres lignes de la note de V Introduction.)

Ce qui signifie que le temps employé par la corde ut à faire 8 vibrations est égal au temps employé par la corde ré à en faire 9 ; que des synchronismes analogues de nombres de vibrations donnent 4 pour 5 entre les cordes ut et mi, 3 pour 4 entre ut et fa, 2 pour 3 entre ut et sol, etc. En général, les dénominateurs et les numérateurs indiquent , respectivement, les nombres de vibrations rapportés au son ut de départ, que j’appellerai son fixe, et les nombres correspondants de vibrations rapportés aux différents sons que l’on compare avec ce son fixe.

Si les musiciens praticiens trouvent cette manière de représenter les sons tout-à-fait étrangère au mode de représentation qui leur paraît le plus naturel , ils seront encore plus déroutés dans le cas d’un système de partition plus simple que le précédent ; je veux parler de la formation de l’échelle diatonique par le tempérament égal, qui rend les intervalles de tons ut, ré ; ré, mi; fa, sol ; sol, la; la, si; égaux entre eux, et doubles des intervalles de demi-tons mi, fa ; si, ut. Ce système de tempérament est devenu celui d’après lequel on accorde, généralement, les instruments à touches et ceux qui se pincent, depuis que le luxe, et trop souvent l’abus des modulations, se sont introduits dans les compositions musicales (*).

(¥) J’ai imaginé et construit un appareil pour soumettre à l’expérience les phénomènes de la vibration des cordes, soit en faisant varier le poids tendant supporté par une corde de longueur constante, soit en faisant varier la longueur sur une même tension. Mon savant et célèbre confrère à l’Académie

des Sciences, M. Biot, m’a emprunté plusieurs fois cet appareil, aux époques de ses leçons de physique au collège de France. Ayant ainsi un moyen de mesurer, par le fait, les intervalles musicaux, avec la plus grande

Voici le tableau des notes de cette échelle diatonique à tempérament égal; j’ai placé, au-dessous des radicaux, leurs valeurs calculées à la précision des ioooCs d’unité; la 2e de ces valeurs a été donnée ci-dessus à la fin de l’art. (2) ( Voyez, pour l’intelligence de la notation des radicaux, la note de l’Introduction) (*).

ut ; ré ; mi ; fa ; sol ; la ; si ;

Pendant la durée de 1000 vibrations de la corde qui fait

entendre le son m£, ou son fixe, la corde ré fait 1 122 vibrations; la corde mi, 1260; la corde fa, 1 335 , etc.

(4) Ces rapports énoncent, certainement, des phénomènes sonores très-réels, des vérités physiques ; leur considération est non seulement utile, mais indispensable dans les théories

exactitude, j’ai voulu savoir quel était le système d’accord des forte-piano généralement pratiqué par les plus habiles accordeurs. Un des instruments que j’ai éprouvés était celui de la célèbre pianiste madame de Charnage (précédemment madame de Montgeroult) ; l’ensemble de mes épreuves m’a convaincu que le tempérament égal était aujourd'hui unanimement adopté pour l’accord des instruments à touches; les très-légères anomalies de quelques comparaisons doivent être attribuées ou à des erreurs d’opérations , ou à des variations de tension.

( *) Les nombres affectés de radicaux et correspondants aux notes ré, mi, fa, sol , la , si, sont respectivement équivalents aux nombres fraction-

naires 2”, 2”, 2”, 212, 2” et 2”.

C’est sous cette forme que les mesures vraies des intervalles sont mises en évidence par les exposants, ainsi qu’on le verra dans le § IV.

d’acoustique musicale ; ils doivent servir de base à un mode quelconque d enonciation des intervalles , et il ne s’agit que d’effectuer convenablement leur transformation. Or cette transformation est importante, puisque les expressions

etc., l/2, 1/2 etc., ou d’autres qu’on pourrait prendre

pour exemples, ne fournissent pas , ainsi que je l’ai expliqué ci-dessus, les représentations intuitives des intervalles musicaux , dans l’acception qu’il faut donner au mot intervalle , lorsqu’il s’agit de raisonnements applicables aux études relatives à la composition et à l’exécution musicales, aux systèmes d’accord des instruments , etc. ; des effets , qui sont du domaine de l’ouïe , s’y trouvent rapportés à des phénomènes de mouvement qui déduits du calcul , échappent même à l’œil, et ne lui sont rendus sensibles et appréciables qu’à l’aide d’appareils scientifiques, tels que la très-ingénieuse Sirène de M. le baron Cagniard de la Tour.

(5) On rendra donc un service à l’art musical en soumettant les intervalles , considérés sous le point de vue qui convient à cet art, à un mode de mesure analogue à celui qu’on emploie pour évaluer les distances qui séparent des points situés dans l’espace. Il faut , dans l’un et l’autre cas , avoir une quantité conventionnelle de même nature que celles dont elle doit constituer l’unité ou terme de comparaison ; et la mesure, tant des intervalles musicaux que des distances géométriques, consistera dans la détermination du nombre de fois (nombre qui peut être entier ou fractionnaire) que chaque intervalle ou chaque distance contient l’unité qui la concerne. Ces mesures effectuées donneront , à vue, les différences, les rap-

ports, etc. , tels qu’il est nécessaire de les considérer dans les raisonnements sur Y art musical.

(G) Ces avantages précieux s’obtiennent avec la plus grande facilité, par l’emploi de l’une ou de l’autre des deux tables logarithmiques qu’on trouve, à la suite de la présente instruction; pour rendre, par un premier exemple, leur utilité manifeste, je vais déduire , de la table (2) , les valeurs des intervalles entre les différents sons des échelles (A) et (B) ci-dessus ; je donnerai ensuite dans le § II , les règles infiniment simples , par lesquelles on trouve ces valeurs.

L’unité de mesure à laquelle cette table (2) se rapporte est le demi-ton du tempérament égal , ou la 12e partie de l’intervalle d’octave ; les forte-piano, dans le système d’accord usité maintenant, ont leur échelle chromatique entre deux touches sonnant l’octave l’une de l’autre, formée de la duodécuple répétition de cette unité ( Voyez la note de l’art. 3) ; mais l’usage que j’en fais ici est absolument indépendant de tout système d’accord des instruments à touche; je préfère cette unité à telle autre qu’on pourrait lui substituer arbitrairement, par des considérations de commodité de calcul , etc.

Voici les échelles (A) et (B) reproduites en substituant à des rapports de nombres de vibrations des mesures effectives d’intervalles, exprimées en demi-tons et ioocs de demi-ton (*).

(*) Le signe d., placé au haut du chiffre des unités, signifie demi-ton ;

ex. 2d , o4, lisez deux demi-tons et de demi-ton ; 3% 86, lisez trois

demi-tons et de demi-ton, etc.

ioo

Les tableaux (A) et (B), respectivement représentés par (C) n° i et (C) n° 2, satisfont, ainsi transformés, à toutes les conditions exigibles, relativement à leurs destinations, en d onnant , a vue , l’ensemble complet des relations d’ intervalles qu’on a besoin de connaître, énoncées en quantités parfaitement appréciables par les musiciens. Ainsi on voit ( échelle n° i ) que l’intervalle d 'ut à ut ou d’un son à son unisson, est

zéro: que de ré à ut, on a deux demi -tons et — de demi-

7 1 7 IOO

ton; de mi à ut, 3 demi-tons et de demi-ton; de Ja à ut, 4 demi-tons et de demi-ton , etc.

IOO

L’échelle (C) n° 2 , n’offre d’après son mode de formation , aucune fraction d’unité dans les intervalles entre les sons qui la composent; mais il est curieux de la comparer avec le n° 1 , et de connaître, avec une grande précision, les différences d’intonation entre les touches correspondantes de deux forte-piano dont l’un serait accordé suivant la partition n° 1 , et l’autre suivant la partition 110 2, ou le tempérament égal , les ut étant supposés à l’unisson parfait sur l’un et sur l’autre instrument. On voit que les ré et les sol seraient plus haut sur le 110 1 que

sur le N° 2, mais d’une faible quantité, - — et — — de demi-

1 1 1 IOO IOO

ton ; les fa ne différeraient aussi que de ^ , mais les mi, la

ut

ré

mi

fa

sol

la

si

ut

5,oo

9,oo

et si, seraient plus bas dans le n° i que dans le n° 2, respectivement, de —, — et de demi-ton; les deux instru-

ments ne pourraient pas jouer ensemble sans blesser des oreilles délicates; leurs gammes chromatiques complètes seront bientôt mises en regard.

(7) Un des avantages signalés de la transformation des intervalles représentés par quotients , en intervalles mesurés par différences , est l’extrême facilité que donne cette transformation pour faire l’analyse, l’examen détaillé d’une suite de sons, d’une échelle diatonique, chromatique ou enharmonique , formée d’après un système harmonique quelconque, d’apprécier les plus légères nuances d’altération introduites dans les accords factices, comparés aux accords naturels produits par la résonnance du corps sonore. Exemple : cette résonnance du corps sonore donne pour accord parfait majeur les intervalles mesurés en demi-tons,

od ; 3d-,863i37i; 7d, 0195500

Tierce mineure formant le 2e intervalle , 3d , 1 564 1 29

On est assez généralement d’accord de frapper l’accord parlait mineur en inversant l’ordre des tierces comprises entre le son fondamental o, et sa quinte 7,0195600; et M. le baron Blein dit avoir reconnu que cet ordre de tierce est donné par les harmoniques d’un cylindre métallique suspendu dans le sens de son axe: ainsi les intervalles de l’accord parfait mineur mesurés en demi-tons, sont

n od ; 3d , 1 564 129; 7% o 195500

Tierce majeure formant le 2e intervalle, 3d , 863 i37 1

Appliquant ces mesures aux échelles (C) nos i et 2, et négligeant 5 décimales qui ne sont, ici , qu’un luxe de précision, on verra que les accords parfaits ut, mi, sol , et fa , la, ut, se trouvent dans le n° 1 , sans aucune altération; le premier est immédiatement o; 3d ,86 et 7d ,o2; le 2e s’obtient en écrivant o au lieu de 4d ,98 , et soustrayant ce nombre de 8d',84, et de i2d ,oo, ce qui donne

11 11’en est pasdemême de l’accord parfait mineur ré, fa, la , en soustrayant le nombre ré des nombres fa et la , et écrivant o au lieu de ré , on a

La tierce mineure 2d-,94, et la quinte 6d,8o, sont chacune trop faibles de ^ de demi-ton ; par compensation l’accord parfait mineur mi, sol, si, ou

od ; 7d',02 — 3d-,86 = 3d,i6 ; iod ,88 — 3% 86= 7% 02, est parfaitement juste.

Dans l’échelle n° 2, les accords parfaits majeurs et mineurs sont , respectivement ,

od ,00 ; 4d ,00 ; 7%oo. et od ,00 ; 3d ,00 ; 7d ,00 au lieu de 0,00; 3,86; 7,02. et o ,00; 3 ,16; 7,02

altération od',oo ; H- od, 1 4 ; — od,o2. et od,oo; — od,i6; — od,o2

L’altération des quintes est très-faible; celle des tierces est beaucoup plus sensible, et, malheureusement, l’oreille sup-

porte moins l’altération de la tierce que celle de la quinte.

L’échelle diatonique ut, ré, mi ,fa , sol , la , si , ut , se compose de deux tétracordes disjoints, ut, ré, mi, fa, et sol, la, si , ut ; ces tétracordes sont parfaitement semblables dans lechelle (C) n°2, et on peut être curieux de les comparer dans l’échelle (C) n° i . Cette opération se fera avec la même facilité que les précédentes , en prenant, pour chaque note, la différence entre le nombre de demi- tons qui lui correspond et celui qui correspond à la note précédente; on aura , ainsi,

1er TÉTRACORDE. 2me TÉTRACORDE.

Les deux tétracordes ne diffèrent l’un de l’autre que par la disposition des deux premiers intervalles; les notes ut, ré, mi, offrent l’ordre 2% o4; id',8a, respectivement appelés ton majeur et ton mineur, et les notes sol, la, si offrent l’ordre inverse ia8a; 2d,o4; le 3e intervalle id,i2 est le même dans chaque

tétracorde ; si on haussait le la de l’échelle (C) n° 1 , de —

de demi-ton , et qu’on le portât à 911 ,06 au lieu de 8d ,84 , les deux tétracordes deviendraient parfaitement semblables , la quinte ré , la serait juste, mais la tierce fa, la se trouverait

altérée de — de demi-ton.

(8) En comparant le tableau (D) avec celui qui est censé remplir le même objet et qu’011 trouve dans le Dictionnaire de Musique de Jean-Jacques Rousseau , au mot Échelle , et dans

d’autres ouvrages, l’avantage du système métrique musical que je propose deviendra bien sensible. Un praticien qui voit l’intervalle mi, fa, ou si, ut, représenté par sans explication

• sur l’espèce de quantité à laquelle se rapportent les nombres i5 et 16 ( et même dans l’hypothèse où cette explication serait donnée ) , se trouvera bien plus satisfait de connaître la

mesure vraie et immédiate (i demi-ton + | de demi-ton de

tempérament égal ) de cet intervalle. S’il a un forte-piano accordé, suivant l’usage, à demi -tons égaux, il saura que les touches mi, fa , et si, ut, y frappent des sons plus rapprochés d’environ g de demi-ton que sur un instrument accordé suivant le système de l’échelle (D) ; de plus, il reconnaîtra aisément que les dissidences entre les intervalles partiels des deux partitions ont , dans la partition (D) , des compensations telles que la somme 2,o4 + 1,82 + 1,12 H- 2,04 + etc., prise entre deux ut a l’octave, donne 12 demi-tons, dans cette partition , comme dans la partition égale.

On trouvera, dans les exemples placés à la suite des explications relatives à l’usage des tables (1) et (2), de nouvelles confirmations de tout ce qui précède; mais je ne dois pas oublier, en terminant ce § , de faire observer, ou de rappeler que le système de mesure , ou système métrique musical , dont il s’agit ici , est absolument indépendant de tout système de formation d échelles musicales , d’accords d’instruments, etc. Son unique destination est de fournir des évaluations numériques vraies , précises , et adaptées à la nature des quantités soumises au calcul , quel que soit le mode de liaison établi entre ces quantités. Ce système métrique musical peut, ainsi que

je l'ai déjà donné à entendre, être assimilé au mesurage géodésique par lequel on détermine les distances entre les points placés d’une manière quelconque les uns par rapport aux autres, sans avoir besoin de faire entrer en considération les conditions auxquelles leurs positions respectives peuvent être assujetties.