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ARITHMETIQUE. — ALGEBRE.

+ à multiplier par -4-, le signe du {irodait esl -f-.

-H par — , le figne da prodait. est — >,

— par +, le sigoc da produit est — .

— par — , le ligne do prodait cil H-.

Ce qui ne résume ainsi : Le produit de deux ternies afTectés da même signe a le signe -|- ; le produit de deux termes affectés du signe contraire a le signe — .

APPUCATlOyS KDlhlBlQCBS.

1 * On demande la racine carrée da nombre 13,8237.

La table intitulée LOGARITHMES foornit Log. 13,82=1,1405.

Prenoi» la moitié de ce logarithme , soit 0,5702, nous ln>a\erons, au moyen delà table AXTILOGARITHMES : 0,5702= log. 3,717.

Ce résaltat est exact à moins d'un millième d'unité près.

2« Quelle est la huitième puissance de 0,005225?

On trouve Log. 0,005225 = 3,7181; multipliant par 8 et observant que, d'une part, la partie décimale, qui est positive , donnera une retenue entière égale à -h 5, et que, d'autre part, le produit de 3 par 8 est — 24, on troQve pour le produit 19,7448 = Log. ^^.

Le nombre cherché est donc approximativement 0,0O0 000 000 000 000 000 5556.

f^ 8. SjrpasitioH du système métrique français.

L« msèirt ou unité de longueur est la dix-millionième partie de la distance du pôle terrestre à Féquateur. En d'aotres termes, on a déterminé la longueur du mètre en mesnrant les dimensions de la terre , et en divisant en 40 millions de parties égales le circuit de notre globe mesoré sur un méridien.

L'imtlé de superficie pour les terrains est Vare , ou carré de Sx mètres de côté. L'are se compose donc de rau mètrtts carrés.

Le Uire est l'unité de capacité pour les matières liqui- Aes et demi-fluides. Il équivaut à un cube dont le cdté €st la dixième partie du mètre. Il y a donc 1 000 litres dans on mètre cube.

Le Bière ^ unité de volume pour les bois, n'est autre eliose qu'un mètre cube.

Le gramme , unité de poids, est le poids d'un volume d'eao au wuiximxm de densité (c'est-à-dire à la température de 4'', 44), équivalant à celui d'un petit cube, dont le côté est la centième partie d'un mètre. Comme le litre coalient 1 000 de ces petits cubes , le pdids d'un litre d'eau est de 1 000 grammes.

LeyV-offc est l'unité monétaire. C'est une pièce composée de 9 parties d'argent pur et d'une de cuivre , et dont le poids total est de 5 grammes.

Tontes les unités de notre système de poids et mesures sont d<Nic rattachées an mètre, qui est \ étalon de ce sysii-me.

Pour exprimer commodément les quantités plus petites que les unités principales , ou est convenu de diviser chacune de ces unités en 10, 100, 1,000, 10,000, etc., parties égales, que l'on désigne en faisant précéder le nom de l'unité des mots /Mri, rend', suY/i, dix-milli, etc.

De même pour les quantités qui contiennent plus de dix fois l'unité principale, on se sert des mo ts :

Déee , keeto , kilo , myria , qui indiquent des multiples de l'unité principale respectivement égaux à 10, 100, 1 000, 10 000 fois cette nnilé, et qui précèdent son nom générique.

Diaprés ces principes , on comprend les mots wnfriawsétre (dix mille mètres) , eetttiare (centième partie de

l'are) , hectolitre (cent litres) , décistère (dixième partie du stère), kilogramme (mille grammes).

Le principal avantage de ce système consiste dans sa parfaite analogie avec le système de numération décimale adopté pour les nombres abstraits^ c'est-à-dire considérés indépendamment de l'espèce d'unité à laquelle ils se rapportent Cette analogie permet d'écrire sous forme entière, comme les fractions décimales, tous les nombres exprimés en nouvelles mesures , et simplifie ainsi, d'une manière notable, toutes les opérations que l'on peut avoir à effectuer sur ces nombres.

La combinaison des 7 mots : myria, kilo, hecto, déca ; — déci , centi, milli, avec les noms des 6 unités principales : mètre, are, litre, stère, gramme, franc, donne lieu à 42 noms de multiples ou de sous-multiples de ces unités. On pourrait donc croire que le système des nontelles mesures exige 48 dénominations différentes, en s'arretant aux millièmes. Hais l'usage a singulièrement réduit ce nombre de mots déjà si singulièrement restreint, et il en a modifié quelques autres de manière à ne pas nuire à l'harmonie de la langue. On ne se sert guère des noms d'hectomètre, de décore (déca-are), de tmllilitre, d'heetostère, de hilostère, etc.

On substitue les noms de décime et de centime à ceux de dieifrancti de cenlifrane. Enfin, il n'est jamais question de déeafrancs, à^hectofrancs ni de kilo/rancs.

Nous avons réuni dans le tableau de la page suivante les noms des mesures les plus ordinairement employées. On pourra néanmoins, an moyen des règles de nomenclature données précédemment, et que Tinspection seule de la table fait ressortir de la manière la plus évidente, remplir les vides que nous avons laissés avec intention pour les multiples ou sous-multiples moins usités que les autres.

Le moyen le plus propre à se donner une idée nette des valeurs absolues des nouvelles mesures, consiste à chercher les expressions de poids ou de dimensions d'objets connus.

Lorsqu'on se sera exercé pendant quelque temps à ce travail si simple , on n'éprouvera plus la moindre difficulté à comprendre la signification des expressions métriques les plus usitées.

'Il est à propos de remarquer que , dans la pratique , la plupart des multiples ou sous-multiples décuples de chaque unité sont pris eux-mêmes pour unités principales , et que l'on évite de prononcer plusieurs noms dans un même nombre. Ainsi on dira 27 kilogrammes 48 centièmes, plutôt que 2 myriagrammes 7 kilogrammes 4 hectogrammes 8 décagrammes. On dira de même 621 hectolitres 354 millièmes, plutôt que 6 myrialitres 2 kilolitres 1 hectolitre S décalitres 5 litres 4 décilitres.

L'usage a introduit les dénominations de quintal mitrique et de tomieau métrique pour les poids de 1 00 et de 1 000 kilogrammes. La seconde est très-usitée dans le commerce maritime.

Lorsqu'il s'agit de superficies ou de volumes très-considérables pour lesquels Phectare (carré de 100 mètres de côté ) et le stère seraient des unités trop faibles , on emploie le kilomètre ou le myriamètre carrés , le décamètre , l'hectomètre ou le kilomètre cubes.

Dans l'évaluation des superficies et des cubes , il ne faut pas confondre un dixième , un centième , un millième de mètre carré on de mètre cube , avec un décimètre , un centimètre , un millimètre carré on cube. Car en prenant les nombres

leurs carrés sont

et leurs cubes

Un dieimkre carré n'esl doDc qae la centime partie d*an mètre carré , et an décimètre cube la nûUième partie du mètre cube. Un centimètre carré n'est que la dix-millième partie du mètre carré ; un centimètre cube que Ja wUllionième partie du mètre cube, et ainsi de suite.

On évitera toute erreur à ce sujet en donnant aux chiffres décimaux qui suivent Tunité principale les dénominations de dixièmes, centièmes, millièmes... de Punité principale , et non plus celles de déci , centi , milli , dès qu il s'agit d'unités de superficie ou de volume.

C'est faute d'avoir fait cette distinction essentielle que la Chambre des députés , dans la discussion de la loi re-

lative au droit de timbre et de port der jommaiiz et écrits périodiques, vota, il y a quelques années, un article où il élait question de journaux ayant trente et qainxe eentimètres carrés. Le plus grand de ces joumaui n'anrait pas été de la grandeur d'une carte à jouer ! L'erreur fut bien vite signalée k la Chambre même ; on avait voulu parier de centièmes de mètre carré, et non pas de centiwtètres carrés. Dans la loi du 14 décembre 1830, la trace mcme de l'erreur a disparu, puisque l'on parle seulement de feuilles de trente et de quinze décimètres carrés. Un décimètre carré est bien la centième partie du mètre carré.

Tableau simpliJU des nouvelles mesures.

UDLTIPUS DSC0PLI9 DBS OHITICS glUP

LRS.

DXITfa MllPUtS.

BIHPIU.

Myrit.

Kilo.

Hecto.

Dec

Déei.

Ceoti.

( «oo j

Milli.

V 1 ooo y

MrritmèCre.

Kilométra.

Kilogramme.

HecUre.

H«ctolitr«.

Hectograove.

■ Décalitre.

Dëcagramme.

ARK.

•TiBI.

GMHIIB.

rilANC.

Décimètre.

Décilitre.

Déciflêre.

Décigramme.

Décime.

CenUmétra.

Centiara.

Centilitre.

Centigramme.

Centime.

Millimètre.

Millig'ramme.

J 9. Preuves des opérations arithmétiques,

ADDITION BT SOCSTBAGTIOW.

La preuve la plus ordinairement usitée de l'addition consiste à recommencer de haut en bas les sommes partielles des diverses colonnes verticales , si l'on a opéré de bas en haut ou réciproquement Mais la même erreur pouvant être commise dans les deux sens , cette preuve n'offre pas de garantie suffisante.

En ajoutant au reste d'une soustraction Je nombre soustrait, on doit retrouver le nombre dont on a soustrait L'addition donne donc la preuve de la sonstraction.

UULTIPLICATION BT DIVISION.

La preuve de la multiplication peut se faire par la division : en divisant le produit par l'on des deux facteurs, on doit retrouver l'autre facteur.

Réciproquement , la preuve de la division peut se faire par la multiplication. En multipliant le diviseur par le quotient, on doit retrouver le nombre que l'on obtient en retranchant du dividende donné le dernier reste obtenu. Mais ces deux preuves, quoique offrant toute garantie contre les chances d'erreur, sont rarement employées parce qu'elles exigent de trop longs calculs. On emploie plus ordinairement les preuves par 9 ou par 11. Exemple : on a trouvé 4995012 pour le produit de 5748 par 869. On demande si ce produit est exact

On fait la somme des chiffres de ce produit avec leur valeur absolue ; et on en retranche 9 autant de fois que possible, ce qui donne 3 que l'on met à la partie supérieure d'une croix disposée comme ci-dessons.

On fait la même opération sur le multiplicande , ce qui donne 6 , que l'on pose k gauche de la croix, et sur le multiplicateur, ce qui donne un 5 , que l'on place à droite. Le produit de 6 par 5 est 30 ; la somme des deux chiffres de ce nombre est 3 , comme en haut de la croix, ce qui rend très-probable l'exactitude de l'opération primitive.

Pour vérifier la même opération par 11, on prendra dans le prodoit la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair, en en retranchant 1 1 autant de fois que possible ; ici on trouve 0, que l'on met à la partie supérieure de la croix. Faisant la même opération sur le multiplicande , on

trouve 0 ; on trouve 0 pour le multiplicateur. Le produit de 6 par 0 étant 0, on en conclut que l'opération est bonne.

Pour appliquer les mêmes preuves à la dirision , il suffit de se rappeler que le dividende diminué du dernier reste, s'il y en a nn, est un produit dont le diviseur et le quotient sont les

deux facteurs.

§ 10. Considérations générales sur la solution des questions éC arithmétique.

Les règles des quatre opérations fondamentales appliquées aux entiers , aux fractions ordinaires et décimales et aux nombres complexes suffisent pour résoudre la plupart des problèmes d'arithmétique.

Il serait difficile de donner autre chose que des indications générales sur la manière de résoudre les questions proposées. A défaut de règle précise à ce sujet , disons qu'il faut commencer par bien se pénétrer de l'énoncé de la question ; examiner les opérations que l'on aurait à faire pour vérifier le nombre que l'on cherche , si ce nombre était déjà trouvé ; enfin , déduire de ces opérations d'autres opérations plus simples jusqu'à ce que l'on parvienne à ramener la détermination du nombre inconnu à l'une ou à plusieurs des opérations fondamentales qu(t l'on sait effectuer.

La considération des rapports et des proportions par quotient joue un grand rôle dans la plupart des questions d'arithmétique. Comme on cherche alors à déterminer le quatrième terme d'une proportion dont les trois autres sont connus , on dit que le calcul de ce quatrième terme dépend d'une règle de trois.

La règle de trois est simple lorsque l'on n'a besoin que d'une seule proportion ; composée lorsqu'on en emploir plusieurs ; directe lorsque deux nombres de même nature , dans la proportion , varient dans le même sens que les deux nombres correspondants ; inverse dans le cas contraire.

Les règles d'intérêt^ d'escompte, de société , d'alliage, de change , etc. , peuvent se déduire des propriétés des proportions.

On appelle intérêt le loyer d'un capital prêté. Le taux ou le/iercento^e est indiqué à raison de tant pour cent Le rapport entre 100 et le taux est ce que l'on nomme le

AKlTHMÉTltjtË. — ALGÈBRE.

dmitr. Ainti , rintérét étant à 5 pour cent, le capital est dit placé au deniet 80.

On appelle ueomptê la retenue qu'un banquier fait sur le paiement d^iin billet dont il délivre la valeur en espèce! , quoique le billet ne soit payable que poaténeuremait.

Si le préteur laisse chaque année entre les mains de rempmnteur la rente du capital , cette rente devient un nouveau capital qui s'ajoute au premier, et qui, produisant chaque année un intérêt plus fort, croit dans une progreasioo rapide. C'est ainsi qu'en 15 ans , un capital, placé à 5 0/0, est plus que doublé ; il est pins'que quadruplé en 29 ans, plus quoctuplé en 43 ans, etc. Même, an faible taui de S 0/0, il ne faudra que 35 ans pour doubler le capital ; à 6 0/0 , il ne faudrait qu'un peu plus de 1 1 ans. On dit, dans ce cas , que le placement a lieu à intérêts composés.

L'algèbre va nous fournir, sous la forme la plus concise, findication des règles à suivre pour résoudre les questions de ce genre.

Hais on arriverait i des résultats complètement absurdes si Ton appliquait des règles semblables à un laps de temps trop considérable. Il faudrait, pour que les règles arithmétiques relatives à l'intérêt composé n'éprouvassent pas de modification , que la richesse sociale entière se développât suivant la même progression géométrique que les capilaox placés à intérêt composé , au taux de l'empruoL Or c'est ce qui n'a pas lieu. Pour s'en convaincre , il suffit d'énoncer un seul de ces résultats. Ainsi on trouverait qu'un centime placé i intérêts composés , à

raison de 5 0/0 depuis Tan 800 de notre ère , lorsque Charlemagne fut couronné empereur d'Occident, jusqu'en 1830, aurait fait jouir chacun des 30 millions de Français qui habitent notre pays , i partir de cette dernière époque, d'un revenu annuel de plus de cent miUiardsU

ALGEBRE.

.^ 1. Nature des opérations algébriques,

L'ALUKoai est une science qui a pour but d'abréger et de généraliser la résolution des questions relatives aux quantités en général. Kl le emploie pour cela des signes particuliers que nous avons déjà eu soin de faire connaître à la suite de chacune des opérations de l'arithmétique ; et au lieu de s'exercer uniquement sur des nombres, comme le fait l'arithmétique , elle opère sur des lettres qu'elle soumet à de véritables calculs d'une nature trèsgénérale.

Pour sentir tout l'avantage des signes algébriques, il suffit de les appliquer à la solution de quelques questions simples : on voit alors combien ils abrègent et généralisent tous les raisonnements que l'on serait obligé de faire explicitement pour arriver à la détermination des inconnues, si l'on n'employait pas ces signes. L'exemple que nous donnons ci-dessous est emprunté i l'algèbre de il. Lacroix.