SOLUTION

Avec te langafe oréinatre.

La «of eane pertîe aéra U plot petite La plne gmnde partie aéra la

Lft mis paftica réanies ferment

ploa l'eieés de la moyenne rar la ploa petHe. moyenne, plna 1 neéa de^la pin» grande anr la moyenne, int le nombre ""

plat

Donc la ploa petite partie U plna petite partie . plot l'eieèt de la moyenne inr la plaa petite . ploa encore la plna petite partie, plna t'eseèe de la moyenne ior la ploa petite, ploa l'excéa de la ploa grande aer la moyenne, égalent le nombre à partager.

DoM troia Cela le plna petite partie . ploa deni fbla Veteè» de la moyenne anr la plna petite, plna eneore l'escèa de la plna grande aor la moyenne, égalent le nombre k partager.

Donc troia fola la plna petite partie'égalent le nombre â partager moina deai foîa Tescéa )«^ a — 8ft — r

i ploa petite, et moina encore l'exeèa de la plna grande anr la moyenne. J

de la moyeaae aar le

■afieU '

ipartagi

Doae «afia la plaa'petita partie égale la tien de ea qni reate aprèa qn'on a M dn aombre è paitagar deax foia TeKCèa de la ée la plaa grande anr la flu>yenne.

1 moyenne anr la plna petite , et encore Tvicéa

Avec Véerittut atgébrique.

.Hoit le nombre i partager déaigaé par a.

L'exeèa de la partie moyenne aor la ploa petite par h. L'exeèa da la plaa grande anr la moyenne par . . r.

La ploa petite éUnt x,

La moyenne aéra x-{-b,

La plaa graode aéra x -f- è -f- c.

Doae « -f- X 4- è 4- X -f 6 -f c = « .

Dans cet exemple on a eu à considérer plusieurs équations, on assemblages de quantités égales, séparées par le signe d'égalité et venfermant des inconnues. On a dû sDssi effectuer plnsieurs des opérations fondamentales, telles qne l'addition, la soustraction , ect , pour arriver à la détermination de l'inconnue. Cependant il ne nous est pas possible d'expliquer les règles relatives à ces opérations. Nous devons nous borner à rappeler ici les notations fondamentales pour donner le moyen de traduire en langage ordinaire ou en nombre une formule ou expression algébrique quelconque.

K 2. Indication sommaire des principales notations algébriques.

Les notations et symboles dont on fait usage en algèbre sont donc :

1** Les lettres de l'alphabet qui servent à désigner les nombres ssr lesquels on doit raisonner. — On représente ordinairement les quantités connues par les premières lettres de l'alphabet , a, b, c... ou A, B, C... , et les inconnues par les dernières lettres, x, y, s, t, u, v. — Des quantités analogues sont souvent désignées par les mêmes lettres avec un on plusieurs accents. Ainsi : a', a", a'",

a"'\ (a prime, a seconde, a tierce t a quarte) sont des quantités analogues à a ; x', x", x"\ x"" sont des quantités analogues â jt. — On emploie encore souvent dans le même but les indices l, 2, 3... , comme dans Xj , Xj, Xj que l'on énonce x indice 1 , x indice 2, x indice S, etc. 2» Les signes abrégés des quatre premières opérations de l'arithmétique , savoir :

-4- pour l'addition a '\' b (a plus bj.

— pour la soustraction a — b (a moins b),

X pour la multiplication aX b (a multiplié par b).

On peut encore écrire a. b ou simplement a b , sans interposer de signe entre les lettres. Mais l'interposition de signe est toujours nécessaire pour les nombres , afin qu'on ne confonde pas par exemple le produit S X 4 de 2 par 4 ou 8, avec le nombre 24, qni est trois fois plus grand. C'est dans le 'même but que l'on renferme entre des crochets ou des parenthèses des quantités dont l'ensemble doit être soumis i une seule et même opération. Nous en avons donné des exemples précédejnment (coL 12, 20, etc.).

Ponr la division a: bon- (a divisé par b, ou asurb), La seconde notation est la plus nsij^C:rOOQLC

3° Le coeffUient , aigne que Ton emploie poar exprimer qu* an nombre représenté par une lettre doit être ajouté à lui-même plasieors fois. Ainsi on écrit 5 a au lieu de ii-H«-ha-4-«-|-a.

¥* Vtxpoiant ou degré de la puissance i laqtaelle une quantité se trouve élevée. Ainsi on pose a' = aaaaa,

5*^ Le signe radical \/ indiquant le degré d'une racine i eitraire : ainsi ^lï^h^e représente la racine septième de la quantité a^b^e,

6<> Le signe d'égalité, a=^h {a égale h).

7° Le signe d'inégalité ^ qui tourne sa pointe vers la quantité la plus petite. Ainsi a ^6 se prononce a plus grand queb; ei a<l^b, a plus petit que b.

Le signe algébrique le plus anciennement employé est celui de la soustraction. Diophante d'Alexandrie, qui vivait au milieu du V siècle de l'ère chrétienne, employait pour ce signe non pas le — , qui est usité de nos jours, mais la lettre grecque iL (pii) renversée et un peu tronquée.

Cest dans un ouvrage allemand de Jean Widman de Eger; imprimé à Leipiig en 1489, et réimprimé à Haguenauen 1519 (1), que nous avons trouvé l'emploi le plus anciennement connu des signes -h et — .

Christophe Rudolph (2), autre algébriste allemand, fit paraître en 1522 un ouvrage où l'on voit, pour la pre mière fois , le signe \/~, qui est évidemment dérivé de r , initiale de Radix ou Racine.

L'Allemand SUfel , dans son Arithmetica intégra , publiée a Nuremberg en 1544, Peletier en 1558, et Butéon vers la même époque, tous deux Français , ont représenté les inconnues par les lettres A, B, C,... et leurs puissances au moyen de signes ou exposante; mais ces exposants ne sont pas des chiffres, ce sont seulement des signes analogues.

La notation actuelle des exposants est encore beaucoup plus ancienne. On la trouve dans un ouvrage mis an jour en 1520, et réimprimé en 1538 , de nuûitre Eitienne de la Roche diet Villefraneket natif de Lgon.

Record, géomètre anglais , a imaginé, en 1552, le signe z=.

Adrianus Romanus (Van Reemen ) , de Lonvain , s'est servi de lettres en 1597, non pas seulement comme désignation abrégée des quantités sur lesquelles il avait à raisonner, ainsi que tant d'autres l'avaient fait avant lui , mais dans la pensée philosophique de créer une science mathématique universelle embrassant , sous la forme de symboles abstraits et généraux , les quantités de toute nature.

Mais tout en approchant le plus de la conception de Viète, Romanus est encore séparé, par une distance immense, de notre il\pslre compatriote, que l'on peut regarder i bon droit comme le créateur de l'algèbre moderne. Né à Fontenay-le-Comie, en 1540, mort en 1600, François Viète imagina de représenter par des symboles les calculs effectués , non plus sur des nombres , mais sur des lettres. Cest lui qui a créé les expressions et formules algébriques , et cet art des transformations qui épargne à Fesprit humain de si longs et de si pénibles raisonnements. Aussi donna-t-il à son algèbre le nom de spécieuse, parce que tout y est représenté par des symboles. On doit encore à Viète une foule de travaux importants sur la résolution générale des équations, sur 1 application de l'algèbre à la géométrie , etc.

L'Anglais Ougthred, né en 1573, est le premier qui se soit servi du signe de la multiplication X, dans le sens qu'on lui donne aujourd'hui.

(I) Le hasard non» a fait icneoDtrer on «•■plaire d« cal oamf c , que l'oo M trouva pat i la BîbiioCbèqae rof ala et qoi paratt exceMi« «•■«■t rare.

(90 Cetla iDdIcatioB Uatoriqoa et l«i laivaBlas loot capratéct au •avaatet recherchât de 11. Chatlet.

C'est i Harriot , antre algébrii le anglais des plus distingués , que l'on doit les signes d'inégalité ^ et <[.

§ 3. Quelques applications des notations algébriques.

Pour achever de faire comprendre l'esprit de ces notations et la manières dont les formules doivent être traduites , soit en langage ordinaire , soit en nombres , nous allons donner quelques exemples relatifs aux dernières règles d'arithmétique.

FORinJLBS D*INTiRfrr8 8IUPLB8 ET COUPOSéS.

Prenons pour premier exemple la règle d'intérêt simple , résumée dans la formule générale suivante :

p est le produit du capital c placé pendant le temps t, an taux I pour 100 et pour l'unité de temps.

Cette formule sert à résoudre quatre questions , suivant qu'il s'agit de déterminer l'une des quatre quantités p, £, I, <, connaissant les trois antres. On en énoncerait ainsi le résultat : pour obtenir le produit d'un capital pendant un certain temps , il faut multiplier ce capital par le taux de l'intérêt pendant l'unité de temps, et prendre la centième partie du produit

La formule relative à l'intérêt simple convient aussi an calcul de Yescompte en dehors , tel que le pratiquent les banquiers et les commerçants.

Soit pour second exemple , la formule de l'intérêt composé , qui est :

C est ce que devient le capital c augmenté des intérêts, lorsque ce capital était placé au taux n pour 1 pendant un nombre n d'années. Elle cesse d'être applicable lorsque n est un nombre fractionnaire. Exprimée eu langage ordinaire , cette formule indique que , pour connaître ce que devient un capital c placé à intérêt composé pendant un certain nombre n d'années, il faut multiplier c^ capital c par le résultat que l'on obtient en élevant ce que devient 1 franc au bout de la première année à une puissance n marquée par le nombre des années. poRuuuu d'auobtisskubkt kt d'an-kuit^.

Au lieu de rembourser au prêteur , au bout de n années, le capital emprunté e avec les intérêts qu'il a produits, on crée ordinairement un fonds à'oMortisseuunt, en versant annuellement une certaine somme qu'on appelle dotation ou annuité,

La formule qui sert à déterminer l'annuité a est, dans ce cas ,

(3) a=.îiii±:il

Mais ordinairement les mtérêta sont servis i part, ainsi que cela a lieu lorsque le gouvernement emprunte. Alors le capital à amortir ne change pas , et l'annuité est donnée par la formule

On trouve, d'après cette formule, que le taux de l'intérêt éUnt 3, 4, 5, 6, 8 et 10 0/0, le capital sera amorti en 47, 40, 37, 34, 29 et 25 années environ, avec une dotation annuelle de 1 0/0 du capital emprunté.

Pour parvenir i ce dernier résultat, il faut, de la for> mule (4), tirer la suivante :

» — Lo|. iîFFr)

Léow LALANNE,

ancien élève de TÉcola polrtechaiqve .

inaéaiear des Posta al Caianeeée».

fhSM. — TTrooaaniB ploii rtàBis , toi »b va««iaAB9 > S6.

INSTRUCTION POUR LE PEUPLE. — CENT TRAITÉS. PâAit.— ^ DUBOCHET, LECHEVALIER bt C», 60, RUE RICHELIEU. — 35gintiuu.

GEOMETRIE. - PLANS. - ARPENTAGE

J 1. Le$ Principes.

L etode de It géométrie remonte 4 l'origine dei iodétés. On airare qu'elle prit naissance ches les Egyptiens, qoi se trouvaient dans la nécessité de reconnaître et de tracer les limites de leurs champs après chaque débordement do NiL

liais c'est seulement i Thaïes et à Pythagore (du 7« au 6* siède avant J.-C.) que commence la considération des vérités mbUrtUiei de la géométrie , indépendamment de leurs applications à des mesures de longueur, de superficie ou de volume.

Cette science a pour but la mesure de l'étendue. L'itetulue a trois dimensions, longueur, largeur et hauteur ou profondeur.

La lî^ne est une longueur sans largeur. On appelle poinu les extrémités d'une ligne , ou la portion infiniment petite de félendue sur laquelle deux lignes se coupent La liptê droite (fig. 1) ou simplement la droite AB est le plus court chemin d'un point i un autre. Deux points A et B suffisent pour déterminer une ligne droite.

Vue ligne briiie BCDA est com- ' posée de lignes droites.

Une ligne A MB, qui n'est ni dlroite ni brisée, est une ligne eomrbe.

fswrfoM est ce qui a longueur et largeur sans hauteur, ni épaisseur, ni profondeur.

Le plan est la pins simple de toutes les surfaces ; ce qui le caractérise, c'est que l'on peut y appliquer une ligne droite dans tous les sens.

Tonte surface qui n'est ni plane , ni composée de surftces planes , est une eurfaee courbe, La pins simple des lignes courbes planes est la circonférence (fig. 2), dont tous les points sont également distants d'un point intérieur 0 appelé centre.

On appelle rayon toute droite OA menée du centre 0 à un point quelconque A de la circonférence ; et diamètre tonte droite AB qui , passant par le centre , est terminée de part et d'autre à la circonférence.

Tous les rayons sont égaux entre eux. Tous les diamètres sont anssi égaux entre eux et doubles du rayon.

Il ne fant pas confondre la circonférence , qui est une ligne, avec le eercU, qui est une surface, une portion de pUn entourée par cette ligne.

On appelle are une portion quelconque AMC de la circonférence. La droite AC est la cordé de Tare.

L'espace AMC, compris entre l'arc et la corde, s'appelle ugwunt.

L'espace AOCM, compris entre l'arc AMC et deux rayons OA , OC , s'appelle Mocttw,

Solide on corps est ce qui réunit les trois dimensions de l'étendue.

§ 2. Det cowUfinaisont de lignes droites.

On appelle angle BAC (fig. 3) l'écartement mutuel de deux droites AB, AC qui se coupent, l'espace indéfini compris entre ces droites, qui sont les cétés de C Tangle. Le point de rencontre A est le somnuL Une ligne droite AB eêi perpendiculaire à nne seconde CD (fig. 4) lorsqu'elle ne penche pas sur celle-ci d'un c^té plus que de l'autre, lorsque les deux angles adjacents BAC, BAD, qu'elle forme avec la seconde , sont ^ux.

Chacun de ces angles porte le nom

'^ d'angle droit. Tons les angles droits

^ sont égaux entre eux.

Toute ligne droite AB (fig. 4) qui en rencontre une

autre CD fait avec celle-ci

deux angles adjacents BAC,

BAp , dont la somme est

égale à deux droits.

Le plus petit BAD (fig. 5) de ces deux angles adjacents est aigu ; le plus grand BAC est obtus.

Ces deux angles sont dits suppUtnenU l'un de l'autre. Le supplément d'un angle est donc la différence entre deux angles droits et cet angle.

Quand deux lignes droites B£, CD (fig. 6) se coupent» les angles opposés

au sommet BAD, \ ^

CAEouBACDAE \ /

sont égaux. C ^^

C La somme (fig.

7) de tous les an gles AOB, BOC, 0 COD, DOE, EOA " ^

que les droites OA, OB, OC, OD, OB font autour d'un même point, est égale i quatre angles droits.

On appelle /^«re plane nne portion de plan terminée

par dei lignes. On appelle /^«re reetiligne on polygone (fig. 8) celle qui et 1 de toui côtés entourée par des lignes droites. Ces lignes forment le contour on périy mitre du polygone. A. et E sont des angles rentrant*; tons les antres B, C, D... sont des angles saillants.

Le plus simple de tons les polygones est le triangle (fig. 9) , qui a trois côtés. On ap-* pelle guadrilatkre le polygone de quatre (fig. 10) , peu-

I / tagone celui de cinq (fig. H) i hexagone celui 1 de six (fig. 12), etc.

^ Le triangle équilatéral (fig. 13) est celui qui

a ses trois côtés égaux. Dans le triangle imeeèle (fig. 1 4) deux côtés seulement sont ^aux.

Enfin, dans le triangle «cafène (fig. 9), il y a inégalité entre les trois côtés.

Le triangle rectangle est celui qui a un angle droit. Vkypotkénnte est le côté opposé i l'angle droit La fig. 15 est un triangle rectangle en A.

Dans tout triangle , la somme des angles est égale à deux angles droits.

Plus généralement , la somme de tous les angles intérieurs d'un polygone qui n*a pas d'angles rentrants est égale à autant de fois deux an^es droits qu'il y a d'unités dans le nombre des côtés moins deux. Elle est donc de quatre angles droits pour le quadrilatère , de six pour le pentagone , de huit pour l'hexagone et ainsi de suite. Deux droites AB, CD sont dites parallèles (fig. 16 ) 1^ lorsqu'étant situées sur un

^ • même plan , elles ne peu-

vent se rencontrer i quelque distance qu'on les prolonge l'une et l'autre.

Deux parallèles rencontrées par une sécante GH '** font avec celle-ci deux an-

gles intérieurs d'nn même côté BHG, HGD, dont la somme est égale à deux angles droits. Les angles alternes-internes BHG, HGE sont égaux, ainsi que les angles intemes-extemeshHBy LGD, et les angles aÂcnie«-f2r/«mf«LHB, EGK. Deux parallèles sont partout également distantes. La distance constante est mesurée par la perpendiculaire PE commune aux deux parallèles.

Un quadrilatère (fig. 17) qui a les côtés opposés pa-

B rallèles prend le nom de parallélogramme. Dans cette figure , les angles et les côtés opposés sont égaux.

On appelle losange (fig. 1 8 ) le parallélogramme qui a les quatre côtés égaox.

Le rectangle (fig. 19) est le parallélogramme qui a les angles droits.

Le carré (fig. 20) est le rectangle quia les côtés égaux on la losange qui a les angles droits.

On appelle diagonale toute droite AB (fig. 17 et 18 )

qui joint dans un polygone les sommets de deux angles non-adjacents.

Dans tout parallélogramme, les

I \ diagonales AB, CD (fig. 17) se cou-

/ \ pent mutuellement en deux parties

/ \ égales. Dans la losange (fig. 18),

[__, > g||gg' gu coupent i angle droit. Dans

^^ le rectangle , elles sont égales.

On appelle trapèze (fig. 21) un quadrilatère dont deux côtés seulement sont parallèles.

§ 3. Du cercle et de ses rapports de position avec diverses lignes droites.

Tout diamètre divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales.

Le diamètre est la plus grande de toutes les cordes. Une ligne droite ne peut couper une circonférence en plus de deux points.

A des arcs égaux, dans le même cercle, correspondcnl des cordes égales et réciproquement

Le rayon BM (fig. 22), perpendiculaire i une corde CD, divise cette corde et l'arc sonstendu CMD, en deux parties égales.

Une droite est dite tangente à une conrbe lorsqu'elle n'a qu'un point de commun avec celle-ci.

Toute droite qui coupe la circonférence porte le nom de sécante.

Toute perpendiculaire i l'extrémité du rayon est tangente à la circonférence.

Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs égaux.

Dans un cercle, il y a entre l'angle au centre et l'arc intercepté par ses côtés une liaison telle que l'un augmentant on diminuant, l'autre augmente on diminue dans la même proportion.

On peut donc prendre Tare pour mesure de Tanglc. Pour faciliter les évaluations numériques de cette mesure , on divise la circonférence en 360 parties égales appelées degrés : chaque degré en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes, chaque seconde en 60 tierces y et ainsi de suite.

Un angle droit vaut donc 90°.

La circonférence entière vaut 1296000 secondes. Un angle de 36» 21' 17" (prononces 36 degrés, 21 minutes, 17 secondes), qui équivaut à 130877 secondes, est donc les iHI^J de quatre angles droits, ou les f'HoT **"' '^^^^ **"* approximation grossière, les | environ d'un angle droit.

On a proposé anssi pour la circonférence une division en 400 parties égales appelées grades , chaque quart de circonférence valait 100 grades, chaque grade 100 minutes, chaque minute 100 secondes, et ainsi de suite. Cette division centésimale offre des avantages incontestables pour le calcul numérique, puisque l'on peut écrire sous forme décimale les nombres qui en résultent Ex. 67 grades 75 minutes 37 secondes et -^^ peuvent s'écrire ainsi 678^,75375. Néanmoins la division sexagésimale est employée presque exclusivement

On appelle inscrit l'angle dont le sommet est sur la circonférence.

L*angle inscrit a pour mesure la moitié de Tare compris entre ses côtés.

II en est de même de l'angle formé par une tangente et nne corde.

Tous les angles ABC, AB'C , AB"C (fig. 23) inscrits dans un même «e^swnr ABC sont donc égaux ; et tout angle inscrit dans la demi-circonférence est droit. L'angle formé par deux sécantes a pour mesure la

GEOMETRIE. —PLANS. —ARPENTAGE

MOine 00 U dlETéreoce de* trcf inlerceplés par cet deax Mfaotes, soivaat qne le sommet ett dtni Tintérieiir on à reitérieiir da cercle.

$ 4. Superfieiet des fyuret pfanes.

On appelle hauteur AH d*nii triangle ABC la perpendi-

^ culaire abaiuée d'un des som-

.t\ mets sor le c6ié opposé BC

. j ^x pris pour fraie. Le pied H de

/ i X la bautenr peut tomber en de-

" (fig. 25) do triaogle. ^

La hanteor d'oo parallélogramme est la perpendicolaire qui mesure la distance de deui côtés parallèles.

La hanteor d*nn trapèse eti aosai la distance des deox côtés parallèles.

On appelle aire on superficie Télendue de la surface plane occupée par une Bgure.

L'aire d*nn triangle est égale à la moitié du produit de Il base par la hauteur.

L'aire d'un parallélogramme quelconque est égale au prodflit de la base par la hauteur.

L'aire du trapèse est égale à la moitié du produit de U hauteur par la somme des bases parallèles.

Par ces expressions, on entend que si l'on multiplie l'on par Tantre les nombres qui représentent les rapports de la base et de la moitié de la hauteur d'un triangle, par exemple , i une certaine unité linéaire, le produit représentera le rapport de l'aire du triangle an carré qui a pour côté cette unité linéaire.

On appelle polygone régulier un polygone dont tons les angles et tons les côtés sont égaux entre eux.

Tout polygone régulier peut être inscrit dans le cercle ri peut lui être circonscrit, c'est-i-dire que ses sommets peuvent toujours être posés sur une même circonférence, 00 ses côtés être placés tangentiellement i une autre circonférence.

In polygone régulier a pour mesure la moitié du prodoit de son périmètre par le rayon du cercle inscrit.

Le cercle peut être considéré comme un polygone régulier d'une iollnité de côtés. Il a donc pour mesure la moitié du produit de la circonférence par le rayon.

Mais comment obtenir la circonférence lorsque Ton a le rayon? Au moyen d'un rapport numérique très-simple qui consiste à prendre les ^ on les }|| do rayon.

Le rapport Y a été donné par Archimède. Il est exact à moins de 0,01 près.

Le rapport }f ^ est dû i Adrien Uétius. Il est facile à retenir, car bn l'obtient en écrivant deux fois de suile chacon des trois premiers nombres impairs 113355, et ea léparant les six chiffres ainsi obtenus en deux tranches égales, dont l'une, celle de droite, forme le numérateur, et l'antre, celle de gaoche, le dénominateur. Le rapport 1-J-J est exact à moins de 0,00000 1 près.

Ecrit aw ec 7 décimales, le rapport de la circonférence an diamètre est 3,1415927.

li est anjoord'hoi bien prouvé que ce rapport ne peut ^trt exactement exprimé par aucun nombre ; mais on peot approcher autant que l'on veut de sa véritable valeur. Lndolphe Van Ceulen l'a calculé avec 34 , Lagny »ec 128 décimales ; enfin l'approximation a été poussée joiqu'A la 155« décimale, dans un manuscrit de la bibliothèque Ratclif i Oxford. Les 7 décimales que nous atoos données solBsent presqne toujours dans la pratique.

. La grande chimère de la quadrature du cercle consisterait à trouver, par des constmctions géométriques , la longnenr de la circonférence dont on a le rayon, ou, ce qui revient ao même, le côté dtf carré équivalent au («rcle dont le rayon est connu. Ce problème est impos-

sible, et il n'y a que des foos et des ignonati qni a'obstinent i en diercher la aointion.

Le secteur circolaire AMCO (fig. 26) a pour mesure la moitié do prodoit de Parc AlIC par le rayon.

L'aire de ce secteur est à l'aire do cercle comme l'arc AMG est à la circonférence entière.

Le segment circolaire AlfC a

pour mesure la dilTérence entre le

secteur AllGO et le triangle AOC.

On exprime par le symbole abrégé ic le rapport de la

circonférence an diamètre. On a donc , en désignant le

rayon par r;

Circonférence == 2 w r

Aire du cercle = iu r -

De même, en désignant par ^ la base et par A la baotenr des diverses figures qoe nous avons eo occasion de considérer, on a les expressions abrégées : Aire du triangle

Aire du parallélogramme = bk.

Aire du trapèze = 4 (^ 4- *') *•

(6' est la base parallèle à fr.) Aire dm pobfgone régulier eireûnserit = \ anr, a est le côté, ii le nombre des côtés, et r le rayon do cercle inscrit

Toute figure plane reetiligne pouvant être décomposée en triangles, on obtiendra l'aire d'one figore quelconqoe de ce genre en faisant la somme des aires des triangles dans lesquels elle a été divisée.

Au lieu de la décomposition en triangles , reprétenlée figure 27, on préfère souvent la décomposition en trian-

ss J on»

gles ou en trapèzes, dont la

figure 28 donnera une idée.

Alors Taire de la figure plane

est composée de la somme et de la différence d'un cer-

Uin nombre d'élémente triangulaires on trapéioïdanx.

S 5. Figures semblables, lignes proportionnelles et rapports des figures, SimuTuoB DBS naums. — Deux triangles sont dits semblables lorsqu'ils ont les trois angles égaux chacun à chacun. Les côtés opposés aux angles égaux, dans les deox triangles, sont appelés homologues,

La propriété fondamentale des triangles semblables , c'est d'avoir les côtés homologues proportionnels. Si donc les deux triangles ABC, DKF ( fig. 29 ) ont les angles A = D , B = K , ces deux conditions suffiront pour que les autres angles C et F soient aussi égaux , et pour que l'on ait les proportions :

DK : : BC : fiP DK : : AC : DP DF : : BC : £F La troisième est une conséquence des deux premières. Réciproquement deux triangles qui ont les côtés pro-

11 suffit même , pour U limililade', qae deox triangles aient un angle égal compris entre côtés proportionnels.

La position détermine la similitude des triangles dans certains cas , ainsi : deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont les côtés parallèles ou les côtés perpendiculaires chacun i chacun.

Une ligne DE , menée parallèlement i la base DC d*nn triangle ABC (Gg. 30), détermine le triangle ADE semblable au triangle ABC , et les triangles ADI , ADG, etc., semblables aui tiianglcs ABH, ABP, etc., de sorte que les côtés AB , AG , et même les lignes AP , AH , etc. , sont divisés proportionnellement aui

AC

1^ points D, E, G,

proportions AE : : AF : AG

On a donc les

AH : Al , etc.

CE : AE : : FG : AG : : Hl : AI , etc.