U DU

— c=0, --=5fcosgr,.

Par conséquent, les équations de Lagrange (n"" o) :

' Dgr; DT __^ DU

rff ^qi D^f,.

nous donnent pour les équations du mouvement :

rf(cos' q^ . q\)

dqt ,,

— - -+- cos gt sm q^ .q^^^ g cos q^

dt .

De la première on tire :

g', .cos'qfj=sc,

d'où, en substituant dans la seconde, il vient :

dq', c*

' sing,.-— 5— «jfcosgs,

cos" 9s

OU bieD :

fPq^ c' sin q^

En intégrant, on a :

VaW cos'flj

d'où:

dq,

dt =

âjf sin 9, -— -4- c

cos' 9t

C'est réquation que Ton obtient par la méthode ordinaire.

Appliquons maintenant le théorème de Jacobi, et, à cet effet, reprenons l'expression :

et posons :

d'où :

Par conséquent,

T=-(cos'î,.ç;»-4-9;«),

ces' 9i 9« = p««

T-l(-4-H-pî).

2 \cos* o, ^ y

C'est la fonction T exprimée en fonction de Pi, fs, 9i, 9s.

La fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps, réquation différentielle partielle de laquelle dépend la solution du problème est (n"" 58) :

as js

dans laquelle on remplacera pi , pj , par ^ , ^ , ce qui nous donne Téqualion :

2 cos* qt \Dqf,

dont il faudra trouver une solution complète, renfermant, outre la constante àdditive, une constante arbitraire. D'ailleurs, si nous posons :

nous aurons :

p\ sin qr, cos' 7j

Dpi

Pi cos*

Dp,

— flfcosç,,

et les équations du mouvement pourront être mises sous la forme :

dqi ^ Pi dq^

dt cos* 9s dt

dpi^ dp, pi sin q, ^/« dt cos' Çî

gf cos çj

Pour intégrer Téquation aux dérivées partielles, nous observerons que S peut être considérée comme la somme de deux fonctions d'une seule variable chacune, savoir une fonction de 9i et une fonction de q^.

Posons donc :

S = Qi + Q„

et nous aurons, en désignant par Ql, Qt les dérivées de Qi, Qj respectivement par rapport à qi , ^^ •

^-^Q;*+5Qi'-i/sin9, = A.

2 cos 9s 2

(98 ) On peai satisfaire à cette équation, en posant :

cos'qfj 2

d'où l'on tire, puisque ces équations ne renferment chacune qu'une seule variable :

Qi = q, V/âp ,

Qi = / «'ît V 2fc -♦- 29 sin g, ^ —

Par conséquent, l'expression :

S=gjV/2S-*- f dq\/ "^h -^ '^Ig sm q^ 7— -+- r,

sera une solution complète de l'équation aux dérivées partielles. Les intégrales du problème seront alors :

ou bien :

""'^ y eos'^V---»--- ^p

2A -t- 2^ sin q^

cos* 9s

dqt

V/ 2A 4- 2j sio jf, ^

" t ces flfj

•&• Mouvement d'un point matériel attiré par deux centres fixes en raison inverse des carrés des dislances, le point se mou^ vont dans un plan passant par les deux centres.

Prenons le centre pour origine de deux axes rectangulaires, et soient a, 6 les coordonnées du second centre C. Le point mobile m est attiré vers le centre par une force ^, et par le centre C par une force p , en posant Om ^=q^^ ei Cm = q^.

La fonction de force est donc :

La demi-somme des forces vives T a pour valeur :

Cherchons à exprimer T en fonction des variables 91, 93, et de leurs dérivées 9I, 9^. On a :

X» + y' = 9Î, (x — a)« -♦- (y — 6)' = q\\ d*où:

xx' -+- yt/' = q,q\, (x — a) x' + (y — 6) y' == q^q'^.

On en tire :

. gt?î(!/ — ^) — w»y ./ q%q\^ - qiq\[x ^ a)

ay — bx ay — 6x

Par conséquent,

i qlqlqi'*' q^lq? — ^qiqiqWi j y (y — ^) -^ x (x — g) j 2 {ay — bxy '

or, si nous désignons par / la distance OC, on a :

2 [y{y - 6) ^- x(x — a)] = 2x» -+- 2y' - 2ax — Uy = çj -♦- ^j — /«,

et, par suite,

T, ^ qlqlq't^ -^ qlqlq? — qiqiqWtjq l -*- q\ — /')

(iOO)

puisque Ton a :

2A =ai/ — 6x,

A étant Taire du triangle OCm.

Mais, on a aussi :

d'où:

C'est la valeur de T en fonction de 9ii 9s, 9i, 9s-

Si nous posons :

dT dT

nous aurons :

Pi-=2

Pt=»2

En représentant le dénominateur par D, il vient :

Dp,

^iqlql -t -y 9i9«(9î -*- 9î — 49Î9Î — 9Î9Î(9Î-^9Î-0'

ou bien, en observant que D = 4gîgî— (gj+gî — Pf est facteur commun aux deux termes, et divisant par q\q\ :

.9;-=P.-*-ïj^(9?-*-9Î-0,

9« =» Pt -*-

2gig, Pi

^qiq*

( iOi )

Substituant ces valeurs daus T, nous aurons T en fonction

'ïu

Pî

La fonction de force U ne renfermant pas explicitement le temps, l'équation de laquelle dépend la solution du problème est:

en remplaçant dans T les quantités Pi^Pa, respectivement par ||-, jI". On obtient ainsi l'équation aux dérivées partielles :

('l]\('l]\'l'±.lLL±z£.^J^^^t)^^. (A)

\^J xaqj Dgi Dg, qiqt \qi qj

Remarque. — On peut obtenir cette équation de la manière suivante :

L'équation T — Us=A nous donne, en coordonnées rectangulaires :

9if 99 étant des fonctions de x et de y.

Transformons cette équation de manière à prendre 91 , q^ pour variables indépendantes. Nous aurons:

D^i Dx DS dq^i

dÇj dX

Dgr, Tiy

X — a dS

q% ^qf y — 6 ;)S

et en substituant dans l'équation précédente (B), on trouve facilement l'équation (A).

11 s'agit maintenant de trouver une solution complète de l'équation (A), renfermant une constante arbitraire, outre la constante additive.

Or, on peut la mettre sous la forme suivante :

posons d'où ;

DS DS D/* ;)S ^g DS DS Dqr, D/' Dg, Dgf D7, D/" Djf

L'équation (C) nous donnç alors la suivante :

Pour trouver une solution de cette équation, nous poserons S = F-+-G, FetG étant deux fonctions respectivement de fei g^ qui seront déterminées par les équations :

et nous aurons :

hg'

rfgf -4- C.

Les intégrales du problème sont alors :

DS DS

d1 = ^' 3-Â = '-'" et l'on voit que la solution dépend des fonctions elliptiques.

Théorème de M. Darboux.

\. Le premier théorème de Jacobi (n"" 4t) peut s'énoncer de la manière suivante :

Étant donnée l'équation :

— H- H Ui, gr^ , ... qr^, —, .•. =0,

remplaçons dans la fonction H les ^ par p„ et intégrons le système des Sk équations différentielles ordinaires :

Ùl^^^, Ù!i=— — . (2)

dt ;)p/ dt Dç/

L'intégration de ces équations (2) nous donnera les varia^ blés p,, q, en fonction de t et des valeurs initiales p% q^ des p^, q, pour l = (q.

Formons ensuite l'intégrale :

Nous pourrons exprimer V en fonction de t ef des 2k gtian- ^t/és q?, p^; mais des k formules qui donnent qi, q,, ... q^, on peut tirer pj, pj, ... pj, en fonction de t, qj, q,, ... q*, qj, ... qj, c^ par suite exprimer V en fonction des 2k +1 quantités :

La fonction Y ain^t obtenue sera une intégrale, contenant k com/an/e5 arbitraires qj, qî, ... qj, de l'équation aux dérivées partielles (1), e/ alors, les intégrales du système (2) pourront être mises sous la forme :

La démonstration de Jacobi repose sur la considération suivante :

Supposons que l'on fasse varier inGniment peu les valeurs des constantes qui figurent dan« les expressions des p, et des ç^; la variation de Y, considérée comme fonction de ces arbitraires, est donnée par la formule :

Or, si Ton exprime Y en fonction des 9^ et q^ on a aussi : De ces deux formules on déduit la suivante :

de laquelle Jacobi conclut les équations :

Mais, comme Ta remarqué M. Mayer, cette conclusion n'est exacte que si les variations Sqt et ôq^i sont indépendantes les unes des autres, comme le sont les dq^f et les d/??. Cherchons donc quelle est la condition qui doit être vériûée pour que cela ait lieu, c'est-à-dire pour que le théorème de Jacobi soit applicable.

On a :

par suite, si les Sqi sont indépendants des ^g-, il vient :

<^ï*=r^^/>î ■*- ~o ¥^ -*- - -*- ri^K' Dp" ^pi ^Pk

pour t=sl,2, ... k.

Maïs, les d/>J sont indépendants les uns des autres, ce qui ne peut avoir lieu que si le déterminant des coefficients :

est différent de zéro.

Mais, si R est différent de zéro, les g^ s'exprimeront en fonction des p? sans qu'il existe aucune équation de condition entre les q, (n"^ 50). Donc, si R est différent de zéro, il n'existe aucune équation de condition entre les g^, et par conséquent les iqi sont indépendants les uns des autres.

Donc, la condition pour que les dq^ soient indépendants les uns des autres et indépendants des dq% est que le déterminant R soit différent de zéro.

D'ailleurs, les p? peuvent être exprimés en fonction de ^, des qt et des gj. Or, si l'on reprend les équations (2), les 2A constantes arbitraires des intégrales de ces équations pourront être exprimées en fonction des 9^ et des pj; mais, les pî étant exprimés en fonction de t.qt et 9^ il en résulte que les 2k constantes d'intégration peuvent être exprimées en fonction de ^ 9, et 9?.

C'est ce qui arrivera lorsque la fonction H est telle que le déterminant :

R' = \ J!L J!!L... J!L, est différent de zéro. Car, en posant :

op4 Dp, ;ipt

on a :

^ Dp, Dp, Tipt

Or, si R' est différent de zéro, les /) s'exprimeront en fonction des Pj, sans qu'il existe aucune relation entre les /) : ces fonctions fi sont donc indépendantes les unes des autres (n"" fto). Par conséquent, les équations :

■* *« rf j "

OU, ce qui est la même chose, les équations :

dqi DH dqM dH

dt Dpi ' ' dt Dp*

sont compatibles, et serviront à déterminer les pi en fonction de t^ 9i, ... 9*, q[^ ... 9J[. On en déduira donc pour les p< des expressions de la forme :

Pi = fond, (f , g,, ... g*, q[, ... gj);

par conséquent, ^ est une fonction du second ordre, et les équations canoniques (2) nous donneront k équations du second ordre entre ^ 94, ... q*.

Mais, ces k équations du second ordre nous donneront k intégrales renfermant 2A constantes arbitraires, c'est-à-dire des relations entre ^, 91, ... 9* et les 2k constantes arbitraires. On pourra donc, en faisant 1^=^(0 dans ces k intégrales, en déduire k relations entre les 2k constantes arbitraires et ql^ ... qi. Nous aurons ainsi SA équations entre les 2k constantes, les 9. et les q% et, par suite, nous pourrons déterminer ces 2k constantes arbitraires en fonction de ^ 9^ 9'* Donc, si R' est différent de zéro, on peut déterminer les 2k constantes d'intégration en fonction de ^, 9,, q%

Au contraire, si R':=0, les fonctions fi ne sont pas indépendantes les unes des autres, c'est-à-dire qu'il existera enlre les fonctions /) une ou plusieurs relations indépendantes des p^ On pourra donc éliminer un certain nombre des p, entre les équations :

et l'on obtiendra ainsi entre ^ 9^9^ un certain nombre de relations sans constantes arbitraires. Il en résultera, par conséquent, que les expressions des 9^ ne renfermeront plus 2k constantes arbitraires.

Ainsi donc, la condition pour que les 9^ et les 9^ soient indépendants les uns des autres, et, par conséquent, les ^9, et les ^9^, est que le déterminant R' soit différent de zéro. Si R'=0,

.^id

les qt et les 9Î ne sont pas indépendants les uns des autres, et alors on ne peut plus écrire les 2A équations :

et, par conséquent, la méthode de Jacobi est en défaut.

M. Mayer a remplacé cette méthode par une autre qui ne présente pas les mêmes objections, et que nous exposerons plus loin. •

e7. Mais, M. Darboux f ) a montré qu'en faisant subir une modification à la méthode de Jacobi, on peut la rendre applicable dans lous les cas.

Supposons que l'on ait intégré les équations :

dt :)pi ' dt ^i

c'est-à-dire que l'on ait trouvé 2A relations entre les quantités t,q,,p,,qUipl

Supposons que n de ces relations puissent s'exprimer indépendamment des Po />°9 6t soient :

Fi(^ ?i, ...?*, 95, ... ?J) = 0,

Fî(^ gi, ... g*, gî, ... ?*)==o, /jv

F„(f, (jf„ ... qr*, gr}, ... 9Î) = 0, I

ces n équations.

On peut, de ces n équations, tirer les valeurs de n des quantités qU par exemple gî, ... gî, et l'on aura :

Fi = /!(«, gi , ... g*, gî+i, ... gî) — 9; = 0,

Fi = A(^ g*» ••• g*, gî+i> •• g?) — gî = 0,

F, = Ut, çt, ... 9*, 9Î+., ... gj) — 9Î = 0.

n CompUê rendu*, 18 janvier 1878, |>. 160.

Alors les 2k quantités 9,, 9? ne peuvent plus être considérées comme indépendantes les unes des autres, n d'entre elles pouvant être exprimées en fonction des autres.

Considérons maintenant, comme dans la méthode de Jacobi, l'intégrale :

V=y(2M:-H)(lf,

et exprimons la fonction Y en fonction des g^ ??• Nous aurons, comme dans la méthode de Jacobi :

d'où Ton tire, comme précédemment :

Or, les $qi et àq] n'étant pas indépendants, on ne peut pas égaler les coefficients à zéro. Mais on a, entre ces variations, les n relations :

jç. H- ... -♦- — (^7* + — Jqfî -I- ... -♦- — (^çî — O,

—^qi + - ■*- :;t^?* -*- wT^îî -*- - -*- — V*=o,

oqi oqt oqi dqt

par conséquent, en désignant par \,\^ ... X» des multiph'cateurs, et raisonnant comme d'ordinaire, il viendra :

r- — Pi + A* — 4. ...-|.A„ — = 0, (6)

dqi dqt dqt

()V DFi î^F

Ces équations, au nombre de 2X;, jointes aux équations (4), permettront de déterminer les 2j;+ n quantités :

en fonction des 2& quantités :

Çi > ••• Çi» 9«+i > ••• 9*» ^i> ^> ••• ijf

Elles donneront donc les intégrales des équations (2).

Or, ces 2A: quantités en fonction desquelles toutes les autres sont déterminées sont indépendantes les unes des autres ; par conséquent, il ne peut exister aucune relation entre ces 2k quantités, et, par suite, toute relation où elles entreront seules devra être identiquement satisfaite.

Cela posé, suivons pas à pas la marche de Jacobi. Nous aurons:

dW dq,

dq%

dqi

or.

Par suite,

dV dt

DV dq, D^i dt

DV rf£j Iqk dt

DV dq, Dfi dt

^y^dqt ^ dqt Dgr* dt ""''* dt

'^ dt