IH

Il en résulte, d'après ce que nous avons dit pins haut, que cette équation (8) sera identiquement satisfaite.

Or, si Ton considère \ , ... \ comme des constantes, Féquation (8) exprime que la fonction :

V + >/, -4- A,/; -*- ... ^- x„f„, satisfait à l'équation aux dérivées partielles :

elle sera, par conséquent, une intégrale de cette équation, et nous aurons le théorème suivant qui est dû à M. Darboux :

Théorème. — Étant données les équations différentielles

ordinaires :

dqi ;)H c(Pi î^H

dt iipt dt df,

supposons qu^on les ait intégrées, et que des intégrales on puisse déduire n relations distinctes, et n seulement, entre les varia^ blés qi , qt , ... q* , et leurs valeurs initiales. On mettra ces rela' tiens sôus la forme :

Fi = fi («, ?i, 9«, .-. qty ?î+i, ... qî) — gî = 0, F, == ft(ty ?i, 7«> • • ?*> 9Î+i> •• ?î) — ?î = 0,

Fn = fnih qij qu «.. ?*, 9Î+0 ... ?î) — ?i = 0, et l'on calculera l'intégrale :

Cette intégrale pourra toujours s'exprimer en fonction des variables qi, q,, ... q*, qî+i, ... qî. Cette expression de V étant obtenue, les intégrales générales du système des équations diffé" rentielles pourront être mises sous la forme :

DV DFi DF, DF„ Pj -— — = A4 -f- Aj -f- ... -f- A„ 9

^i ^i ^qi ^i

. DV DFi DF, DF„

'35? '3ÇÎ '^Jjî "jç*

(Ii2) et, en outre, la fonction :