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dans laquelle Xj, ^, ... ^« sont des constantes arbitraires, sera une intégrale de l'équation différentielle partielle :

OÙ l'on a remplacé dans H , p, par ^ . -

Théorème de M. Mayer.

es. Soit H(^ qi, ... 9i, Pi, ... Pi) une fonction donnée des 2A;+ 1 variables r, (/<, p^, et soient données entre ces variables les 2k équations différentielles ordinaires :

dt "^ Dp/ dt Dqf,

Supposons que Ton ait intégré complètement ces ik équations; on aura ainsi 2k intégrales renfermant 2ft constantes arbitraires. Exprimons ces ik constantes eu fonction des valeurs initiales gf, pf, que prennent les variables 9,, p^, pour la valeur choisie arbitrairement to de t.

Nous aurons ainsi les équations :

qi = fonct. {t, toy q% q\, ... qî, pî, ... pj), Pi = fonct. (e, fo, 9Î, 9Î, ... qU PÎ» .• PÎ).

Nous les représenterons par :

où les [qil et les [pJ sont des fonctions déterminées de t, t^,, q% p% telles que, pour ^ = /o, elles se réduisent respectivement à g< et p^

(il3)

Nous emploierons doréDavant les crochets pour indiquer les résultais que Ton obtient en remplaçant jo,, 9, par les valeurs (2). Il est d'abord évident que le déterminant :

qui, pour /= ^oi se réduit à Tunité, ne peut jamais être nul. Il en résulte donc que les équations :

sont compatibles, et, par suite, en les résolvant par rapport aux k quantités 9^ on en déduira les valeurs de ces k quantités. Cela établi, posons :

,3 J (S ^Pi )

et calculons la fonction Y en fonction de :

ce qui se fera évidemment au moyen des équations (2). Nous aurons donc, en vertu des notations adoptées :

Désignons par c une quelconque des constantes 9- , p", et nous

aurons, en différen liant par rapport à c :

Or, on a :

Mais [H] n'est autre que la fonction primitive H dans laquelle

on a remplacé les p^, g^, en fonction des p^ 9?; nous aurons donc :

par conséquent, D'autre part, en vertu des équations (1), on a :

bîJ

ôc iJPij ^c dt dt De

par suite,

d % J 4pJ d[9 J

de a< De

^|2wg.]-mj~2lw^

En intégrant entre les limites (q et t, il vient, pour le second

terme du second membre de ^ :

/st2w[s]-™i'"-/-2Mt

tu h

H2M%'i:=2Îwf-K||

(*) On doit, dans le second membre de cette formule, renfermer toutes les quantités entre 'crochets, puisque ce second membre doit comme [H] être exprimé en fonction des qi^ pf.

en observant que, pour l=to, [pi] el [çj se réduisent, par hypothèse, à p? et g?.

On a donc enfin :

De oc ^^ ^* ( oc De )

Or, si, dans cette dernière formule, on fait c=»ql, il vient : OU bien :

Si, dans la même formale, on fait c =apj!, on obtient :

D'autre part, si dans la fonction Y, exprimée en fonction de I, ^01 9i) ••• 9*9 Pli ••• pU on remplace les 9? par leurs valeurs tirées des équations (3), elle devient une fonction de /, ^01 9i9 — 9*9 pîi — Pki que nous pouvons représenter par (V). Il est d'ailleurs évident que la fonction (V) se réduit inversement à la fonction V primitive, si l'on remplace dans (Y) les quantités 91, ... 9^ par leurs valeurs (3), c'est-à-dire par :

Par suile, on a, en appliquant le théorème des fonctions de fonctions :

^ ^ p(V)1 D[gJ

' (*) Les crochets des seconds membres indiquent que ces seconds membres doivent ôtre exprimés comme les seconds membres des valeurs trou-