La théorie que nous venons d'exposer nous permet

d'obtenir les éléments en fonction du temps de la manière suivante :

Exprimons Q, au moyen des formules du mouvement non iroubléj en fonction des éléments b^, ... b„, c,, ... c„; remplaçons ensuite les quantités b|, bj, ... b„ par les expressions :

dw m DW

et formons l'équation aux dérivées partielles :

Si W est une solution complète de cette équation, renfermant, outre la constante additive^ n constantes arbitraires ol^, a^i •• ^nf

les équations :

DW DW

^Cl ^c„

DW DW

~— =Po ... - — =13„, Da^ Da„

c/ans lesquelles (3|, p,, ... {3„ son/ t/e nouvelles constantes arbitraires y sont les intégrales qui détermineront les éléments variables.

191. Nous avons vu (n"" te9) que, si Ton choisit comme éléments les valeurs initiales des quantités 9,, p,, les équations différentielles qui déterminent ces éléments prennent, dans tous les problèmes de mécanique auxquels le principe des forces vives est applicable, une forme simple analogue aux équations canoniques.

Or, les valeurs initiales des p,, 9, ne forment pas le seul système d'éléments dont les équations différentielles ont la forme canonique. Nous nous proposons de voir comment Ton pourra trouver les différents systèmes d'éléments pour tout problème de mécanique auquel le principe des forces vives est applicable.

Cette question se résout par le théorème suivant, qui est de la plus grande importance dans la théorie de la variation des constantes arbitraires.

19 1. Théorème. — Soit H| une fonction de t et des quan^ tités q, , Pi , et soient :

dt ~~ Dp~'

dpi DH|

dt ^i

les équations différentielles du problème non troublé, desquelles on déduit les équations différentielles du problème troublé, en remplaçant H| par H| + û, û étant une fonction quelconque des 2n quantités qi , Pi , et de t.

Soit W une solution complète de l'équation :

dans laquelle les Pi qui entrent dans Hi, ont été remplacés

Soient ai, a,, ... a„, /e« n constantes arbitraires qui, outre la constante additive, sont contenues dans W, et soient :

dw dw dw

les intégrales du problème non troublé, (3|, P,, ... j3„ étant de nouvelles constantes arbitraires.

Si, au moyen de ces équations et des équations :

Oh exprime la fonction perturbatrice Q en fonction de i, et des éléments a, , Pj , et si l'on considère dans le problème troublé ces

éléments comme variables, on a, pour déterminer ces éléments les équations différentielles :

Dans les formules précédentes (n"* ie9) les constantes a des intégrales du problème non troublé étaient les valeurs initiales des qt. et les constantes P étaient les valeurs initiales des p^ changées de signe. Dans ce cas, le théorème que nous venons d'énoncer donne les formules (2) que nous avons obtenues (n"* 109), et dans lesquelles les valeurs initiales c,, 6, des q^ et p,., sont considérées comme les éléments troublés.

Pour démontrer le théorème actuel, nous conviendrons de renfermer entre parenthèses les dérivées partielles de W considérée comme fonction de t et des an constantes a, (3, et d^écrire ces dérivées sans parenthèses, lorsque W est considérée comme une fonction de /, des n quantités 9, et des n quantités a,- .

On a donc, d'après cela :

/DW\ DW DW Da, DW Dr/„ ( — I = 1 ; |- .. H L. ,

'DW\ DW D7, DW Dy„

.Dp7/ ""37, ^pk^""^ Dqr, Dp/

OU bien, en vertu des intégrales du problème non troublé, qui ont aussi lieu sans altération pour le problème troublé, avec cette ditférence que les éléments y sont considérés comme variables,

DW\ Do, :>qi D(/

DW\ D^i :iqi D7„

DpJ '*D|3* ^'dP, '"^p,

Or, si a, ^ désignent deux quelconques des 2n constantes arbitraires, on a :

^ ^ Da Op Da Dp Oa D^

\Dj6 Dp Da Dp Da Dp

\ Da Da Da /

Da .

Faisons maintenant les trois hypothèses :

les éléments a,., p, ayant la signification indiquée dans l'énoncé du théorème.

Nous aurons, en observant que les termes provenant de la différentiation double de W, se détruisent :

[«.•,«*] = 0, [p., P*] = 0, [a,,pj = 0;

mais, pour A: = i, on a :

Par conséquent, pour (3 = a^, l'expression [a, (3] est nulle, excepté dans le cas où a =» (3,. , et alors elle est égale à l'unité :

D'autre part, pour (3 = (3,, l'expression [a, pj est nulle, excepté pour a = «f , et alors elle est égale à — 1 ;

La formule de Lagrange (n'' 159) :

Dous donnera, en remplaçant successivemenl a par les 2n éléments, les 2n équations différentielles :

dû

Doj-

Dû

doLi

Dp,

et le théorème est démontré.

198. Remarque. — D'après la formule de Poisson (n"* lei), on a :

par conséquent, si Ton remplace sous le signe H successivement (3 par les %i éléments, il résulte des équations précédentes (3) que, si l'on prend pour les éléments les constantes arbitraires 0c,, ^i du théorème ci-dessus (n"* I9t), on aura les équations identiques :

(«,, of,) = 0, ((3,, pO = 0, (a,,p*) = 0,

tandis que, pour A=:t, on a :

Les formules que nous venons de trouver sont d'une grande importance dans la théorie de la variation des constantes arbî' traireSf et dans l'intégration des équations différentielles du problème troublé.

Tout système analogue d'éléments s'appelle système cano^ nique.

194. Propriétés. — Les fonctions de Poisson [ai^a^) dans lesquelles a,, a^ sont deux éléments ou deux constantes arbitraires « jouissent encore de plusieurs propriétés remarquables.

l"" Elles sont indépendantes du choix des variables 9, c'està-dire qu'elles restent invariables, quelles que soient les positions des points matériels que l'on prend pour les variables 9, pourvu que la signification des éléments n'en soit pas changée;

2® Elles dépendent simplement des deux éléments a,, a*, de sorte que la valeur de l'expression (a,, Ot) reste la même, quelles que soient les constantes arbitraires choisies pour les autres éléments.

Pour démontrer la première propriété, remarquons que, d'après la formule de Poisson (n® tet), les quotients différentiels des éléments variables sont égaux à des fonctions linéaires des dérivées partielles de la fonction perturbatrice û, prises par rapport à ces éléments, et la fonction (a^, a^) est le coefficient de ^ dans l'expression de ^ . Pour former ces dérivées, on doit exprimer Q en fonction des éléments et de /, et l'expression ainsi obtenue est complètement indépendante des fonctions des coordonnées des points du système que l'on a choisieis pour les variables q.

La fonction Q peut être une fonction arbitraire de t et des 2n quantités q,^ p,, laquelle peut, d'après cela, être une fonction arbitraire de t et des 2n éléments.

Les fonctions (a,, a/) sont enfin tout à fait indépendantes de la fonction perturbatrice û, et sont simplement déterminées par les formules du mouvement non troublé.

Supposons que, par un choix des variables 9, on ait trouvé :

— — ^= A| h Aj j- . ,. -I- ^j^ ,

et que, par un autre choix, on ait :

da^ dû Dn Dû

-7- = Bi — -4- Bj —^ -4- ... -f- B||^ — > dt Dai Dtts dttiK

on en déduira :

A|, B|, ... Ate, B,. étant des fonctions de t et des éléments

Comme, dans cette dernière équation, Q peut être une fonction quelconque de ces mêmes quantités, on doit avoir :

A| = B, , As = Bj , ... Aj» = Bj,. (4)

Comme les A^, B, sont déterminés uniquement par les formules du mouvement non troublé, et que ces formules du mouvement non troublé n'établissent aucune relation entre ai, a,, ... a,, et t, c'est-à-dire entre les constantes arbitraires et le temps /, il s'ensuit que les équations précédentes (4) doivent être des identités; et, par suile, les coefficients A, sont indépendants du choix des variables 9,.

Il est bon d'observer que, dans la démonstration précédente, nous n'avons pas eu à faire usage de la propriété que les coefficients A, sont indépendants du temps.

La seconde propriété des fonctions (a,, Ot) résulte immédiatement de la formule :

D71 Dp, Dy, Dp, ^„ Dp„

Cette formule nous apprend que pour obtenir (a,, a^^), il suffit de connaître les expressions de a,, Ou en fonction de ^ ç,, p,, par conséquent, de connaître seulement deux intégrales du mouvement non troublé. On n'a donc pas besoin de connaître quelles sont les constantes arbitraires, ou les combinaisons de ces constantes que Ton choisit pour les autres éléments, c'est-

à-dire quelles sont les fonctions de f, 9,, p^ <]uii égalées à des constantes arbitraires, en vertu des intégrales du problème non troublé, sont prises pour les 2n — 2 autres des quantités Oi^Qi^ ... atM. Il n'est pas nécessaire non plus d'avoir trouvé les autres intégrales du problème non troublé pour obtenir la valeur de (a^, Qi), Mais, si l'on veut exprimer (a,, a^) en fonction des constantes arbitraires seulement, il faudra connaître les autres intégrales.

195. Les fonctions de Lagrange [ai,a^] jouissent aussi de la première propriété que nous avons démontrée pour les fonctions de Poisson, c'est-à-dire qu'elles ne changent pas de valeur quelles que soient les fonctions des coordonnées que l'on prend pour les variables indépendantes qi, q^, ... q^*

Cela résulte évidemment de ce que les formules de perturbations de Lagrange et de Poisson peuvent être déduites les unes des autres par la résolution de 2n équations linéaires. Les fonctions [a,, aj et (£7|, a^y peuvent donc être exprimées les unes en fonction des autres; par conséquent, si les valeurs des unes sont indépendantes du choix des variables 9^, il en sera de même des autres.

Remarque. — On pourrait d'ailleurs démontrer directement cette propriété en raisonnant comme nous l'avons fait pour les fonctions (a,, a^) de Poisson (n"" 194).

t9S. Propriété. — Les quotients différentiels partiels de la fonction perturbatrice satisfaisant aux formules de Lagrange, ne peuvent être exprimés que d'une seule manière en fonction linéaire des quotients différentiels des constantes, par des équa^ lions dont les coefficients sont indépendants du temps.

Supposons que les quotients différentiels du premier ordre des qi restent invariables, soit que l'on considère dans leurs expressions en fonction des éléments et du temps, les éléments comme constants ou comme variables.

Nous aurons donc entre les éléments et le temps les n équa* tions suivantes :

'^ du, '^ da,

^-i' da.

Df/

- rfa^n = 0,

în

dttin = 0,

Or, en ayant égard à ces équations, on peut démontrer que J'on ne peut avoir deux équations :

Dû doi ddi

=^ i-H — - — "f" \Jf "Z —

Dttj dt dt

Da dai

Dttj dt

dùf

rfî

dans lesquelles les D^ soient différents des C,, si l'on ajoute la condition que les C, et les D, doivent être simplement des fonctions des éléments a^, a,, ... a^^^ ne renfermant pas le temps, propriété qui a été démontrée (n"" 158) pour les [a,., a^]. ^ Si nous posons :

Cf — D| = E|, Ca — Dj =s Eï, ... Cj,, — Dj„ = Ej„,

nous aurons à démontrer que des n équations différentielles (5), ou ne peut pas tirer une équation différentielle :

Eidtti + E^da^

^înda^n = 0,

dans laquelle les coefficients E^ ne renferment pas le temps r, mais sont des fonctions de ai, a,, ... a^^ seulement.

Or, en général, on obtient une équation de la forme (6), au moyen des n équations différentielles (5), en multipliant ces équations respectivement par n facteurs Nj, Nj, ... N», qui

peuvent être des fonctions quelconques de a^, a,, ... a., /^ et ajoutant.

On a alors :

Dqf,

.T ^(li

^ dai

Dqf,

Dqfs

Pour que les seconds membres de ces équations ne contiennent pas le temps t, on doit avoir les 2n équations suivantes :

iitti

oa»

Do, '30,

Dg;

dans lesquelles nous avons posé :

Dqf,

Mais, des 2n équations (7) on peut éliminer les 2n facteurs

N,, NJ, Nj, n;, m. N„, n;, et l'on obtient une équation dififéren-

tielle entre les quotients différentiels partiels de Çi, 9,, ... 9., çii 92* «•• 9I P^i* rapport à a^, a,, ... a,. . Celte équation dont le premier membre est un déterminant fonctionnel nous apprend (n"" 50) que, entre les quantités 91, g^, ... q„y q[^ 9^, ... 9I, il existe une relation indépendante des a^, a,, ... a,„, mais qui peut cependant renfermer la quantité t.

Si Ton remplace gl, g^, ... q'n par leurs valeurs (5) (n*" t5e) :

Dp, Dp„

on obtient une équation entre les quantités 9,, />, et /, sans constante arbitraire, laquelle équation résulterait des intégrales complètes du problème non troublé. Mais cela est impossible : car, on ne pourrait obtenir une telle équation au moyen des équations différentielles du problème non troublé, que par une intégration, et cette intégration devrait introduire une constante arbitraire.

Remarque. — Si, considérant les a^ comme variables, l'on pose les fonctions g, , 9,, ... q^ égales à des constantes arbitraires, et si l'on suppose en outre que t est aussi une constante arbitraire, on conclut de ce qui précède le théorème suivant :

Théorème. — Soient 2n variables a,, aj, ... b^^ et soit Véqua^ tion différentielle :

Eirfai -*- Ejdaj -h ••• ■+- Ej^rfo,» = 0;

supposons cette équation intégrée par un système de n équations :

9i = <^ij 98 = Cj, ... 9„ = c„,

dans lesquelles C|, c,, ... c^ sont des constantes arbitraires qui n'entrent pas dans les fonctions qi, qt, ••• qn*

Si ces fonctions renferment une constante arbitraire t, tout à fait indépendante de C|, c,, ... c„, il doit exister une relation entre les 2n quantités :

tHK. Propriété. — Les quotients différentiels des constantes dans les formules de perturbations de Poisson, ne peuvent être exprimés que d'une seule manière par une fonction linéaire des dérivées partielles de la fonction perturbatrice û, dont les coeffi^ dents sont indépendants du temps.

Nous allons démontrer que, même dans le cas ordinaire, où la fonction Q ne renferme pas les p<, on ne peut pas obtenir les deux équations :

dt Dai DfiPs

dai dû dû -- — = B| — -4- Bji 1-

dt DOi DOi

Dû A.-' — »

^Ss

sa Bj„ — -•»

dans lesquelles les Â„ B^ sont différents, si Ton ajoute la condition que les coefficients soient simplement des fonctions des a,, ne renfermant pas /.

Puisque Q peut être une fonction quelconque de Oi, a,, ... a,., t^ telle que, par la substitution des expressions de a^^ a^, ... a,», en fonction de g,, 9,» ... 9., pi, p,, ... p, , f, les p^ disparaissent d*elles-mêmes, on peut considérer Q comme une fonction de tti, o,, ... ajn, t satisfaisant aux équations :

TiO.

Da,

lia

dai

î)pi

Das

^Pi

^au

î^Pi

Dû

:ia^

Dû

^ia^

lin

^flu»

Dai

Das

^Pf

^Pt

Dn Dai Dn DO) Dû Da^,

Da, Dp„ Dttj Dp„ Da,„ Dp„

Si Ton pose :

A, — Bi = Fi, Aj — B, = F,, ... Aj« — B,„ = F,„,

nous aurons à démontrer que des n équations différentielles (8), on ne peut pas tirer une équation différentielle :

m Dû Dii

dans laquelle les F, soient simplement des fonctions des a^ ne renfermant pas t.

Or, on obtient une équation de là forme (9), au moyen des équations (8), en multipliant ces dernières par des multiplicateurs &!, ki, ... k^, qui peuvent être des fonctions des a, et de ^ et ajoutant. Nousaurons ainsi les 2n équations :

F, = «1 — -f. ATî h ••• -4- «„ — »

Dp, Dpî Dp„

Da, DOj Da,

Dp, Dp, Dp„ ) (10)

Da<« Da,^ Da,,

^P^ ^P2 ^Pn j

Imaginons 9i, 9,, ... 9» exprimées en fonction de a,, ... a,«, ^, et différentions ces expressions par rapport à pi, ... p., nous aurons, pour chaque 9, les n équations :

^j^^ia^ Dqf, Do, ^^^a

liai ^^ <)«i ^/>i <)^ii ^Pi

D(/.. Da, Dqff Da, :iqi :i(hn ^

Multipliant les équations (11) respectivement par 5-137-, ... ^« et ajoutant, en ayant égard aux équations (10), il vient :

^Qi liât ^ia^n '

Or, si, comme on le suppose, F|, F,, ... F,, sont des fonctions de ai, a„ ... a,, seulement, ne renfermant pas l, on obtient.

en différentiant la dernière équation par rapport à (, et faisant t = i, 2, ... n, les 2n équations suivantes :

fi- Hf,^ 1 ^ t^^- =30,

F.lVF,'iî-,-...H-F.^ii=0.

Fj -^ -♦- F, -=- -t- — -4- Fj, -^— =» .

Mais, de ces 2n équations il résulte : ou bien que les F< doivent être nuls séparément, ou bien que le déterminant des coefficients est nul.

Or, si ce déterminant est nul, il existe (n"" 50) entre les quantités 9^ 9^ ^t / une relation ne renfermant pas les aô mais une telle équation serait une intégrale du problème non troublé, sans constante arbitraire, ce qui est impossible.

On doit donc avoir :

F| =3 Fs = ••• = Fj„ = 0,

ou bien :

A| =3 B4, As s=s B,, ... Aj„ = B,, ,

ce qui démontre la propriété énoncée.

Formules de perturbations pour le mouvement

d'une planète.

198. Considérons un système matériel soumis à des forces données, et supposons que l'on ait formé les équations différentielles et les intégrales du mouvement.

Si, à un instant quelconque du mouvement, des forces d'impulsion viennent à agir sur le système, après cet instant, les équations différentielles du mouvement seront encore les mêmes: les valeurs des constantes d'intégration seules auront changé dans les intégrales.

Pour obtenir les valeurs nouvelles des constantes, il faudra calculer la vitesse de chaque point provenant des impulsions, et, d'après les positions de ces points à l'instant où ces impulsions agissent, et leurs vitesses modiBées par les impulsions, on pourra déterminer les valeurs nouvelles des constantes arbitraires.

Si un système matériel est sollicité par des forces perturbatrices , on peut imaginer que l'on remplace ces forces perturbatrices par des impulsions infiniment petites agissant pendant chaque instant.

Au commencement de chaque instant, les positions dei^ points seront les mêmes que s'il n'y avait pas d'impulsions pendant cet instant, les vitesses seront aussi les mêmes, les accélérations seules seront changées. Les constantes arbitraires varient de quantités infiniment petites à la fin de chaque instant, et, par conséquent, deviennent des quantités variables.

On conclut de là que les formules qui donnent les positions des points matériels, et les composantes de leurs vitesses resteront les mêmes que s'il n'y avait pas de forces perturbatrices; mais, les constantes arbitraires contenues dans ces formules seront changées en quantités variables.

Dans le cas d'un point matériel attiré par un centre fixe, et

soumis à d'aulres forces perturbatrices, les éléments de l'orbite qui formaient les constantes arbitraires du problème deviendront variables.

A chaque instant l'ellipse variable aura pour foyer le centre d'attraction, elle passera par le point attiré et sera tangente à la trajectoire du point matériel.

tvo. Supposons donc que le point matériel soit non seulement sollicité par le centre fixe, mais encore par d'autres actions, et que la fonction de force soit augmentée de — û; nous aurons pour les équations différentielles du mouvement troublé :

f/lX

d*y dt*

ffJiZ

Les équations du mouvement non troublé ont été mises sous la forme (n"" es) :

dx DHi

dx' :^\U

dt '~ Dx' *

dt Dx

dy DHi

dt D«/' '

' dy' DH, dt Dy

dz DH,

dz' DH,

dt Dz'

dt Dz

dans lesquelles nous avons posé :

U étant la fonction de force ^, et T la demi-force vive du point matériel.

Les équations du mouvement troublé pourront être mises

sous la même forme que celles du mouvement non troublé, pourvu que la fooclion de force U soit augmentée de — Q. Si nous posons alors :

les équations du mouvement troublé seront :

dx DH

dx' DH

dt "" Dx' '

dt Dx

dy DH dt Dï/'

dy' DH

dt D«/

dz DH

dz' DH

dt Dz'

dt Dz

Si nous considérons les équations du mouvement non troublé, nous avons vu qu'en désignant par S la solution complète de Téquation différentielle partielle de laquelle dépend la solution du problème, et par A, 6, ^ les trois constantes arbitraires renfermées dans S, les intégrales du mouvement seront données par les trois équations :

DS DS tt DS tt

r, a, p étant trois autres constantes arbitraires.

Comme nous Tavons vu (n"" es), h est la constante des forces 'Vives, b Taxe du plan invariable, g la projection de cet axe sur la normale au plan fixe sur lequel on compte les longitudes, a la longitude du nœud de la planète, 6 la distance angulaire du périhélie au nœud, — t le temps du passage de la planète au périhélie.

Dans le cas du mouvement troublé, les intégrales auront la même forme que pour le mouvement non troublé, mais on devra considérer comme variables les six éléments A, 9, 6, a, (3, t.

D'après la théorie générale, les valeurs de ces quantités seront données par les formules suivantes :

dh m

dr lia

rff *^ ^ Dr '

dt dh

dg Da

dt Da

dd Dn dt D^

db DQ dt i^^

di'^ïb

180. On peut renoplacer les six équations précédentes par l'équation :

dh ^ dq dh dr , da ^ rfô .

(^û «= r- ^T r <îa âQ-^-r âh-i- --âq -^-^ âb.

dt dt dt ^ dt dt ^ dt

Or, en désignant par f l'attraction de l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance, par 2a le grand axe de l'orbite, par e l'excentricité et t l'inclinaison de l'orbite sur le plan fixe, on a :

ffi

A s=s — ~ , 6 = Vffia(\ — e*), ^ = 6 cos t.

Nous allons substituer aux quantités A, 6, 9, les quantités a,e, t. En différentiant les formules précédentes, on a :

dh = — - da ,

db = (^\(i^ é')da — ^aede \ ,

dg^s— j (1 — c')costrfa — 2ae ces ide\ — bsinidL

On en déduit trois équations analogues en remplaçant la caractéristique d par $. .Cela posé, remplaçons dans l'expression de dQ les quantités :

dh, db, dg, âh, âb et âg,

par ces valeurs, nous aurons :

«în = — ^ — ^T — — (i — e') ces t- 2ae ces t —

^^.^cfa + ~r^cosfl(i--e')(?a — 2ae^e|--6sint(?il d« 2a* dt [26 «^ ^ J J

rft 26 *^ *

Mais, on a aussi, Q étant exprimé en fonction des quantités

Dn DQ DQ , ^iCl Da ^ DQ

Da de Dt Dr Da d^

En égalant les coefficients des variations da, Se, ... dans les seconds membres, on a les équations suivantes :

— = l!l ~ + 1^ ( 1 — c') co S tV -*- ^ ( ^ -- O -7- ' ( i ) Dd 2o» dt 26 ^ ^ dt 26 Ut ^ '

dû /*aac . da faae dô

— « — '-~-cost----i4---î-. (2) De 6 df 6 d< ^ '

Dû da

-T-e= — 6sint-r-» (3)

Dt dt ^ '

Da /p da

D7^""2Ô*dF

Dû .dt /f* .da /ftoe .de

— = 6 sm î -{1 — e') ces t -;- -*- -7— ces t -r-» (5)

Da dt 26^ ^ dt h dt ^ '

DP 26^ ^d« 6 d( ^ '

en lire :

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dr 2a' DO a(l - «') Jû

dl fr Sa fre Je

Les éléments a,e, t,a, P et t étant supposés varier très peu, i on les regarde comme constants dans les seconds membres le ces dernières équations, el si l'on considère t,qui entre dans Q, omme seule variable, on pourra calculer ces quantités avec une ;rande approiimalion pendant un temps assez considérable 1 l'aide des quadratures indiquées dans ces équations.

18<. On peut remplacer la dernière Tormute (12), qui donne r, lar une autre d'une grande utilité. A cet effet, on remplacera a quantité r par Vanomalie moyenne :

lans laquelle :

„-l/fr.a-=.

Observons que r n'entre dans H que par ), qui le renferme.

Or, si l'on remplace r par X, a entrera clans Û par n qui' lé renferme, et nous aurons :

da Dû da . Da da on

Ai«=» — ^fl ^ — <ye-f.__^n — ^T H — ^a H — (Jfî

da De Di Dt * D« Dp "^

Dfi . Dn . Da Da J^a

âa-i de -♦---« H ^A H tfa H tfÔ.

Da/ De Di DA Da D^ ^

Nous désignons par ^^j la dérivée de Û par rapport à a, en supposant constant >, qui renferme a.

Or, de la formule :

on tire :

Dn ■=3 nâr -4- (t -f- t)— (îiB.

D'où, en remplaçant SI dans Téquation précédente, et égalant les coefficients de da et dx dans les deux membres, il vient :