OL, P

ce qui est la propriété énoncée.

teo. Remarque IL — Si «,(3,7 sont trois éléments arbitraires, et si Ton remplace t par y dans l'identité ci-dessus, on a la relation :

D[«, p] D[p^] D^^jO

-t- -t- — — ^— — ï^ vF.

^y lia Dp

tel. Proposons-nous maintenant de trouver l'expression des ^, c'est-à-dire les valeurs que l'on obtiendrait en résolvant les équations (6) par rapport aux ^.

Des équations (4) :

on tire :

da Tia Y!* /^^ ^9' '^^ ^/'A rf( ~~ D( ^ ^ VD^j. rfT ^ Dpi rfT/ '

OU bien, en remplaçant ^', ^, par leurs valeurs (2) :

da. Da y, fDa D(H| -4- n) Da D(H4 -4- O)"!

(/f DC ^ \jiqi ^^pi Ipt Dqf, J

( 261 ) ou bien encore, d'après la notation de Poisson (n^ eo) :

Or, si l'on suppose û = 0, a est une intégrale des équations (3), et l'on a :

da.

ou bien :

^ + (a,H,) = On.

Par suite, en soustrayant, il vient :

da ^=(.,a);

en développant le second membre, on a :

da ^ /Da Dn da Da\ dt ^ \:iqi Dp, Dpi Dç./

€t, si Ton remplace 5^ » ff P^r leurs valeurs r

Dp, ^ dak :ipi

Dû ^ Da DdCit Dçf. ^ Da* Dqr.

il vient :

Cette formule est due à Poisson. Elle permet de déterminer «1 1 <%,, ... a»,, en fonction de ^ ; le signe S se rapporte à l'indice k.

{*) C'est la formule que nous avons trouvée précédemment (n^ 109). (**) Q, étant considérée comme une fonction des a, lesqueUes sont des fonctions desp,-, 9,-.

te». Propriété. — Il est facile de s'assurer que les coeffidents (a, aj sont de simples fonctions des éléments seulement^ c'est-à-dire qu'ils ne renferment pas explicitement le temps.

On a donc à démontrer que Ton a :

A cet effet, reprenons l'expression :

(a, ot*) = > ,

qui nous donne :

Dx D —

/ Dai Da

2lf

Or,

i^Pi Dt Dfi Df

DiX

Dç,^^ D*a ''^ 1 :>*oi DÇt,

D*a Dpi,'

^qi^Pkf ^t

d^ailleurs, les équations (3) du mouvement non troublé nous donnent :

par conséquent,

dH^ ^qkf

*'^-/ D^a DH,

D*a DH<

DÇiD^ 4^, x^qfiqk, ^Pk^ ^qt^Pk» ^9*/-

de même,

Da D(

Dp.Ot 4^1 wpp?*r îïpi, Dp,

( 265 ) D'autre part, on a :

ou bien :

lia ^'^"l^d DH, Da liHA

Différentions cette équation successivement par rapport à 9,, p,, il viendra :

«a *'^»/ D*a DH, D'à DHA

ffDi A,^| UçiDqfi, D/Î4, ^qt^Pkf ^k'I

*'^-/Da D'Hi Da Î^'H, \ ^

'a *S'/ D'à DH, D'à DH^\

),D/ ^/é, \Dp,-D9*, Dp*, ^pi^Pkr ^J

kièi \^kf ^pf^Pkf ^Pkr ^pfiqkJ

Retranchant ces deux équations respectivement des deux précédentes, ou a les deux équations :

lia.

D Dg

lipi __ *'^" / Da D'H, Da D'H,

^' t»=i \ D(/a, Dp.DpAf Dpi, Dp^Dç^r,

Multiplions la première par ^, la seconde par 3^9 et retranchons, puis faisons la somme par rapport à l'indice t. Nous aurons ainsi la valeur de Texpression :

/ ^oi Da

éiW, "dT D^ D/

Or, il est évident, puisque les indices i et k' doivent recevoir toutes les valeurs 1, 2, ... n, que l'on obtiendra la même valeur pour l'expression :

.là \^Pi '^^ ^i <^*

Par conséquent, le second membre de Téquation (9) est identiquement nul, et l'on a :

ce qui démontre la propriété énoncée.

tes. Remarque I. — Celte propriété résulte d'ailleurs de ce que les .équations (8) peuvent être obtenues par la résolution des équations (6). Il est évident que si les coefficients [a, a^] ne renferment pas explicitement le temps, il en sera de même des coefficients (a, a^).

104. Remarque IL — Remarquons aussi que les formules perturbatrices de Lagrange et de Poisson (6) et (8) ne changent pas, si la fonction H^, outre les g^, p<, renferme explicitement le temps. Dans ce cas encore, les expressions [a, a^] et (a, a^) sont des fonctions des éléments seulement.

166. Si le système est tout à fait libre, et si l'on prend pour les variables g, les coordonnées rectangulaires elles-mêmes, alors les qi sont les a?,, y^, z^ et les p< sont égaux à m^^, »i,t/[, m^z^.

Il est évident que, dans ce cas, les expressions :

^PfiPk sont nulles; les expressions :

WPk

soDl aussi nulles, eicepté pour k'=^ i : daos ce dernier cas, ces dernières se réduisent à ^ . Mais alors la formule :

Sa aTI, Sa 3'H, \

Ces trois dernières formules ont été trouvées par Lagrange. On en déduit que, si une înt^rale (c'est-à-dire une fonction de ( et des 6n quantités x,, j/,, 2,, x',, y',, z'i, égalée à une constante arbitraire, sans que cette expression contienne d'autres constantes arbitraires) renferme une coordonnée, elle devra aussi renfermer le quotient différentiel de cette coordonnée par rapport au teoaps (').

Réciproqneoaent, si la dérivée d'une coordonnée par rapport au temps n'entre pas dans l'intégrale, ou y entre seulement an premier degré, multipliée par une constante, la coordonnée correspondante n'entrera pas dans l'inlégrale.

Ed effet, si a ne contient pas x', on a :

{■) J^coti, Vtvlatmgtn Sher Dj/nnmik, p. 42S,

et si CL contient x' au premier degré, multipliée par une con stante, on a :

— . = const. ;

donc, dans les deux cas.

par suite,

D — Dx' = 0;

et, par conséquent, a ne conlienl pas la coordonnée x.

lee. Observons encore que, si le théorème des forces vives est applicable, ^ sera toujours une simple fonction des éléments seulement. En effet, dans ce cas, la solution du problème se compose de 2n — 1 équations avec an — 1 constantes arbitraires entre Ies2n quantités ç^, p,, ne renfermant pas le temps /, et une Sn'' équation qui donne t + r exprimé en fonction des 9<i Pm 1^ quantité r étant la Sn* constante arbitraire.

Si donc a est une des 2n — 1 premières constantes arbitraires.

on aura :

Si a <=> r, on a :

en effet, de l'équation :

on déduit :

t-^r-^ f(qi, p,),

i 4- - — 0; dt

par conséquent,

xxrii.

Formules de perturbations.

f e9. Nous avons vu (n^' 158 et te») que les expressions

[a, (3] el (a, P) ne renferment pas explicitement le temps. Il s'ensuit qu'elles ne changent pas, lorsque Ton y fait / = 0, et que l'on remplace les variables p,, 9, par leurs valeurs pour ^ = 0.

Si donc on désigne par c,, 6<, les valeurs de 9,, Pi, pour ^«=0, on aura :

/De, D6|

DCj D6f

idp Da dp da da dp da dp

d/^i d6| dC« d6s

^da dj3 da dp ^d6| dC| d6j dfi

de d6 1

da dp

dp da / ^ da dp

d« dp

Il résulte de ces deux dernières formules que, si Ton prend pour éléments a, (3, les quantités c,, 6, elles-mêmes, on aura, pour t et k différents :

tandis que, pour A: = 1, on a :

^i. M-= —Vu. Ci]^ 1, (^•, 6.) = — (^, c,^ = l

Dans ce cas, chacune des formules (6) et (8) (n""' 159 et tel).

da dt

nous donne les équations suivantes :

cici Dû

dbi Dn

dt d6i '

dt DC|

dci :içi

dbi Dû

dt D&,'

dt Dcj'

dc„ Da

db„ Dû

dt D6,

rf/ ;)c„ 1

Ces équations (2) forment un système analogue au système canonique.

te8. Remarque I. — Si dans les formules (1), on fait |3=»6„ il vient :

iiCi lia

si l'on y fait P = c,, on a :

[a, c,J = — — , (a, c,) = — — • oa Do,-

f eo. Remarque IL — Si Ton prend pour les q^ les coordonnées rectangulaires, et si l'on désigne par o<, 6,, c^, a[, 6[, cles valeurs initiales de or,, ^,, z,, ar|, y,', 2-, les équations précédentes nous donnent :

dUi zci dOi Da

dt ^^a'i dt ^Ui

dbi Dû db'i da

'"•■rfF^DÏ^.' '"'Tt^~^,'

dCi Dû dc[ Dû

fWj --- = —- , t#t. — - = .

dt dCf dt dCi

Ces formules ont lieu même dans le cas où la fonction Q renferme les p„ c'est-à-dire les xj, yj, z^.