AC^OB

DES FORCES d'aPRÈS LEURS EFFETS

Appliquons ce principe au cas d^un mouvement circulaire, uniforme, de vitesse v^ sur une circonférence de rayon R {fig. 24). Au temps 0, le mobile est en M; la vitesse, tangente à la trajectoire, est MA = v. Au temps 6, le mobile est en N, la vitesse est NB = v. Menons par le point N une parallèle NA' à MA, égale en longueur à la vitesse. Par définition, Taccélération est

— • Or, les triangles NBA'

et CMN sont semblables comme étant isocèles et ayant les angles en N et en C égaux (puisque les côtés NB et NA' sont respectivement perpendiculaires à GN et CM comme tangentes et rayons dans un cercle). On a donc :

Fio. 24.

corde MN~CN~R

''» = ï AB

corde MN. ^

Or, on peut confondre la corde et Tare, puisque rien n'empêche de prendre les points M et N très rapprochés. On a donc en divisant par 6 :

accélération

arc MN v 6 R

Mais arc MN divisé par 0, c'est l'espace parcouru divisé par le temps employé à le parcourir, c'est la vitesse v.

D'où enfin accélération = n' Et, puisque les forces sont

134 DBS FORGES D'APRès LEURS EFFETS

entre elles comme les accélérations qu'elles impriment,

F i?^ on a, enfin, =r = rr' ce qu'il fallait démontrer.

F^ Rp ^

La dynamique du point était ainsi complètement ache* vée avec Galilée et Huyghens, et sous ce rapport quelque admirables qu'aient été les applications faites par Newton, il n'avait rien d'essentiel à ajouter aux principes.

En effet, nous avons déjà remarqué qu*une courbe quelconque pouvait être considérée comme une suite de petits arcs de cercles dont le rayon est variable, mais connu dès que la nature de la courbe est donnée. Déterminer sous quelles forces un point décrit une courbe avec une vitesse donnée v revient donc à calculer en chaque point le

rayon de courbure R de la courbe ; -^ mesure la tension

qu'il a fallu exercer vers le centre pour maintenir le mobile sur la courbe, la pesanteur agissant sur le même corps étant prise pour unité. Cette force est évidemment normale à la trajectoire, puisqu'elle est dirigée suivant le rayon d'un cercle qui est tangent à la courbe au point considéré. Toutefois le mouvement du corps sur la courbe n'est pas nécessairement uniforme ; mais, quel soit-il, on le peut toujours considérer momentanément comme uniformément accéléré. Déterminons son accélération tan-

gentielle y, ^ sera l'expression par rapport à la pesanteur

de la force qu'il faut supposer appliquée au corps tangentiellement à la trajectoire.

En définitive, la force totale nécessaire pour faire parcourir une courbe donnée avec une vitesse donnée à un corps est la résultante de deux forces: l'une, normale à

la trajectoire, est représentée par -pJ l'autre, tangentielle,

DBS FORCES d'aPRÈS LEURS EFFETS 135

est représentée par ^5 la force de la gravité sur le corps

étant prise comme terme de comparaison.

Voilà quelles étaienf^ à peu de chose près, les connaissances en dynamique au moment ob Newton publia ses Principes^ dont la majeure partie n'en est qu'une application et un développement. On conçoit, en effet, que, connaissant les orbes des planètes et leurs vitesses sur ces orbes, la détermination des forces nécessaires pour expliquer ces mouvements était une pure affaire de calcul. Il est vrai que Newton trouva de merveilleux théorèmes dont nous parlerons plus loin, généralisa la méthode par les procédés mathématiques de la première et dernière raison, et fit pour ainsi dire siennes les découvertes de ses prédécesseurs par la beauté des applications qu'il en donna.

Suivant une méthode analogue à celle qui nous a servi au chapitre précédent, nous allons exprimer ces résultats d'une autre manière. Nous avions appelé force d'inertie la résistance que le corps faisait au mouvement, et l'avions mesurée par le produit de la masse par l'accélération, c'est-à-dire l'accroissement de vitesse, et elle était évidemment dirigée en sens inverse de cette accélération. Nous pouvons étendre cette définition et, quel que soit le nombre des forces agissantes et les accélérations qu'elles impriment, appeler force d'inertie le produit de la masse par l'accélération généralisée. Ainsi dans le mouvement circulaire uniforme, la force d'inertie qui n'est autre que la force centrifuge tend à éloigner le corps du centre du cercle; elle est mesurée à chaque instant par l'expression

-^ que nous savons être le produit de l'accélération par

la masse. La force qu'il faut exercer sur le corps pour le

136 DBS F0RGB8 d' APRES LEURS EFFETS

maintenir sur le cercle est centripète, précisément égale à la force centrifuge, mais dirigée en sens inverse. Si le mouvement n'est pas uniforme, U faut concevoir que le corps résiste suivant la tangente avec une force d'inertie m^ et que, réciproquement, pour l'amener à subir cette accélération, il faut exercer une force égale à cette force d'inertie et précisément inverse.

Donc les résultats précédents, qui résolvent complètement le problème de la dynamique du point, peuvent s'énoncer simplement en disant qu'il y a équilibre à chaque instant entre les forces mesurées par leurs effets statiques et les forces d'inertie; c'est-à-dire que les unes sont égales aux autres, mais de sens inverse. Nous allons voir tout à l'heure de quelle merveilleuse généralisation un tel énoncé est susceptible.

Il semble que nous soyons encore bien loin de la solution complète des problèmes de la dynamique, car un système de points contient un nombre infini de points, et la solution du problème pour un point isolé ne parait pas être un bien important résultat. Et, pourtant, nous y touchons presque, et peu s'en est fallu qu'une intuition de

génie de Newton n'y ait conduit dès 1687, dès l'apparition des Principes mathématiques de la philosophie naturelle.

Mais n^anticipons, pas, car cette intuition est restée lettre morte pendant bien des années.

Evidemment, on possédait une méthode pour étudier les systèmes des points ; elle consiste à les envisager comme des points isolés reliés entre eux par des forces générale-

DBS FORGES d' APRÈS LEURS EFFETS 137

ment inconnues ; mais ces forces, du moins dans le cas où Ton peut aller jusqu'au bout du problème, disparaissant deux à deux comme action et réaction, s'éliminent. Cette méthode difficile, complexe, conduit dans la pratique à une mise en équation différente pour chaque cas |>artîculier, et tout le travail est à recommencer, dès qu'on modifie quoi que ce soit dans Téhoncé. Il fallait découvrir un principe général qui permit de résoudre automatiquement, pour ainsi dire, un problème quelconque : d'Alembert «ut la gloire de l'énoncer le premier. C'est la généralisation pour un système quelconque des énoncés particuliers sur les forces d'inertie.

Nous avons vu dans le cas du mouvement rectiligne que la force d'inertie fait équilibre à la force mesurée par ses effets statiques. Plus loin, et dans le cas général de la •dynamique d'un point, les forces d'inertie, dont l'une est normale et centrifuge, l'autre tangentielle et dirigée en sens inverse de l'accélération tangentielle, font encore équilibre aux forces mesurées par leurs effets statiques. Mais, comme nous l'avons fait expressément remarquer, •ce ne sont pas là des principes ; ce ne sont jusqu'à présent que des définitions de mots, des manières commodes -d'énoncer des résultats connus d'ailleurs. D'Alembert a fait de ces énoncés un principe d'une merveilleuse fécon- <lité.

Il admit que. dans le cas d'un système quelconque, avec des liaisons quelconques, des forces en nombre quelconque et dirigées comme on voudra, il y avait toujours équilibre «ntre les forces mesurées par leurs effets statiques et les forces d'inertie mesurées, comme il a été dit, par le produit des masses mues et de leur accélération, et dirigées parallèlement à Taccélération, mais en sens inverse.

138 DBS FORGES d'aPRÈS LBURS BFFBTS

On pouvait encore aller plus loin dans rautomatisme et faire de la résolution des problèmes de dynamique une simple occupation machinale , ainsi que Lagrange fit voir dans sa Mécanique analytique ^nm^ en 1788. Nous avons, en étudiant la statique, trouvé plusieurs méthodes pour vérifier Téquilibre entre des forces. Celle que nous avons prise comme point de départ a sur les autres lavantage de faire abstraction de toutes les forces résultant des liaisons, forces qui ne paraissent même pas dans les équations: c'est la méthode dite du travail virtuel. Pour appliquer au contraire les autres, de la composition des forces ou du levier, on est obligé de tenir compte de ces forces de liaison généralement inconnues et de les éliminer patiemment, en utilisant leur propriété d'aller par couple de deux égales et de sens contraire, ainsi qu'il résulte du principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Lagrange eut l'idée, qu'il développa longuement, d'écrire le principe du travail virtuel en y faisant entrer, d'une part, les forces efficaces mesurées par leurs effets statiques, de l'autre, les forces d'inertie ; ainsi se trouva-t-il en possession d'un principe absolument général dont voici l'énoncé et qui embrasse à la fois la statique et la dynamique : « Si Ton fait la somme des travaux des forces mesurées par leurs effets statiques et des forces d'inertie pour un petit déplacement compatible avec les liaisons du système à partir d'un état quelconque donné de ce système, cette somme est nulle: il y a équilibre entre les deux groupes de forces. »

Nous verrons plus tard quelle expression simple possède ce travail des forces d'inertie et comment on peut transformer cet énonié en un autre plus métaphysique et plus concret. Sommes-nous parvenus, maintenant, au terme

DES FORGES d' APRÈS LEURS EFFETS 139

de notre lâche ? Toute la mécanique, toutes les explications mécaniques des sciences naturelles tenantdans cet énoncé, il semble que tout soit dit. Heureusement, il n'en est rien. Car jusqu'à présent ce principe a une forme trop précise, les quantités qui y entrent sont trop exactement définies pour qu'il renferme tous les phénomènes ; et ce sera la partie la plus intéressante de notre tâche que de lui voir peu à peu perdre en compréhension ce qu'elle gagnera en extension.

Nous avons dit que peu s'en est fallu que Newton ne découvrit le principe connu sous le nom de d'AIembert et sous la forme définitive que lui a donnée Lagrange.

Voici ce qu'on trouve en efifet dans les Principes mathématiques :

« Loi III. — L'action est toujours égale à la réaction ; c'est-à-dire que les actions mutuelles de deux corps sont toujours égales, mais dirigées en sens inverse. Tout ce qui tire ou presse est en même temps tiré et pressé. Si le cheval traîne la pierre attachée par un c&ble, le cheval est arrêté par la pierre ; car le câble tendu dans son effort pour se relâcher attire également le cheval vers la pierre et la pierre vers le cheval. Autant il empêche le mouvement de l'un, autant il accélère le mouvement de l'autre. Si un corps, agissant sur un autre corps, a modifié d'une façon quelconque son mouvement, réciproquement le mouvement du premier corps est modifié par le second d'une

140 DES FORCES d' APRÈS LEURS EFFETS

égale quantité, en appelant mouvement le produit de la masse par la vitesse. »

De cette loi, énoncée d'une manière si saisissante, il déduit toute une série de corollaires que nous aurons l'occasion de retrouver et d'étudier plus au long.

« CoROLLAiHE III. — La quantité de mouvement qui s'obtient en additionnant le produit de la masse par la vitesse pour tous les corps qui se dirigent dans une direction et en retranchant le môme produit pour tous les corps qui se dirigent dans la direction inverse, ne change pas par leur action mutuelle.

« Corollaire IV. — L'état de mouvement ou de repos du centre de gravité d'un système de corps agissant les uns sur les autres n'est pas modifié par leurs actions mutuelles. Si toutes les forces se réduisent à cette action mutuelle, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme.

« Corollaire V. — Les mouvements relatifs d'un système de corps enfermés dans un espace donné ne sont pas modifiés par un mouvement uniforme de cet espace. »

Enfin, Newton donne un scolie de sa loi qui renferme le passage merveilleux auquel nous avons fait allusion. Il commence par rappeler le principe des vitesses virtuelles énoncé à la manière de Galilée :

« Les forces, dit-il, qui agissent les unes sur les autres dans les machines se soutiennent réciproquement lorsque les forces estimées dans la direction des déplacements (forces utiles) sont en raison inverse des vitesses de ces

DES FORCES d'aPRÈS LEURS EFFETS 141

déplacements. Cette loi se vérifie dans toutes les machines dont le but consiste seulement & diminuer la vitesse pour augmenter la force. Ainsi se trouve résolu le problème de mouvoir .un poids donné avec une force donnée ou de vaincre une résistance donnée avec une force donnée. Car, si les machines sont ainsi faites que les vitesses des puissances et des résistances soient réciproques à leurs intensités, il y aura équilibre; au contraire, la puissance vaincra la résistance, si l'action de la puissance mesurée par le produit de Tintensité et de la vitesse, dépasse Faction de la résistance. Et, si cette inégalité est telle que soient vaincues et au delà les résistances qui naissent des frottements des divers organes, de la cohésion et du déplacement des poids. Faction non encore utilisée de la puissance produit dans les pièces de la machine et dans les corps résistants des accélérations. En définitive, si Faction de la cause est mesurée par le produit de son intensité estimée suivant le déplacement et de sa vitesse ; si la réaction de la résistance est mesurée de même par les vitesses et les intensités des forces naissant dans ses diverses parties, des frottements, de la cohésion, du poids et des augmentations de vitesses; Faction et la réaction, dans toutes les machines, sont égales et opposées. » Qu'on remarque celte phrase : « Si sBstimetur actio agentis ex ejus vi et velocitate conjunctim ; et similiter resistentis reactio asstimetur conjunctim ex ejus partium singularum velocitatis et viribus resistendi ab earum attritione, cohsesione, pondère et acceleratione oriundis; erunt actio et reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper sequales. » Il n'est pas possible d'exprimer plus nettement, plus rigoureusement le principe de d'Alembertet Lagrange. Ce n'est pas là un simple aperçu, une vue encore vague ; les mots quù

DES FORGBS D'APRàS LEURS EFFETS

Newton emploie sont définis dans son introduction, ils ont bien le sens ^e nous leur attribuons. Le principe se trouve donc bien dans les Principes de Newton. Mais non seulement ce scolie était resté oublié jusqu^à Lagrange, mais encore il n'a été remis en lumière que depuis une vingtaine d'années par Tait et Thomson.

Parmi les applications des principes auxquels nous nous sommes élevés dans les trois derniers chapitres, nous en choisissons une à cause de son importance : c'est la démonstration de ce qu'on est convenu d'appeler le principe de la conservation des aires. Mais, pour le bien faire comprendre, quelques préliminaires sont nécessaires.

Fio. 25.

Soit un plan {fig, 25) ABCD et une aire quelconque plane ou courbe MNPQ, limitée par des droites ou des courbes quelconques. De tous les points de ces courbes limitatrices abaissons sur le plan des perpendiculaires ; elles coupent le plan suivant une courbe M'N'P'Q' ; l'aire comprise à l'intérieur de cette courbe est ce qu'on appelle la projection de Taire MNPQ. Si l'on veut, c'est l'ombre portée sur le

DES FORCES ]>^iPRÊS LEURS EFFETS 443

plan en supposant que la lumière soit très éloignée suivant une direction perpendiculaire du plan.

Cela posé, voici quel est l'énoncé du principe : Lorsque plusieurs corps réagissent d'une manière quelconque les uns sur les autres, à supposer qu'il n'y ait aucune force extérieure, que tout se réduise aux forces intérieures au système, si d'un point fixe {fig. 26) quelconque on mène à toutes les molécules égales ABC, dans lesquelles on peut supposer partagé le système, des droites appelées rayons vecteurs, pendant un temps quelconque/, les points ABC, etc.,

Fio. 26.

en se déplaçant, entraînent les rayons vecteurs qui balayent des aires OAA', OBB', OCC : la somme des projections de ces aires sur un plan quelconque est proportionnelle au temps. On démontre, de plus, qu'il existe un plan P, évidemment fixe, pour lequel cette projection ou, si l'on veut, cette ombre portée est maxima. Ce qui donne une importance considérable à ce principe, c'est qu'on peut admettre que notre système solaire remplit les conditions imposées, à savoir qu'il n'y a que des forces intérieures ; car les étoiles sont trop éloignées pour agir notablement. Prenons comme point ou foyer le centre de gravité de notre système, et cherchons le plan oti la projection des

144 DES FORCES d' APRÈS LEURS EFFETS

aires balayées est maxima ; ce que démontre le principe^ c'est que, à quelque époque qu'on détermine la position de ce plan, aujourd'hui comme dans un million d'années, ce plan occupera rigoureusement la même situation absolue dans l'espace. Ainsi, dans un million d'années, les perturbations les plus grandes auront pu se produire, la position relative des planètes se sera certainement modifiée ; pourtant l'astronome, à supposer qu'il en existe h cette époque si éloignée, qui recalculera la position du plan invariable, aura la singulière satisfaction de se direque cette idéale surface est restée immuable.

Poinsot, dans son très curieux mémoire sur cette question, présente, au sujet de la découverte du principe de la conservation des aires, des réflexions que nous allons lui emprunter : « Les géomètres, dit-il, ne se sont pas élevés tout d'un coup à cette loi générale. L'origine de ces idées remonte à Kepler qui, le premier, imagina de considérer Taire d'un secteur que décrit le rayon vecteur d'une planète dans son mouvement autour du soleiK Et, si l'on cherche ce qui a pu lui donner cette idée, on trouvera qu'il y parvint, non point par hasard, comme on le pourrait croire d'abord, mais par une certaine marche naturelle, qui se retrouve dans toutes les recherches et résulte pour ainsi dire de la nature même de l'esprit humain. Et, en effet, nous ne connaissons en toute lumière qu'une seuleloi : c'est celle de l'uniformité et de la constance. C'est à cette idée simple que nous cherchons à réduire toutes les autres, et c'est uniquement dans cette réduction que consiste pour nous la science. Ainsi, quand nous étudions les choses qui changent pour y découvrir ce qu'on appelle la loi de leurs variations, notre unique objet est de trouver ce qu'il peut y avoir d'uniforme et de constant au milieu

DES FORCfcS d'après LEURS EFFETS 145

de ces choses qui varient. Que si, avec le terap^ et par un nouvel examen, nous venons à reconnaître que les rapports qui nous avaient paru constants sont eux-mêmes variables, il nous Faut faire un nouveau pas. Mais notre marche est toujours la même, car alors ce n'est plus dans ces rapports, mais dans quelque autre fourni par leur combinaison, que notre esprit va chercher cette loi de constance qui avait pour ainsi dire échappé à ses premières conclusions.

Ainsi les anciens astronomes, d'après les premières apparences des mouvements célestes, avaient cru naturellement que les planètes décrivaient dans leurs cours des cercles parfaits et qu'elles les décrivaient d'un mouvement uniforme ; de sorte que la ligne menée du centre à la planète et sa vitesse angulaire étaient considérées comme constantes. Malgré quelques irrégularités que l'observation avait rendues sensibles, cette première loi du mouvement des planâtes subsista très longtemps, parce qu'on faisait à peu près disparaître ces inégalités en essayant de mieux placer le centre de ce cercle parfait qu'on avait imaginé. Mais Kepler, ayant reconnu par la comparaison attentive de nombreuses observations que le mouvement d'une planète se fait, non sur un cercle, mais sur une ellipse dont le soleil occupe un des foyers, de sorte que le rayon vecteur et l'angle qu'il décrit étaient tous deux variables, et ne trouvant plus ainsi, ni dans ce rayon ni dans cet angle, cette constance qu'on y avait d'abord supposée, imagina do la retrouver dans une quantité nouvelle composée de ces deux-là; et, considérant dans cette vue la plus simple qu'on en puisse former, savoir Taire du secteur elliptique que trace le rayon vecteur de la planète autour du soleil, il trouva enfin que cette aire était constante, c'est-à-dire

Ttl&OniBS DE LA M^CANIQl'E. 10

DBS FORCES d'aPRÈS LEURS EFFETS

toujours la même e» temps égal, ou, en d'autres termes, que Taire décrite était proportionnelle au temps écoulé.

Cette loi, que Kepler avait prouvée par l'observation. Newton la démontra comme un théorème mathématique qui doit avoir lieu dans le mouvement de tout corps attiré par une force quelconque vers un centre fixe ; et réciproquement il fit voir que, si cette description uniforme des aires est observée dans le mouvement d'un corps, elle est une preuve de l'attraction ou de la tendance de ce corps au centre des rayons vecteurs ; ce qui conduit naturellement au principe de la pesanteur universelle. » Rappelons la démonstration de Newton.

Soit un mobile [fig. Zl) qui se trouve à l'origine des temps

en A et animé d'ane vitesse telle qa^en un petit espace de temps il décrit la droite AB.

Son rayon vecteur OA balaye pendant ce temps l'aire du triangle OBA.

Si aucune force n'agissait sur lui, dans un nouvel espace de temps 6, il décrirait une droite CB = BA et l'aire balayée serait celle du triangle OBC. Je dis que cette aire OBC = l'aire OBA. Ce qui est évident, car ces deux triangles ont même base OB et mêmes hauteurs AQ = CP, puisque AB = BC.

La conclusion subsiste s'il existe une force quelconque, pourvu qu'elle soit dirigée vers le point fixe 0. Car soit l'accélération 2BD quelconque qu'elle donnerait dans le temps e, ou, si l'on veut, soit BD le petit espace qu'elle ferait parcourir dans le temps 6. Pour trouver le point où se trouve réellement le mobile au bout du temps 0, compo-

Fio. 27.

DES FORGBS d'aPRÈS LEURS EFFETS 147

sons les deux espaces BC et BD, et pour cela construisons un parallélogramme sur DBG, en d'autres termes menons par G une parallèle CGi, égale et parallèle à DB ; le mobile pendant le lemps sous Faction de la force et de la vitesse initiale décrit donc BGi, et son rayon vecteur balaye OBG,. Maisles deux triangles OBGi et OBG sontégaux comme ayant même base et même hauteur, donc ils sont égaux. Et puisque OBG = OAB, on a aussi aire OBGi = aire OAB, et ainsi de suite ; les espaces balayés dans des temps successifs ô égaux sont égaux. Autrement dit, les aires balayées sont proportionnelles au temps. La réciproque est évidente d'après la nature même de la démonstration.

Le cas du cercle parcouru d'un mouvement uniforme rentre dans ce théorème : les aires balayées par un rayon sont proportionnelles au temps, et la force est dirigée suivant le rayon et, par conséquent, passe par le

centre. De plus, la force a pour expression F = -^ où

m est la masse du corps mû, v la vitesse, et R le rayon. Soit T la durée d'une révolution entière , le chemin 2irR parcouru pendant ce temps est égal au produit du temps

27tR par la vitesse : !^R = rT, d'où v = -^r ' d'où enfin :

Or, Kepler a trouvé que le cube des rayons des orbes des planètes, que pour une première approximation nous pouvons confondre avec des cercles, divisé par le carré du temps employé par chaque planète à décrire son orbe,

R3 est un nombre constant: ^r == constante. Il en résulte immédiatement que, non seulement les forces qui agissent

148 DBS FORGES d'aPRÈS LEURS EFFETS

sur les planètes passent par un point fixe qui est le soleil^ mais encore que la force qui les attire vers le soleil est en raison inverse du carré des distances : c'est la loi bien connue de la gravitation universelle. Nous avons raisonné ici sur des cercles, les mêmes conclusions s'appliquent aux ellipses, mais le calcul est un peu plus compliqué.

Vers le milieu du siècle dernier, le chevalier d'Arcy, Daniell Bernouilli et Euler découvrirent presque en même temps et sous des formes différentes, la généralisation du théorème de Newton à plusieurs corps soumis à la fois à leurs actions mutuelles et à des forces quelconques dirigées vers un même point fixe. Dans le mouvement du système autour de ce point pris comme foyer, Taire que décrit chaque corps en particulier n'est plus constante, elle varie à chaque instant en grandeur et position par l'action perturbatrice des autres corps. Mais, en projetant toutes ces aires sur un même plan fixe et en les multipliant par les masses respectives des corps, on retrouve le théorème pour les projections, comme dans le cas d'un seul corps.

Pour appliquer le théorème au système solaire, pour faire abstraction du mouvement général qui l'emporte, pour ne considérer que les mouvements relatifs des corps qui le composent, on place le foyer, c'esl-à-dire le point où passent tous les rayons vecteurs, au centre de gravité de ces corps, parce que, d'après un des corollaires de Newton, ce point est comme fixe dans l'espace où s'exécutent leurs mouvements relatifs. C'est par de telles considérations qu'on a démontré l'existence du plan invariable.