RÉDUCTION DES FORMES

19. Formes du premier ordre. — On appelle masse de la forme du premier ordre

S = ^1 Al -h .272 A2 -1- . . • -+- X,iK,i

le nombre ^1 + .3^2 + ••• + <^«-

a. La masse de la forme du premier ordre S est le nombre Sw. En effet

Alto = Aow =. , .= A„w = 1 et Sw = .Ti + .r2 +. . . + x„. .

b. Si une forme du premier ordre a une masse nulle, cette forme est réductible à un vecteur, et réciproquement.

Nous avons, 0 étant un point quelconque,

S = (.ri -h .r2 -i- . . . -h .r,i ) 0

-H J:i(Ai — 0) -i-X2(A2 — 0)+. . .^ X„{kn — 0)\

et, si nous posons

I = .ri(Ai-0)^xHA2-0)+.,.+ .r,,(A„-0), il vient

S = (SaOO-f-I.

Si Soj = o; alors S = I; mais I est un vecteur; par conséquent S est bien réductible à un vecteur. Réciproquement, si S est un vecteur tel que S = B — A, on a

Sw=iBw — Aw = i — [ = 0.

( • ) E. Carvallo , Sur une généralisation du théorème des projections {Nouvelles Annales de Mathématiques, t. IX; i8gi).

c. Si une forme du premier ordre n'est pas à masse nulle, cette forme est réductible au produit de sa masse par un point. En effet, si Sw ^ o, on a

Si Sw =z£o, le point ^— est appelé barycentre de la forme

g S; en Mécanique ^— est le centre de gravité des points pesants Al, A,, . . ., A„, qui ont, respectivement, les masses

d. Si A, B sont deux points, et œ, y deux nombres non

JC A I y B

nuls, et que, de plus, ^-hy^rfo, le point C= '^— est

situé sur la droite AB et décompose le segment AB en deux parties inversement proportionnelles aux nombres ^, /. En effet, multipliant les deux membres de l'égalité

xA-^jB = {.z-^y)C

par AB, on a ABC = o, c'esl-à-dire que les points A, B, C, sont situés sur une même droite; multipliant la même égalité

par C, on a ^AG 4-yBC -+- o, c'est-à-dire que ?td = -' ce qui démontre la dernière partie du théorème.

On en déduit fort aisément la construction graphique du

point — et, par conséquent, la construction du bary-

centre d'une forme quelconque de premier ordre.

Exemples. — Soient A, B, C, ... des points.

A -i- B i*''' Le point est le milieu du segment AB.

2« Si ABC 7^0, est le point par lequel passent

les trois médianes du triangle ABC; on démontre cette pro-

pnete en observant que ^ est le barycentre des points

C auxquels sont affectées les masses 2, i.

3" L'identité

A + B C-4-D A-hB^-C-+-D 2 "^ 2

montre que les droites qui joignent les milieux des côtés opposés et des diagonales d'un quadrilatère ont un point commun qui est précisément le barycentre du quadrilatère.

4^ Les droites AD, BG se coupant au point E et les droites AB, CD au point F, si l'on observe que

EAD = EBG = FBA = FCD = o, on peut écrire

= ABE + ADF + CBF -h CDE = (CDE — BAE) - (DAF - CBF);

et les deux formes entre parenthèses nous donnent l'aire du quadrilatère (plan) dont les sommets sont A, B, C, D; par conséquent

(Ah-C)(B + D)(E + F) = o,

c'est-à-dire les milieux des diagonales d'un quadrilatère complet sont sur une même droite.

5^ Le point 0 {fig- 2) est le centre commun à deux circonférences; par un point P, par exemple, de la circonférence interne, on mène les cordes rectangulaires PA et PBC que l'on fait ensuite tournei' autour du point fixe P : 1° démontrer que le barycentre du triangle ABC est fixe; 2° démontrer que la somme des carrés des distances du point P aux points A,

B, C est constante ; 3° trouver les lieux décrits par les milieux des côtés du triangle (^).

Si P'= 0 4- (0 — P), le trapèze dont les sommets sont A,

Fig. 2.

B, C, F' est isoscèle et l'on voit facilement que

Cette relation (i) est d'ailleurs identique à la relation

A-4-B + C 20-hP 3 " 3 '

qui démontre la première partie.

Les carrés (produits internes) des deux membres de l'égalité (i) donnent

car

Mais si /•, R sont les rayons des deux circonférences, on a

C) Composition de mathématique à V Ecole spéciale militaire de Saint-Cy Concours de 1896.

et, par suite,

ce qui démontre la deuxième partie.

Posons enfin

Si nous mettons la relation (i) sous la forme

ou bien sous la forme

il en résulte que

donc mod(D — K) = - r est constant, D décrit un cercle de

centre K et de rayon -• On trouverait de même que les

points E, F sont toujours sur le cercle de centre K et de

R rayon -•

20. Formes du deuxième ordre. — Chaque segment est réductible à la forme AI où A est un point et I un vecteur, car AB = A(B — A); et l'on peut faire de même pour le produit d'un segment par un nombre, car ^(AI) = A(^'I). Une forme s du deuxième ordre (qui est la somme d'un nombre fini de segments) e»3t donc réductible à la forme générale

(l) ^ = Aili4-A2l2-H...H- A;J„,

OÙ Al, A2, . . ., A;i sont des points cl Ij, I2, . . ., I,i des vecteurs.

a. Appelons vecteur du segment AI le vecteur I; appelons

vecteur d'une forme du deuxième ordre la somme des vecteurs des segments dont elle est composée; le vecteur de s sera Ij-h IsH-. . .4-I«.

b. Une forme s du deuxième ordre est réductible d'une infinité de manières à la somme d'un bivecleur et d'un segment dont le vecteur est le vecteur même de s. En effet, soit 0 un point quelconque : puisque

AiIi = (Ai-0)Ii-i-OI„

la relation (i) prend la forme

^ = 0(Ii-+-12 + ...-hU)

+ [(Ai-0)Ii+(A2-0)l2-i-...-4-(A„-0)I.],

qui démontre le théorème.

En général, 0 étant un point quelconque, on a 5 = 01 4- «, où I est le vecteur de s, et u un bivecteur qui dépend de s et deO.

c. Si s est une forme du deuxième ordre, on appelle invariant de s le tétraèdre ss.

Pour que la forme s du deuxième ordre soit réductible à un segment ou à un bivecteur (c'est-à-dire au produit de deux formes du premier ordre) il faut et il suffit que l'invariant de 5 soit nul (55 = 0). En effet, si 5=:AB, où A et B sont des formes du premier ordre, 55 = ABABr=o; la condition est donc nécessaire : si au contraire 5 = 01 H- «, alors 55 =: 2 01 w; on a bien ss ■= o, quand I w =r o ; si I ou u sont nuls, alors s est un segment ou un bivecteur; mais si I et u ne sont pas nuls, u est alors parallèle à I et 01 + u est un segment parallèle à 01 : la condition est donc bien aussi suffisante.

d. Soient A, B deux points et 1, J deux vecteurs d'un plan ; considérons la forme du deuxième ordre 5 = Al -i- BJ. Si les segments Al, BJ ne sont pas parallèles et que 0 soit le point commun aux droites qui comportent les segments Al, BJ, l'identité 5=: 0(1 -i- J) -t- (A — 0)1 + (B — 0)J donne alors 5" = 0(1 -h J), car les vecteurs A — 0, B — 0 sont respective-

ment parallèles aux vecteurs I, J et la formule 5 = 0(I-f- J) fournit la réduction immédiate de 5 à un segment. Si les segments AI, BJ sont parallèles, alors 5^=œl et

5=r(A + ^B)I : si ^^— I, on a s— — — (I + J), et l'on

réduit s à un segment, faisant usage de la construction du barycentre de la forme A -h^B; si ^=— i, alors 5 = (A — B)I et s est réductible à un bivecteur. En général, une forme du deuxième ordre qui est la somme de segments d'un même plan est toujours réductible à un segment ou à un bivecteur. En Mécanique, on peut représenter une force appliquée à un corps rigide par un segment et la résultante d'un système de pareilles forces par une forme du deuxième ordre. Un couple est représenté par un bivecteur : si A, B, C, D sont quatre points, le nombre ABCI) est proportionnel au moment de la force AB par rapport à l'axe CD. Si u est un bivecteur, I u est l'axe moment du couple.

Exemples. — i^'" Soient Aj, A2, ..., A„ des points d'un même plan : la forme

^ = AiA2 + A2A3-f-...-f- Are iA,i-4- A„Ai

a un vecteur nul; elle est donc réductible à un bivecteur. Quel que soit le point P du plan, le triangle P^ a la même valeur et l'on peut appeler aire limitée de la ligne polygonale fermée Ai, A2, . . ., An, l'aire du triangle P^. Si la ligne est convexe, l'aire ainsi définie est celle que l'on considère en Géométrie élémentaire.

2*^ Soient A, B, C les sommets d'un triangle; posons