EG-F

\ du dv j

ce qui prouve que le discriminant de la forme quadratique différentielle (2) est positif ou nul.

En associant encore les formules (2) avec la précédente, on obtient l'équation

sm

\du'dv)~\/ EG '

qui détermine l'angle des lignes coordonnées passant au point P ; en

dV d?

supposant, bien entendu, -7- -r- différent de zéro.

Si l'on donne une relation entre u et v, et que l'on désigne par 6 l'angle que fait, par exemple, la tangente en P à la courbe décrite par le point P avec la ligne v, on aura

v/Ëcos6c?f = -r ^ du

dV

ou

- I l^du ^dv\

D'une manière toute semblable

y/Ë sin6 ds = mod ( -- ^P ) — mod (-r -3-) d^^ que l'on peut, d'après ce qui précède, écrire

. ^ v/i^G — F2 dv

sm 6 = — T '

NOTES

Si le bivecteur -^ -r- n'est pas nul, en posant

ç?P ^ du dv

mod

d^ dP du

dv)

on voit que K est un vecteur unité perpendiculaire au plan tangent en P à la surface; PK est encore la normale à la surface au même point. Posons, de plus.

da'^

^2p dudv

comme

on voit que

d^V — —r-^ du^ -f- 1 ~, — j- du dv d-u^ du dv

d^V\Y^ = \)du'^-hi\)'dudv

dv^

dv^,

et le second membre de cette formule est généralement appelé seconde forme différentielle de la surface P. Cette forme différentielle donne la grandeur de la composante normale du vecteur c?2P; c'est-à-dire que le produit de cette forme différentielle par le vecteur K est précisément la composante normale du vecteur c?2p; par analogie, les vec-

d^V teursDK, D'K, D"K sont les composantes normales des vecteurs -i-j>

, , ? -j-j • On a donc fort aisément la signification géométrique des

éléments habituellement considérés dans la théorie des coordonnées curvihgnes.

En appliquant la méthode dont nous venons d'exposer les éléments, on peut facilement démontrer les théorèmes de Meusnier, de Dupin, d'Euler, etc., et obtenir les lignes de courbure, les lignes asymptotiques, les lignes géodésiques, etc.; mais les limites que nous nous étions imposées ne nous permettent pas plus amples développements sur la Géométrie différentielle.