Vù 1.2... 5 (9,2/ù

dans laquelle hx désigne la valeur absolue de fc, ici négatif.

On voit de suite que c est plus grand que 5', puisque tous les termes du second membre sont essentiellement positifs. C'est qu'en effet le cercle de rayon infini n'est plus ici géodésique, comme il Test dans l'espace euclidien : il en passe une infinité par deux points et, corrélativement, il n*est pas la ligne de plus courte distance.

(') Il suffit matériellement de remplacer k par —A,, dans la formule précédente et de transformer l'expression en fonction hyperbolique. Voir Barbarin, La Géométrie non-euclidienne, p. 46.

Nous ne devons pas dissimuler une particularité qui, aux yeux de bien des gens, doit paraître singulièrement paradoxale : si tu décroît indéfiniment dans la formule précédente, tandis que c reste constant, 5' devra décroître indéfiniment et devenir plus petit que toute quantité donnée, car autrement on pourrait donner à A^i une valeur assez petite pour que le second membre de l'égalité devînt supérieur à la valeur constante de c. Il suit de là que, si long que soit un segment d'horicycle, on peut joindre ses deux extrémités par une ligne aussi courte qu'on voudra.

Non seulement il y a évidemment là de quoi désorienter ceux qui prennent leur imagination comme régulatrice de leur raison ; mais on peut se demander s'il n'y a pas plus qu'un paradoxe, une véritable contradiction.

Si Ton peut toujours faire passer une droite de Lobatchefsky, ou un hypercycle, par deux points donnés, quelle que soit sa courbure, c'est que toutes ces lignes sont infinies.

Or ne paraît-il pas contradictoire qu'on ait des lignes infinies quand la distance de deux points quelconques est aussi petite qu'on veut? 11 y a même plus : notre égalité ne montre-t-elle pas que, quelle que soit la distance euclidienne (ou suivant un boricycle) de deux points, leur distance est rigoureusement nulle suivant un hypercycle pour lequel kt est égal à zéro?

Examinons d'abord cette dernière difficullé où la contradiction apparaît manifeste. Si nous considérons une surface à paramètre nul ou à courbure infinie, cette

courbure n'est, à vrai dire, ni posîtLve ni négative, et nous pouvons envisager indifféremment Tune ou l'autre des deux formules. Celle qui concerne les espaces à courbure positive montre que c est forcément nul eu même temps que le paramètre /r, c'est-à-dire que Tespace se réduit à un point : le plan correspondant est une sphère de rayon nul. Ou peut donc dire, en un certain sens, que la formule est applicable jusques et y compris la limite; au contraire, celle qui concerne les espaces à courbure négative cesse de Fôire précisément à la limite, en sorte que les deux formules se soudent sans solution de continuité au point de vue de l'applicabililé de l'une d'entre elles, mais avec discontinuité dans les résultats de leur application. Il n'y a du reste pas lieu de s'étonner de cette inapplicabilité d'une formule à la limite : c'est un fait très fréquent en Analyse et dû à ce que, dans l'établissement d'une formule, on a implicitement écarté l'hypothèse de la limite.

Reste la première difficulté, ou plutôt la forme atténuée de la même difficulté : bien que deux points aussi éloignés qu'on le veut suivant un horicycle soient aussi voisins qu'où le veut suivant un hypercycle, celui-ci n'en est pas moins infini.

La forme contradictoire de ce paradoxe tient à ce que nous parlons d'une ligne variable comme si elle était fixe. Nous donnant deux points aussi distants que nous le voulons suivant un horicycle, nous prenons une distance euclidienne déterminée, quelle qu'elle soit d'ailleurs; ensuite, si nous nous fixons une valeur de la distance lion euclidienne à obtenir, nous trouvons, en L. 4.

fonction de cette valeur, une ligne à paramètre déterminé. Dès lors nous pouvons inversement, Phoricycle étant infini, y trouver un troisième point qui soit à une distance du premier aussi grande qu'on voudra suivant un hypercycle de même paramètre que le précédent.

Il résulte de là que la contradiction entrevue n'était qu'apparente; mais il subsiste un paradoxe, résultant du simple fait que deux points aussi éloignés qu'on veut suivant un horîcycle sont aussi voisins qu'on le veut suivant un hypercycle convenablement choisi. Mais, au fond, ce paradoxe doit satisfaire, bien plus que choquer, tout philosophe convaincu de la relativité de l'espace. Il semble bien, en effet, que cette relativité serait incomplète s'il existait entre deux points une ligne qui fût absolument la plus courte : dans un espace donné, il y en a une qui est moins longue que toute autre; mais c'est là une propriété relative à cet espace. Dans les révoltes provoquées par renonciation du paradoxe que nous étudions, il n'y a qu'une suite des restes inconscients des suggestions de notre sensibilité et de notre imagination : pour celles-ci, il n'y a qu'un espace possible, et la notion de lignes plus courtes que les droites de cet espace unique est un scandale dont il n'y a lieu ni de s'étonner, ni de s'inquiéter.

Quelques particularités de la géométrie des hypersphères. — En principe, nous avons terminé notre étude; mais nous ne devons pas oublier que nous la destinons particulièrement aux personnes qui ne sont

pas encore familières avec les géomélries non-eucHdîeiines, et, pour ce motif, nous signalerons quelques particularités de la géométrie des hjpersphères, qu'il convient de ne pas perdre de vue si l'on ne veut pas s'exposer à commettre mainte erreur par l'admission de quelque proposition impliquant le po5^i//animd'Euclide, ainsi que le font les inventeurs de démonstrations de ce posiutatum.

Deux géodésiques qui ne se rencontrent pas ont une perpendiculaire commune reliant les deux points les plus voisins. Il en résulte que, si l'on joint par une géodésique deux points également distants d'une autre géodésique, la distance minimum de celles-ci correspond, par raison de symétrie, au milieu de la distance des deux points donnés : c'est exactement l'inverse de ce qui se présente sur une sphère où ce milieu correspond au maximum de distance.

Les deux géodésiques s'écartent ensuite indéfi ni ment Tune de l'autre.

La formule S = AE ( voir la note de la page 12), formule qui donne la surface d'un polygone en fonction de son excès angulaire, positif ou négatif, et de la courbure de la surface, montre que, sur les surfaces courbes, les polygones de nombre fini de côtés présentent une surface nécessairement finie, dont le maximum est égal k kiTZ pour un triangle, sur une surface à courbure négative. Ce fait surprend au premier abord, les côtés du triangle pouvant être infinis. Dans ce cas, les côtés sont parallèles et se rejoignent à l'infini sous un angle nul.

5o CHAPITRE III.

Exemple d'une fausse démonstration du « postulatum » d'Euclide. — Parmi les nombreux essais de démonslration du postulatum, nous en choisirons un comme exemple pour montrer aux personnes peu familières avec la géométrie de Lobatchefsky combien il est facile de laisser passer, souvent de façon implicite, une proposition qui suppose précisément ce postulat. Cet essai de démonstration est emprunté à M. Jules Richard (*), qui d'ailleurs en connaît bien le vice et qui Ta formulé en modifiaiil une démonstration que croyait avoir donnée M. Carton [^).

Soit une série de n triangles ABC, CDE, EFG, . . . , HKL, LMN {Jig> 5), tous égaux et ^rangés sur une

Fig. 5.

même ligne droite AN. Joignons deux à deux les sommets B, D, F, . • •, K. M par des droites donnant ainsi

(*) Sur la philosophie des Mathématiques, p. 87.

(^) M. Richard indique que la démonstration de M. Carton se trouve dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (vers 1867) et dans la Géométrie sans axiomes de Perronel-Thomson.

naissance h n — i triangles égaux entre eux, mais non forcément égaux aux premiers. Prenons un point S au-dessus de cette figure et joignons-le aux points B, D, F, ..., K, M. Nous obtenons ainsi un pentagone SBANM divisé en 3/i — 2 triangles. Supposant que la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits, nous désignerons par 2 — a celle de chacun des triangles de la première série et par 2 — b celle de cliacun des triangles de la deuxième série, en sorte que la somme des angles des triangles de ces deux séries est

égale à

2/1 — nrr -h 2n — 2 — (n —\)h^

à quoi nous ajouterons celle des angles des triangles de la troisième série, qu'on peut désigner par 7.n — 2 — h, La somme de tous les angles de la figure est dès lors

égale à

6 /î — \ — na — ( « — I ) 6 — A'.

Calculons autrement cette même somme. Il y a d'abord

la somme S des angles du pentagone. En chacun des

points C, E, G, . . ., H, L on a deux droits, ce qui en

donne 2/z — 2 ; en chacun des points D, F, . . . , K il y

en a quatre, d'où une somme de /\n — 8 droits et un

total général

Egalant les deux expressions, on obtient

S = 6--[/îa-f-(/î. — i)ô-f- A-].

Si petits que soient a, h et À", on peut prendre n assez grand pour que S soit négatif, ce qui est absurde. La

somme des angles d'un triangle ne peut donc être inférieure à deux droits.

Le postulat qui s'est glissé dans cette démonstration consiste en ce que nous avons admis que, si loin que se prolongerait la première série de triangles, il serait possible de trouver un point S tel qu'en le joignant aux points B, D, . . . , K, M les droites ainsi menées ne rencontreraient pas la ligne brisée BD. . .KM. Essayons de montrer comment cette hypothèse peut être illégitime.

D'après ce que nous avons vu tout à l'heure, la droite BD est à sa distance minimum de la droite AN au point milieu entre B et D et, au delà de ces deux points, elle s'éloigne indéfiniment de celle-ci. S'il y a donc, au-dessus de la ligne brisée BD. . .KM, des points qui soient également au-dessus de la droite BD, il en est d'autres qui sont compris entre les deux lignes. Rien n'empêche évidemment de choisir l'un des premiers pour point S, et alors SB ne rencontrera pas la ligne brisée avant le point B; mais il faut satisfaire à la même condition de l'autre côté de la figure, et rien ne prouve qu'on puisse avoir un point S qui soit à la fois au-dessus de BD et de la dernière droite KM, puisque BD et KM peuvent ne pas se rencontrer : nous pouvons même maintenant affirmer qu'on ne le peut pas, sur une hypersphère, si Ton prolonge suffisamment la construction.

Réponse à une objection. — M. Barbarîn, pour combattre l'identification des plans et sphères de Riemann

gëométrie des espaces a courbure négative. 53

et des sphères d'Euclide, demande d'abord pour quel motif on n'identifierait pas également à ces dernières sphères celles de Lobatchefsky et Thorisphère de celui-ci au plan d'Euclide. On a vu que c'est précisément ce que nous faisons, et il n'y a là par conséquent aucune objection qui puisse nous toucher. Mais M. Barbarin fait plus : il pose des questions analogues à l'égard des pseudo-sphères euclidiennes ou riemannicnnes à courbure constante négative, ayant par suite même trigonométrie que les plans lobatchefskiens, ainsi qu'à l'égard des hypercycloïdes ou canaux, tant riemanniens que lobafchefskiens, qui ont une courbure constante nulle et, par suite, même trigonométrie que le plan euclidien. Nous avons traité cette question, en ce qui concerne les pseudo-sphères euclidiennes, dans un article des Annales de la Société scientifique de Bruxelles (*) que cite M. Barbarin lui-même, et Ton pourrait faire des réponses plus ou moins semblables pour les autres surfaces.

A ne les envisager qu'en elles-mêmes, les pseudosphcres euclidiennes se distinguent des plans de Lobatchefsky en ce que les géodésiques des premières se coupent deux à deux un nombre infini de fois, tandis que celles des derniers se coupent au plus une fois. De même, par deux points d'une pseudo-sphère passe une infinité de géodésiques, tandis qu'il n'en passe qu'une sur un plan lobaichefskien. Par là même, le déplacement d'une figure sur une pseudo-sphère peut faire

(^) Ànaée 1895-96. Mémoires, p. 128.

54 CHAPITRE m.

naître ou évanouir certaines înterseclîons ou, plus généralement, changei' les points où elles se produisent.

En outre (et cette considération a une portée générale), si Ton considère une pseudo-sphère dans un espace à trois dimensions, elle présenté des courbures principales essentiellement variables, li^es seulement par la condition que leur produit soit constant, en sorte que les figures déplacées sur elle se déforment alors même qu'elles ne présentent pas de ces intersections adventices dont nous parlions tout à l'heure.

Objection tirée de l'existence d'espaces isométriques. — Le dernier argument que nous avons formulé prête le flanc à une objection de si grande portée, en apparence, qu'elle est même en uu sens irréfutable.

Vous parlez, peut-on nous dire, d'une dilFérence de deux surfaces de même courbure qui n'est appréciable que dans un espace à trois dimensions. Or, on pourrait envisager chacune de ces surfaces dans un espace qui lui fût approprié, de telle sorte qu'aucune différence n'apparût enlre les deux systèmes de surface et d'espace.

Supposons, par exemple, un cylindre à directrice infinie ouverte, tel qu'un cylindre parabolique : intrinsèquement, il ne peut être distingué d'un plan, mais il s'en distingue si on le place dans un espace euclidien, parce qu'alors une seule de ses sections principales est à courbure nulle. Au contraire, si on l'envisage dans un espace à trois dimensions ayant mêmes géodésiques que notre cylindre, celui-ci y jouira exactement des propriétés du plan dans l'espace euclidien, et cette indis-

GEOMETRIE DES ESPACES A COURBlllE NEGATIVE. JJ

cernabilitë peut être poursuivie indéfiniuicnt en augmentant le nombre des dimensions.

- Ceci peut s'appb'quer aux espaces spbériqucs et aux espaces de Riemann : vous en avez démontré Tisométrie, peut-on nous dire, mais nullement rideutîté. L'objection est irréfutable; mais quelle en est la vraie portée? On ne fait jamais que des Géométries générales, convenant à tous les espaces isométriques. Ceux-ci peuvent être discernés si, à un moment quelconque, on les place dans un même espace et si on leur attribue dans cet espace des propriétés distinctes; mais, tant qu'on poursuit parallèlement une double série d'espaces isométriques, il est puéril de prétendre les distinguer puisqu'ils sont essentiellement indiscernables. L'objection ne se réfute pas : elle s'annibile d'elle-même, et telle sera la conclusion de notre étude.