PERPENDICULARITÉ

[ un point...

A dislance }

finie j

( une droite.

( un point...

A l'infini ^

( une droite.

nul

nul incomplet incomplet incomplet incomplet complet

nulle

incomplète

complète

nulle incomplète

nulle

On voit que, si le parallélisme complet est incompatible avec toute perpendicularité, et réciproquement, parallélisme et perpendicularité imcomplets sont parfaitement compatibles entre eux. La première proposition résulte immédiatement des définitions de la perpendicularité et du parallélisme complets. Quant aux mêmes relations incomplètes de deux plans, elles sont évidem-

ment réunies dans deux plans du même espace perpendiculaires entre eux, puisqu'ils ont en commun le point de rinfini de leur intersection. D'autre part, si deux plans se coupent en un point unique rejeté à l'infini, rien ne les empêche d'être imcomplètement perpendiculaires entre eux.

Rotation autour d'un plan. — Revenons aux quatre droites perpendiculaires entre elles, issues d'un même point O. Chacune d'elles est perpendiculaire au plan de deux quelconques des trois autres.

En particulier, x^ et X2 sont perpendiculaires au plan de x^ et de x^. Dès lors, si, laissant immobiles les deux premières de ces droites, nous faisons tourner x^ autour du point O, dans le plan x^x^, nous aurons constamment un trièdre rectangle qui décrira une révolution sans que deux de ses arêtes éprouvent aucun déplacement.

Si maintenant nous concevons une perpendiculaire au plan x^x^-^ élevée en chacun de ses points dans l'espace x^x^Xz^ et si nous supposons que toutes ces droites se déplacent en même temps que x^ de façon à rester toujours dans l'espace du trièdre, nous voyons que tout cet espace tourne autour du plan x^ X2 5 après un quart de révolution, il coïncide avec l'espace XtX2X4'^ après une demi -révolution, les deux moitiés de l'espace XiX2Xz séparées par le plan XiX2 ont échangé 'leurs positions respectives, et enfin, après une révolution complète, tout a repris sa position pri* mitive.

géométrie: euclidienne a quatre dimensions. 93

Figures symétriques par rapport à un plan. — On voitiinmédiaiement que, dans la rotation précédente, chaque point occupe, après une demi-révolution, la position qu'occupait au début du mouvement son symétrique par rapport au plan x^ X29 d'où résulte que cette demi-révolution amène deux figures symétriques en superposition : c'est la confirmation do la généralisalion que nous avions formulée dans le Chapitre I.

Coordonnées. — Les quatre droites qui se coupent eu un point et dont chacune est perpendiculaire aux trois autres fournissent une extension immédiate des coordonnées cartésiennes. Si Ton projeile un point A sur ces quatre axes, on obtient ses quatre coordonnées «1, «2? ^3> «4' Oi^ remarquera d'ailleurs que ses projections sur les plans déterminés par les axes peuvent aussi servir à le déCnir; mais ici il faut faire une distinction : tandis que, si Ton donnait ces projections sur deux plans situés dans un même espace à trois dimensions, le point ne serait pas déterminé vu qu'on ne pourrait en déduire que trois de ses coordonnées, les projections sur deux plans non situés dans le même espace déterminent les quatre coordonnées et par suite le point A lui-même. Il en résulte que, comme nous l'avons déjà indiqué, il suffit, en Gcomélrie descriptive, de deux projections d'un point de l'espace h quatre dimensions pour le déterminer.

Une équation du premier degré détermine nn espace à trois dimensions euclidien^ deux équations semblables répondent au plan, intersection des deux espaces déter- L. 3

24 CHAPITRE If.

minés respeclîvement par chacune d'elles, et enfin trois équations linéaires définissent une ligne droite.

Ces diverses propositions, assez évidentes d'elles^ mêmes, sont aisées à démontrer. Il suffit par exemple de faire x^=^o pour obtenir un système analytique à trois variables absolument identique à notre Géométrie analytique ordinaire.

Nous pourrions d'ailleurs donner de suite quelques applications de la Géométrie analytique à quatre dimensions, par exemple en montrant par le calcul la retournabilité d^un espace à trois dimensions autour d'un plan et la superposition qui en résulte de deux figures symétriques par rapport à ce plan; mais Tétude des sphères à trois dimensions, qui va faire Tobjet du prochain Paragraphe, fournira un exemple suffisant de ce genre d'exercices.

§ II. — Sphères a trois dimensions.

Leur définition, leur contenu et leur contenant. — Dans Tespace euclidien à quatre dimensions, Téquation

rrî -f- ip| -H a7| -h a^î = R«

est celle du lieu des points situés à une distance R de Torigine des coordonnées : c'est une sphère à trois dimensions ou, si Ton veut encore, un espace sphérique à trois dimensions, c'est-à-dire où un point est déterminé par trois coordonnées.

On remarquera qu'une droite issue de l'origine la perce en deux points, en vertu même de sa définition,

et il en est d'ailleurs ainsi de toute autre droite qui la rencontre. Nous ne le faisons remarquer qu'à titre de nouvelle vérification du fait général qu'un espace d'ordre quelconque est toujours infiniment mince à l'égard d'une ligne qui n'j est pas contenue.

On trouvera dans le Traité de M. JoufFret le calcul du contenu et du contenant de la sphère à trois dimensions en fonction de son rayon, ainsi que ceux d'une sphère d'un nombre quelconque de dimensions. Bien que cette question ne présente pas pour nous un grand intérêt, nous reproduirons les résultats parce qu'ils sont assez curieux.

Dans un espace euclidien de degré 2/i, le contenu de la sphère est donné par la formule

TtR* tcR» itR» tcR»

en sorte que, dans l'espace à quatre dimensions, on a

Dans l'espace de degré 2n — i , la formule est

2» TtR» tcR» tcR»

itR I 3 2/1 — I

En faisant 2W — i = 3, on obtient bien -içR'.

Pour passer du contenu au contenant, on peut appli*

quer la relation

où A/i et Bn sont le contenu et le contenant dans Tespace de degré n. On a donc, quand w = 4,

Ces valeurs des contenus et des contenants dans les espaces successifs présentent deux particularités intéressantes. Quand on passe d'une valeur paire à une valeur impaire de 7i, l'exposant de tc ne change pas, mais il augmente d'une unité quand on passe d'une valeur impaire à une valeur paire.

Ce fait lient à ce que la différentielle contient le facteur cos'^O rf6; or on sait que, si l'on pose

on a

nln= (n--i)t„2.

Comme it)= - et !< = i, la loi signalée apparaît immédiatement.

D'autre part, si Ton prend le rayon pour unité de longueur, la valeur du contenu va en diminuant à partir du sixième degré. Dès le vingtième degré, la valeur est très faible, et la limite est zéro lorsque n croit indéfiniment.

Les valeurs du contenant continuent à croître un peu plus longtemps, mais décroissent ensuite très rapide- ' ment et tendent également vers zéro.

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE k QUATRE DIMENSIONS. 2^

Étude analytique des sphères à deux dimensions. — Mais ce sont là pour nous pures curiosités, et nous avons hâte d'aborder avec détail un ordre de questions qui a été négligé parM. JouDTret. Nous préparerons cette étude ' en établissant analytîquement les propriétés correspondantes des sphères à deux dimensions : par là se trouvera facilitée Tinterprétation géométrique du développement analytique analogue à quatre variables.

Soit, dans un espace euclidien à trois dimensions, la sphère

que nous coupons par le plan a:^ = o j la courbe d'intersection est le cercle

Si maintenant nous rendons le plan sécant mobile autour de l'axe x^, en lui donnant pour équation

Xi = Xi tanga,

la courbe d'intersection restera la même, quel que soit a, en raison de la parfaite symétrie de Téquation de la sphère, et ainsi du reste qu'on le vérifierait facilement au moyen d'un changement de coordonnées qui ferait du plan sécant le nouveau plan des 0:2^3 (* ).

(^) Les formules de transformation seraient

cos ^-\- x\ siD a,

sina H- x\ cos a,

Il résulte de là que, lorsque le plan sécant tourne autour de l'axe des X3, le grand cercle (*) qu'il détermine constamment sur la sphère engendre celle-ci, et Ton peut ajouter que, lorsque a est égal à tî, chaque moitié du grand cercle vient en coïncidence avec la position primitive de Taulre moitié (2) : il y a eu retournement du cercle. Ce retournement, d'ailleurs, au lieu d'être considéré comme étant le résultat de la rotation d'un plan autour de l'axe des x^ dans l'espace à trois dimensions, peut être regardé comme opéré par une rotation sur la sphère elle-même autour des points où cet axe perce cette surface

On peut donc dire, comme nous l'avons déjà remarqué, que le cercle est une ligne retournable autour de deux de ses points, sur les sphères dont il est grand cercle.

Remarquons d'ailleurs que, pendant la rotation, les points situés sur le plan des x^X2 ont décrit le grand cercle

et sont restés, durant tout le mouvement, à une distance constante -TcR des deux points autour desquels s'est

( *) Nous disons le grand cercle, car le plan x^^ = a, par exemple, coupe la sphère suivant le cercle plus pelit

(^) Ceci résulte immédiatement de la symétrie de Téquation da cercle.

effectuée la rotation : un grand cercle a donc deux centres sur la sphère auxquels répondent deux rayons égaux. Tout point à une dislance ^R d*uii des centres de rotation décrit également un cercle ayant aussi deux centres, mais auxquels répondent des rayons inégaux ^ R et (t: — P) Rj ayant itR pour somme. La parfaite symétrie de l'équation de la sphère montre la généralité de ces propriétés.

Retoumabilité d'une sphère dans un espace sphérique à trois dimensions approprié. — Avec une variable de plus, l'équation

représente, dans un espace à quatre dimensions euclidien, c'est-à-dire ayant la droite euclidienne pour géodésique, un espace à trois dimensions que nous avons appelé sphérique.

Une équation du premier degré représente un espace euclidien à trois dimensions, et celui qui a pour équation

Xi = o

coupe l'espace sphérique suivant la sphère

qu'on peut appeler g/'rt/irfe sphère j car tout autre espace ne passant pas par Torigine des coordonnées, tel qucî Xi = a, déterminerait une sphère de plus petit rayon

Rendons mobile l'espace sécant autour du plan dis

3o CHAPITRE 11.

x^Xj^ en changeant son équation en x^ = x^ tanga; la sphère d'intersection restera la même en raison de la parfaite symétrie de l'équation de l'espace sphérique, ainsi du reste qu'on le vérifierait au moyen d'un changement de coordonnées -qui ferait de l'espace sécant celui des nouveaux axes ^2> ^z ^^ ^k (*)• I' résulte de là que, lorsque l'espace sécant tourne autour du plan des 0:3X4, la grande sphère qu'il détermine dans l'espace sphérique engendre celui-ci, et l'on peut ajouter que, lorsque a est égal à 7:, chaque moitié de la sphère se trouve en coïncidence avec la position primitive de l'autre moitié : il y a eu retournement de la sphère. Ce retournement d'ailleurs, au lieu d'être considéré comme résultant de la rotation d'un espace euclidien à trois dimensions dans un espace également euclidien à quatre dimensions, peut être regardé comme opéré dans l'espace sphérique à trois dimensions, autour du grand cercle suivant lequel le plan des x^Xs^ coupe cet espace sphérique

a^i = o, 372=0, :r| -4- arf = R*.

On peut donc dire que la sphère est une surface rctournable autour de ses grands cercles dans les espaces sphériques à trois dimensions dont elle est grande sphère.

Cette question de retournabilité de la sphère est si importante qu'il convient d'insister pour éviter tout

(*) Les x^ et les x,, restent sans changement et les formules de transformation des x^ et des x^ sont celles que nous avons vues précédemment.

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE A QUATRE DIMENSIONS. 3l

malentendu. Un cercle étant donné sur un plan, une simple rotation de 180® autour du centre amène en superposition cbaque moitié du cercle avec la position primitive de l'autre moitié; mais il n'j a pas eu retournement, parce que chaque point n'est pas venu en superposition avec son symétrique par rapport au diamètre séparatif {voir p. 4 ^l^ S). Au contraire, il y a retournement par l'effet de la rotation soit autour de ce diamètre, soit sur la sphère autour des deux points séparalifs des deux demi-cercles.

De même, on peut amener une demi-sphère en superposition avec l'autre moitié par rotation autour d'un diamètre du grand cercle séparatif (ou, si Ton veut, autour des deux extrémités de ce diamètre); mais il n'y a pas alors retournement : chaque point vient en superposition avec son symétrique par rapport à ce diamètre et non avec son symétrique par rapport au plan séparatif. Au contraire, la rotation autour du plan^opère la superposition de ces derniers symétriques (voir p. 6).

La proposition est évidente dans le cas de la rotation autour d'une droite dans l'espace à trois dimensions, mais elle résulte d'ailleurs de ce calcul fort simple : soit un point (^,, 0:2, X3) qui tourne autour de l'axe des ^3. Cette dernière coordonnée ne varie pas, tandis que les deux autres sont liées par les relations

a?j = rsina, X* = r cos à,

a désignant l'angle du plan de rotation avec le plan

des 0^2X3. Si l'on remplace a par a + Tc, j:< et x^ changent (le signe en conservant la même valeur absolue.

Dans le cas de quatre dimensions et de la rotation autour du plan des 0:3X4, il en est de même : les deux coordonnées x^ et Xj^ restent constantes, tandis que x^ et x^ sont reliées précisément par les mêmes formules que tout à l'heure : ils changent donc simplement de signe après une rotation de 180®, et la nouvelle position est symétrique de la première par rapport au plan des 0:3X4. Ceci est vrai quels que soient x^ et x^', si, comme cas particulier, x^ est nul, le point X est dans l'espace des x^x^x^ et s*y retrouve après la demirotation : il n'en est sorti que pour subir le retournement. Il en est ainsi de toute figure, notamment de la sphère intersection de l'espace x^=^o avec l'espace à quatre dimensions, laquelle se trouve ainsi retournée.

Double centre des sphères. — Pendant la rotation d'une grande sphère autour d'un de ses grands cercles, chacun des points de celte surface reste à des distances constantes de chacun des points de ce grand cercle; si donc nous considérons un des points de celui-ci. et le grand cercle dont il est le centre (ou le pôle), tous les points engendrés par ce grand cercle seront également distants de ce point et formeront une sphère dont il sera un centre, mais qui en aura un second, à savoir le second centre du grand cercle générateur.

Les deux rayons de celte grande sphère seront tous

deux égaux à -tîR. Si au lieu d'un grand cercle nous

en prenons un petit, il engendrera une petite sphère ayant deux rayons ^R et (u — P)R«

Tous ces rayons sont mesurés suivant des arcs de grand cercle et, d'une façon générale, c'est suivant de telles lignes que se mesurent les distances dans l'espace à trois dimensions sphérique, car, comme sur la sphère, ces lignes y sont les lignes de plus courte distance. Dès lors, si l'on désigne par c et par s la distance de deux points suivant la droite ou suivant l'arc de grand cercle qui les joint, on voit sans difficulté que l'on a

c = aR sin— =7 2R

ou, en représentant par j la courbure de la sphère,

c = 2 v^ sin

^Tk

Comparaison avec la géométrie riemannienne. — On sait que la trigonométrie du plan de Riemann est identique à celle de la sphère en géométrie euclidienne. Certains géomètres, comme M. Mansion, disent volontiers (( analogue » (* ), mais c'est bien ce identique » qui est le mot propre.

Où la différence apparaît, c'est lorsque Ton cesse de considérer isolément un plan de Riemann et une sphère d'Euclide : dès qu'on les étudie dans l'espace à trois dimensions correspondant, apparaît une série d'auti-

( * ) Premiers principes de la Métagéométrie ou Géométrie générale, p. 37.

thèses. Le plan de Riemann est retournable; la sphère d'EucHde ne l'est pas. Celle-cî a un centre; le premier en a deux.

Maison voit de suite, par ce qui précède, que ces antithèses s'évanouissent si, au lieu d'envisager la sphère d'Euclide dans un espace à trois dimensions ayant la droite euclidienne pour géodésique, on l'envisage dans un espace ayant pour géodésique le grand cercle de la sphère. Il y a alors identité entre les deux géométries, et l'un de nos contradicteurs, M. Mansion, le reconnaît expressément :

« Les propriétés qui constituent, dit-il, la géométrie de la circonférence considérée sur la sphère de même rayon, celle delà sphère considérée dans l'espace sphérique de même rayon, sont les mêmes que celles de la droite dans le plan riemannien, du plan riemannien dans l'espace riemannien (*). »

Pourquoi donc, comme le fait à sa suite M. Barbarin, M. Mansion repousse-t-il toute identification de deux choses qui paraissent indiscernables? C'est que, disentils, les distances d'un plan riemannien à ses deux centres sont comptées snr des droites riemanniennes et non sur des cercles. Mais précisément il s'agit de savoir si ces droites ne sont pas des cercles, en sorte que l'objection résout la question par la question elle-même.

Il convient ici d'ajouter quelques mois sur l'impuis-

( ^ ) Annales de la Société scientifique de Bruxelles, année 1895-96, Mémoires, p. 16 1.

sancc OÙ se trouvent les géomètres de l'école de MM. Mansion et Barbarin de distinguer des plans divers de Riemann (*), caractérisés par la valeur d'une certaine constante. Dans un triangle rectangle rieman-

nien on a

ces — =■ ces — ces - »

où r, dit M. Mansion, est un paramètre numérique dont rien, en Géométrie théorique, ne détermine la valeur.

En géométrie sphériquc euclidienne, ce paramètre est précisément le rayon de la sphère, et les diverses sphères se différencient par la longueur de ce rayon, quelle que soit d'ailleurs la longueur prise comme unité. Si nous nous enfermions dans une sphère et si nous prenions par exemple pour unité l'arc de i®, la formule deviendrait

TZa Tzb TTC

ces -^- = ces -^- ces --r- ,

et cela quel que fût le rayon. On voit que tout paramètre caractéristique de la sphère s* est évanoui. C'est qu'en effet, si nous nous enfermons séparément sur diverses sphères, nous n'avons aucun moyen de les distinguer, n'ayant pas de commune mesure a y appliquer : chaque unité ne pourra se définir que par rapport à la surface sur laquelle elle sera prise. En d'autres termes, pour

(^) L^napossibilité est du reste la même en ce qui concerne les plans de Lobatchefsky.

pouvoir distinguer deux sphères, il faut les situer dans un même espace à trois dimensions.

Il en va de même de deux espaces sphériques à trois dimensions, qui ne deviennent discernables qu'à condition d'être envisagés dans un espace à quatre dimensions, et la remarque s'étend à leurs grandes sphères.

Lors donc qu'en se conGnant dans un espace à trois dimensions on prétend le caractériser, ainsi que son plan ou sa grande sphère, par un paramètre numérique, il y a là une pure illusion.

M. Mansion a opposé à notre argumentation la réflexion suivante, dont la terminaison équivaut à peu près à un accord :

« On peut concevoir, dit-il, des espaces de Riemann et de Lohatchefsky de divers paramètres de la manière suivante : Si Ton connaît i, longueur, rapportée à une certaine unité, du côté d'un triangle rectangle isoscèle déterminé, dont on ignore s'il est euclidien, riemannien ou lobalchefskîen, on pourra supposer, avant toîite mesure, que la longueur a de l'hypoténuse a n'importe quelle valeur, égale, inférieure ou supérieure à iy/2. Cela implique la possibilité de valeurs en nombre infini pour r et /, mais non la possibilité de comparer des longueurs dans deux espaces différents (*). »

Cela signifie qu'on conçoit la possibilité d'espaces

( ^ ) Annales de la Société scientifique de Bruxelles, année 1895-96, p. 182, note.

r désigne le paramètre riemannien dont il a été parlé page 35, et l le paramètre lobatcbefskien analogue.

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE A QUATRE DIMENSIONS. 3y

différents maïs qu'on ne peut comparer les longueurs qui les caractérisent : on ne peut donc ramener à une même unité le paramètre des divers espaces, ce qui signifie que la distinction conçue ne peut se traduire dans les formules. C'est, dirons-nous, une aspiration à la quatrième dimension, laquelle seule permet de donner une portée effective à une conception supposant au fond implicitement cette quatrième dimension.

M. Russell a fort bien vu que, s'en tenant aux espaces à trois dimensions, il ne peut les caractériser par des constantes :

ce Dans ces espaces (les espaces non-euclidiens), dit-il, la constante spatiale est Punité ultime, le terme fixe de toute comparaison quantitative ; elle est donc elle-même, en tant qu'on la compare à d^autres constantes spatiales, privée de grandeur, puisqu'il n'y a aucune grandeur donnée indépendamment à laquelle on puisse la comparer. La constante spatiale, il est vrai, est une grandeur, en tant que comparée à des grandeurs empiriquement données dans un espace actuel^ si notre espace est non-euclidien, nous pouvons, par exemple, comparer la constante spatiale avec le diamètre de l'orbite terrestre. La constante spatiale, mesurée par cette comparaison, peut avoir une certaine grandeur. Mais c'est seulement par rapport aux grandeurs contenues dans son propre espace que la constante spatiale a une grandeur, et non pas par rapport à d'autres constantes spatiales. On n'a donc pas une série de constantes spatiales plus grandes et plus petites, puisque différentes constantes spatiales

appartiennent à différents espaces dont un seul peut être actuel et dont on ne peut^ par suite, comparer deux (*). »

Telle est la seule thèse rationnellement soutenaLle pour ceux qui rejettent toute considération d'un espace à quatre dimensions. Nous nous sommes laissé entraîner dans cette digression, qui nous a mis en contradiction avec bon nombre de géomètres non-euclidiens, parce qu'il nous a semblé intéressant de montrer à ceux qui se défient de cette considération, fondamentale dans notre étude, que, sans elle, la conception d'une double série infinie d'espaces à courbure positive et à courbure négative, enserrant l'espace euclidien comme cas limite de transition, est purement chimérique. Sans la quatrième dimension, il y a l'espace euclidien, l'espace riemannien,respacelobatchefskien, également uniques tous les trois. Ceux qui ne se contentent pas de cette solution doivent accepter la quatrième dimension, et alors s'évanouit, nous semble-t-il, la seule difficulté sérieuse qui pouvait les empêcher de nous suivre.

( *) Essai sur les fondements de la Géométrie, traduction Cadenat et Couturat, p. 108.

Difficulté de l'étude de cette géométrie et méthode adoptée. — Nous avons pu étudier les espaces à courbure positive sans sortir de la géométrie euclidienne, à la condition d'ajouter une dimension à Tespace euclidien vulgaire, attendu que, de même que la sphère à deux dimensions est une surface à courbure positive contenue dans ce dernier espace, de même la sphère à trois dimensions est un espace à courbure positive contenu dans l'espace euclidien à quatre dimensions. Ici la difficulté est plus grande, car, comme nous Tavons dit (p. i3), ce que nous cherchons, c'est un espace contenant des surfaces s isogènes à courbure négative, et nous savons qu'il n'en existe pas dans l'espace euclidien (*).

Il nous faut donc partir de cette propriété de la courbure négative, c'est-à-dire de l'infériorité de la somme des angles d'un triangle par rapport à deux droits, et établir sur cette propriété, prise comme défi-

(^) Sur ce point, voir la réponse ù une objection, à la lin de la présente étude (p. jj).

4o ^ CHAPITRE III.

uition, une nouvelle Géométrîe. Remarquons d'ailleurs que nous aurions pu procéder ainsi pour les espaces à courbure positive, el cela eût donné plus de symétrie à notre pensée dominante de relier le plus possible les diverses géométries les unes aux autres.

Démonstration de l'équivalence avec le point de départ de Lobatchefsky. — Notre point de départ n'est pas celui de Lobatchefsky, maïs on peut passer rapidement de l'un à l'autre, au moyen d'un lemme et d'un théorème.

Lemme. — Sur un plan à courbure négative (ou nulle) on peut toujours, par un point donné, mener une ligne droite qui fasse avec une droite donnée un angle aussi petit qu'on veut.

Abaissons du point donné A sur la droite donnée BC, la perpendiculaire AB; prenons à volonté sur BC un point D (^g. 3)-, joignons AD, faisons DE = AD, et

Fig. 3.

menons AE. Dans le triangle rectangle ABD, désignons l'angle D par a. Dans le triangle isoscèle ADE, l'angle E

est plus petit que -a. En continuant la construction,

nous réduirons chaque fois à moins de la moitié de

Tangle précédent Tangle de la sécante avec BC. Cet angle s'abaissera donc au-dessous de toute limite.

Théorème. — Sur un plan à courbure négative, on peut y par un point pris hors d'une droite, mener une infinité de droites ne rencontrant pas la première et formant un faisceau continu.

Du point A) extérieur à la droite BG {fig* 4)5 j'abaisse

la perpendiculaire AB à cette droite, puis je mène les obliques AD et AE.

Soit Tî — a la somme des angles du triangle ABD et Tz — p celles du triangle ADE; dès lors la somme des angles du triangle ABE sera égale à ir — (a+ p). On voit donc que, si Ton éloigne E de B, la somme a + ^ ira en croissant et a fortiori ne pourra devenir infiniment petite. En même temps, en vertu du lemme, l'angle AEB ira en diminuant au delà de toute limite.

Ceci posé, élevons en A la perpendiculaire AFsur AB* Nous avons

ABE -f- BAE -+- AEB = tc — (a H- ^).

Tenant compte de ce que

ABE = BAF=-,

déduit

BAE +

AEB

BAF-

BAF -

BAE

-AEB =

EAF-

AEB

D'où il ressort que, quand E s'éloîgne indéûnimeut, EAF conserve une valeur finie (*).

On reiombe ainsi sur l'hypothèse fondamentale servant à caractériser les plans de Lobatchefsky, et nous pouvons désormais nous référer aux théorèmes de cette Géométrie sans nous astreindre à les démontrer.

Lignes, surfaces et espaces isogènes. — Ainsi qu^on peut le prévoir, on peut tracer sur un tel plan toutes les lignes isogènes de plus grande courbure que la droite de cet espace. Ces lignes se divisent en deux catégories bien tranchées, les lignes' à courbure imaginaire, au sens que nous avons indiqué page i3, et les lignes à courbure réelle. Celles-ci sont les cercles, et parmi eux le cercle de rayon infini qui sert de limite commune aux deux catégories et qu'on appelle Aoricycle. Les lignes à courbure imaginaire sont données par les équidistantes à la droite; nommées hypercycles, elles diffèrent infiniment peu de la droite quand elles en sont infiniment voisines et tendent vers Thoricycle quand elles s'en éloignent indéfiniment.

(') Les deux droites-limites qui séparent les droites ne rencontrant pus la droite donnée de celles qui la rencontrent lui sont tXiits parallèles.

GÉOMÉTRIE DES ESPACES A COUnBURE NÉGATIVE. 4'^

Les hypercycles jouissent d'une propriété qui leur est commune avec les petits cercles d'une sphère, ces équîdistantes d'un grand cercle : si l'on fait passer une droite par deux points quelconques d'un hypercycle, la droite normale à la première en son milieu est aussi normale à la droite dont Thypercycle est équidistant (voir p. "j et 8). En présence de cette propriété commune, certains géomètres, comme M. Barbarin (•), donnent aussi le nom à* hypercycles aux équidistantes des droites riemanniennes, mais nous ne saurions voir là qu'un abus de langage prêtant aux confusions les plus fâcheuses, ces dernières équidistantes étant des cercles, lignes auxquelles il convient de laisser leur nom, tandis que les hypercycles lobatchefskiens se distinguent nettement des cercles dont ils ne présentent pas la propriété caractéristique.

Dans un espace lobatchefskien à trois dimensions prennent place de même des surfaces isogènes ayant pour géodésiques des hypercycles, d^s horîcycles ou des cercles; on les appelle respectivement hypersphères, horisphèreSy sphères. On voit ici que le terme à' hyper sphère a un objet spécial à désigner et que, par suite, il ne convient pas de l'appliquer aux sphères de plus de deux dimensions, comme on le fait parfois.

Les propriétés des hypersphères sont identiquement les mêmes que celles du plan lobatchefskien, au retournement près : c'est que, en effet, ce plan n'est qu'une

(*) La Géométrie non-euclidienne, p. 36.

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/'; MM»Mi/jMorn» r|ii(i c«t r;»pac« isogéne à courbure nulle esl

IMstance de deux points dans les divers espaces. — Deux points donnés peuvent être reliés par une ligne îsogène de courbure quelconque, sauf par les cercles trop petits pour pouvoir passer par ces deux points à la fois, et Ton peut ainsi comparer les distances de ces deux points dans les divers espaces. Nous avons déjà donné (p. 33) la formule qui relie la distance 5 dans un espace de courbure positive à la distance euclidienne

c = 9. Jk sio ' , »

Dans un espace à courbure négative, la distance a' est reliée à c, distance suivant un horicycle, par la formule (*) :

*? = 2 i/X'i . sh — — n