V. — Théorème de Carnot

13. Quand une transversale, menée dans le plan d'un polygone ABC . . . [Jig. 9 ), rencontre ses côtés consécutifs en des points a 9 b, c t . . ., on a la relation

ak 6B eC

aB bC <?D ^ '

dans laquelle on observe la règle des signes ( 1 ).

Nous allons démontrer que, si le théorème est vrai pour un polygone de n côtés, il l'est pour un polygone d'un côté de plus. En effet, le théorème étant supposé vrai pour le polygone AB . . . E de n côtés, on a l'équation

ak 6B eE

aB bC ek

Formons un polygone d'un côté de plus, en remplaçant le côté EA par deux autres EF et EA. On a, dans le triangle AEF, coupé par la transversale,

ek e'E fF

eEVF'/A"* 1,

Cette équation, multipliée membre à membre par la précédente, donne la formule

ak bB /F

nB ê ftC"7A — lf

relative à un polygone de n -f- 1 côtés.

Donc, pour prouver que le théorème est général, il suffit de rappeler qu'il est vrai pour un triangle (2). Ce théorème est un cas particulier d'une proposition que nous verrons plus tard (427).