LOIS GÉNÉRALES DE LA PROPAGÀTIOX DE LA LUMIÈRE

tioDs. Ces équations sont donc les équations de condition qui doivent être satisfaites entre les différentes grandeurs énumérées^ si le mouvement vibratoire dans les ondes planes exprimé par Téquationl) ou les équations S) fait partie des mouvements possibles de Téther. Et si elles ne sont pas contradictoires^ et par conséquent si le mouvement est possible^ elles sont précisément celles d'où Ton déduira les relations mutuelles de toutes les valeurs dont nous parlons. Nous allons indiquer en quelques mots comment on résoudrait cette question d'une manière générale.

V I dans les trois équations de conditions pour la possibilité du mouvement dans les ondes planes^ conduit aux deux équations :

LA + RB -f QC RA -f MB -h PC QA -f PB -h NG A ~ B "" C

et celles-ci jointes à la relation connue A^ -|- B' -|- C' = 1, déterminent les trois cosinus A^ B^ C^ par conséquent la direction des vibrations^ aussitôt

que les quantités L R sont connues^ et elles donnent^ conune on le voit de

suite^ pour chacune des quantités A^ B^ C^ trois valeurs appartenant à trois directions perpendiculaires. Pour nous convaincre plus vite et obtenir en outre plus facilement une expression de la loi^ considérons l'ellipsoïde dont l'équation serait :

F) Lar' -l-My' +Nz' + 2Pyz + 2Qa:2-|-2Rxy = i.

Représentons les cosinus des angles qu'un de ses axes fait avec les axes coordonnés respectivement par A'^ B'^ C ; on sait que la géométrie analytique donne pour déterminer ces cosinus et par conséquent la direction de cet axe^ les deux équations suivantes :

LA' 4- RB> -I- QG^ RA' + MB' -f PC QA' + PB' +. NC A' "" B' ^ C '

auxquelles s'ajoute encore la relation connue A'= -|- B'* -j- C = 1. Ces équations ne diffèrent en rien de celles que nous avons obtenues plus haut

pour la détermination de la direction des vibrations de notre mouvement ; nous en concluons donc que la direction des vibrations rectilignes^ dans le cas où elles conviennent aux mouvements possibles de l'éther homogène^ doivent être parallèles à un des axes de l'ellipsoïde en question. M. Cauchy a appelé cet ellipsoïde ellipsoïde de polarisation, parce qu'il détermine la polarité des vibrations rectilignes. Les coefficients dans son équation sont fonction de la nature de l'éther, de la position du plan d'ondes E, et de la longueur d*onée >.. Dans un seul et même milieu^ la forme et la position de. cette sur-

DA>S LES MILIELX HOMOGÈNES^ DÉDUITES PAR l'aNALYSE. 171

face changent si la position du plan d'onde aussi bien que la longueur d'ondé viennent à changer. La même chose arrive si^ sans modifier ces deux dernières^ on passe d'un milieu dans un autre.

L'ellipsoïde de polarisation ne donne pas seulement les directions des vibra-^ tions correspondantes à un certain plan et à une certaine longueur d'onde^ il détermine en outre la vitesse de propagation de chacun des trois groupes de vibrations. Soit s, la valeur réciproque de Tun des trois demi-axes de Tellipsolde de polarisation^ on a :

2 = LA' + RB^ + QC> ^ RA' + MB^ + PC ' QA' + PB^ 4- NC

Si nous mettons ici successivement pour A'^ B'^ G'^ les trois groupes ternaires de valeurs^ comme elles correspondent à chaque axe^ nous aurons les carrés des trois réciproques des demi-axes. Mais d'un autre côté nous avons : /2 TT y LA + RB 4- QC RA + MB 4- PC QA -f PB + NG \> / • A B G

et maintenant comme pour les trois groupes possibles de vibrations on a : A =z A', B = B', et G = G', il en résulte :

d ou V = s .

2 n Ainsi en multipliant la valeur réciproque de Tun des trois demi-axes par

la quantité — , le produit est la vitesse de propagation des vibrations qui

sont parallèles à la direction de cet axe. Et ainsi se trouve résolue la dernière question que Ton puisse poser à la théorie d'une manière générale.

Il ne sera pas inutile de résumer de nouveau les résultats obtenus jusqu'à présent. On peut le faire de la manière suivante.

L'éther homogène permet vn mouvement qui consiste dans la propagation d'ondes planes à vibrations rectilignes, parallèles et ayant de très-petites amplitudes. Mais la direction de ces vibrations, dans un éther donné, pour un plan d'onde et une longueur d'onde également donnés, n'est nullement arbitraire : ces vibrations ne peuvent avoir lieu que suivant trois directions déterminées y perpendiculaires entre elles (fig. 103). Ces directions sœit parallèles aux axes de l'ellipsoïde de polarisation F, de telle manière qu'à un plan d'onde déterminé et à une certaine longueur d'onde correspondent trois groupes de vibrations, chacun se propage avec une vitesse propre et celle-ci se déduit aussi de l'ellipsoïde de polarisation. Pour obtenir la vitesse

I""2 I1ILIKI.X ISOraOrES. — loi DE LA DISrEHSIOX.

de piopagiUion des vifnatwis dont les directions totU paraiièles à un det

trois demi-axes 0«, OjS, Oy, de cette surface, oh muitiplie la valew réçi'

Fig. 103. prop/f du demi-iQXe par la iongua/r

d'ondes }l et ou divise le produit por

le nombre % x,

Av reste oous reaian)uenniE en<core qu'il n'y 4 pas seulement qu'vp seul des trois groupes de vibratipof subordonnas à un [dao d'onde et à une longueur d'oode donnés , qui puisse preqdre naissance, hea développemeuts prëcédeols roontrent au contraire d'3prËs lew liaison avec le; pi'jiu'lpes de dynamique, qu'il y a encore de fwsslble les mouremeBti résultant de la coc\islence de deui ou de tous ces groupes, avec quoi. en outre le rapport des amplitudes et des pbases des mouvements moléculaires peut être tout arbitraire. Enfin il n'y a pas de raison d'eiclure des cas possibles la coïncidence dans une même masse d'éther d'autant de mouvements qu'on voudra, lout à fait dilTérenls dans leurs attributs. Ces mouvements partiels, sans toutefois s'écarter des lois développées plus haut, se composent ensuite en un seul, comme nous l'avons vu pour les interférences que nous avons examinées duns la première partie.

I,a suite de cet ouvrage aura seulement pour objet de mettre d'accord avec l'expérience les données que nous avons acquises par la théorie. A cet tltel nous reviendrons d'abord aux lots de la propagation de la lumière daus k's milieu:i isotropes, puisque dans la première partie nous avons appris k les cuunaitre par l'expérience.

CBAPliftË 11.

Hllivnx iBoIropn. — Ii«l île la Dliiperatva,

Fresiiel uvnit déjà développé |>ar Panalysc les lui« foudameiitales de la Ibéurie dus ondulu^ons ; mais ses formules n'étaient qu'anirochées, eu égard aiiv phénomènes i-éeb et, comme le montra Poisson, elles donnaient pour ia

IULIKtX JSOTROPJiS. — LOI BK LA PISPERSION. n3

vitesse de propa^gation des rayons lumineux dans les juilieux ^iinplemeot ré« friog^nls une T^Içur indépeud^ole 4ç la durée d^s Yil)raUoos> par <M}aséqueAt de la couleur : la théorie de Fpe^oel lai^ait donc Iç pbéooipèixe de la disper^ sion saos e^p^ic^^o^, On profita de cette imperfection pour attaquer Texactitude de la théorie des ondulations^ mais M. Cauchy^ dans l'ouvrage que mm avons dté^ &t disparaître ceHe objection en s'appliquant à mettre le plus haut degré 4l^exaclilude dans ses calculs. Djc cette manière il donna non-seulement une ei(pUcatio.n générale de la dispersion^ mais il vérifia aussi ses formules par une comparaison scrupuleuse avec Texpérience. Sans nous étendre sur cette question aussi loin que M. Cauehy, nous reconnaîtrons cependant d'une manière suffisante Taccord de la théorie et des faits.

Le caractère des milieux isotropes consiste en ce qu'aucune direction ne s'y distiogju^ deç autres. Autour d'un point quelconque 6MLvant toutes les direetiions Tétfaer isotrope ^ constitué de la même manière^ ses molécules sont arrangées de la même façon et fiolUcitées par des forces égales. Il est évident que d'après cela Tellipsoide de polarisation aura ici une forme tout à fait symétrique autour de la normale au -plan d'ondes : il doit donc se transformer en un ellipsoïde de révolution, do»t Taxe de révolution est perpendiculaire au p)an d'^H^es. Tournons le plao d'ondes Ë autour de Torigine des coordonnées. La nouvelle surface de polarisation devra, il est vrai, prendre une position différente de sa position primitive, mais ses dimensions ne changent pas. Si nous traduisons ces données en expressions analytiques, nous arrivons, entre les forces d'élasticité et les coordonnées des molécules d'éther, aux équations des conditions qui représentent t'isotropisme de Féther. Mais nous renonçons ici à faire ces calculs et nous renvoyons au mémoire de Gauchy.

Des trois groupes de vibrations qui correspondent eg général à chaque plan d'onde, il y en a donc ainsi un qui est perpendiculaire à ce plan, tandis que les deux autres lui sont parallèles. Les vibrations du premier groupe, comme nous l'avons déjà montré dans la première partie, ne peuvent être perçues ; elles échappent au sens de la vue, dans le cas où elles existeraient réellement. Les deux autres groupes au contraire, qui sont parallèles au plan d'ondes, et par suite perpendiculaires à la direction de la propagation, sont de la même espèce tout à fait que celles que nous avons admises antérieurement dans la lumière polarisée en ligne droite, et nous allons nous en occuper d'une manière toute particulière.

Et d'abord, pour ce qui ' regarde les directions de ces vibrations, elles ne sont pas ici complètement déterminées. L^ellipsoïde de polarisation possède en effet, outre son axe de révolution^ une iuOnité d« diamètres qui jouissent des

propriétés d'un axe^ tels sont tous les diamètres du cercle équatorial. Nous |)OUYons adjoindre à Taxe de rotation deux de ces diamètres perpendiculaires entre eux^ comme axes de la surface. Il en résulte que dans Véther isotrope, la direction des vibrations parallèles au plan d'ondes est indéterminée, ou en d'autres termes que toutes les vibrations qui seront dans le plan d'ondes peuvent y exister, quelle que soit leur direction, et peuvent se pr(h pager d'après les lois connues. En outre^ tous les diamètres perpendiculaires à Taxe de rotation étant égaux^ ces vibrations transversales quelle que soit leur direction se propagent toujours avec la même vitesse et cette vitesse reste aussi la même, si la direction de la propagation ou la position du plan d'onde vient à changer. Nous allons déterminer cette vitesse.

Pour plus de simplicité nous supposerons le plan d'onde perpendiculaire i l'axe des x. Alors l'équation du plan E sera x = o et de l'équation de l'ellipsoïde de polarisation on déduit pour le demi-diamètre se confondant ayee l'axe de jz, c'est-à-dire^ pour le demi-diamèCre de l'équateur que nous représenterons par r.

Puis la relation entre la vitesse de propagation v et la longueur d'onde À (Toye2 page 171) s'exprime par Téquation

ou (voyez page 168)

Cette équation dgit renfermer la loi de la dispersion. Toutefois elle ne peut pas être employée sous cette forme. Il faut la transformer au moyen d'une formule approchée.

A la place de Sin. — Ar on peut poser :

(T^)-i:T(T^y + onr5:(T^)'-

alors :

Le second membre peut se développer facilement suivant les puissances

paires croissantes de — . Gomme coefficients de ces puissances nous obtien-

drons des sommes qui ne dépendent que de la nature même de Téther. Représentons pour abréger ces coefficients par Ao^ Â^^ il vient :

Il ne faut pas songer à déterminer directement cette formule qui lie la vitesse de propagation avec la longueur d'onde^ puisque^ ignorant complètement la nature de la fonction f dans les différents milieux^ nous ne sommes pas en état de calculer a priori les coefficients Ao etc. Dès lors M. Caucby pour en faire une vérification suffisante a employé une méthode indirecte très-détournée; en nous contentant d'un moindre degré d'approximation nous prendrons un moyen plus courte qui fut de même indiqué par M. Cauchy.

Comme la suite nous rapprendra, les coefficients de ces puissances de —

supérieurs à la deuxième^ sont extrêmement petits^ et on peut dès lors sans

erreur appréciable poser

v^ =s Ao 4- A2 -T-.

Soit V la vitesse de la lumière dans Tair et A la longueur d'onde d'une couleur particulière également dans l'air, alors X = A — - par suite :

«'=A. + A, V>pL.

On en déduit si, comme c'est ici le cas, on peut négliger les puissances

élevées de

Au A' V

âo et a^ étant des constantes qui dépendent de la nature du milieu et de la vitesse de la lumière dans l'air. Multiplions cette équation par la valeur V de cette dernière vitesse et posons pour abréger «o et «2 à la place de Vûo, Vû2, il vient : .

La valeur de — n'est rien autre chose que l'indice de réfraction de la

\1(^ niLlÉUt ISOTROPES. — LOI DE LA DISPERSION.

touteuî* pour son passage de Tair dans lé milieu dont il s'agit : reprêsenlonsl6 par fA :

Soient /ib, f*c fAh et Aj,, Ac Ah les valeurs particulières des indices de réfraction et des longueurs d'onde pour les rayons principaux B, G . . . . H, leur substitution daûs la formule trouvée donne les sept équations suivantes :

Ab^'

Dé Ces équations^ on déduit faciiémetit la suite de rapports :

Ag' Afi i i

'^^-^^^îv-v

Ac'^

et il est évident que^ si réciproquement cette suite de proportions^ étisté^ la relation entre pi et A est représentée par la formule donnée plus haut. -

Frauenhofer a déterminé avec une grande exactitude aussi bien les indices fA pour un dertaitl nombre de milteax isotropes, que fes longueur^ d'onde A. Nous les avons indiqués au supplément de la première partie. Le procédé employé par Frauenhofer comporte une exactitude plus grande que celui de Fresnel, dont nous avon^ aussi parlé. On' peut consulter pour plus de détails le mémoire intitulé : « Nouvelle modification de la lumière par l'influence réciproque et la diffraction des rayons lumineux, avec V examen des lois de cette modifications par J. Frauenhofer : Nouvelles astronomique» «te Schuraacker. i8i3, cahier 2.

Les valeurs de Ab, etc. qui y sont rapportées en prenant pour unité de longueur le pouce de Paris sonC reproduites dans le tableau suivant :

Les carrés réciproques de ces valeurs sont entre eux cotàme les termes de là série suivante :

155, i70, iU, 265, 3i2, 398, 475, el alors on a :

Prenons maintenant pour vérifier notre formule, par exemple, le flint glass

de Frauenhofer v? 13; les valeurs des indices pi], ptg. . . . f^b sont dans ce cas :

£t par suite on obtient :

Ph — f*g : ftg — fif : : f*c — f*b = i0777 : 12025 : 6236 : 6988

: 5355 : 1932, ou approximativement :

2) f*h — f*g : : f^; — fib = 80 : 89 : 46 : 52 : 40 : 14.

Comparant les suites de rapport 1) et 2), et considérant que les erreurs d'observation dans la détermination des longueurs d'ondes portent chaque fois sur les deux dernières décimales (1), il faut admettre que Taccord de la formule de M. Cauchy avec l'expérience est suffisamment satisfaisant.

Avant que M. Cauchy n'ait publié ses beaux travaux sur les lois de la dispersion, l'anglais Baden-Povirell avait cherché empiriquement une formule qui put représenter d'une manière suffisante les mesures de Frauenhofer, et il avait fait connaître les résultats de ses recherches dans plusieurs articles des Transactions philosophiques et du Philosophical magazine.

£n représentant par pi Tindice de réfraction, en passant de l'air dans un milieu donné pour la lumière dont la longueur d'onde est A, et par C et D deux constantes qui dépendent de la nature même du milieu, la relation entre 5* et A s'exprime avec assez d'exactitude, comme Baden-Powell l'a trouvé, par la formule :

, Sin. il

Cette formule, du reste, comme celle que nous avons vérifiée plus haut,

n'est qu'une approximation de la formule plus générale de M. Cauchy. A la condition, ce (|ui est permis, de ne conserver dans cette dernière que les deux premiers termes, la formule de Powell peut aussi être regardée comme l'expression de la loi de la dispersion. En effet si x est assez petit pour qu'on puisse négliger ses puissances supérieures à la seconde, il est permis d'écrire :

(I) Cela se voit dans les difTérentes séries d'observations que Frauenhofer rapporte dans le mémoire cité.

VILIEtX IS0TR0PX3. — LOI DR LA DISPERSIOTT.

i-x^= Sin. (or V^Ts)

Mais rexpression de — dans la formule approchée de M. Cauchy peut ausssi se ramener à la forme i — x^. On a en effet :

D'après ce qui précède on a donc :

•t cette formule se confond avec celle de PoYell^ si on remplace «, par C et

^ 3 i^L par D.

Le rôle important que la dispersion joue dans les phénomènes optiques^ justifie pourquoi nous donnons la yérification complète de la dernière formule comme l'a fait Baden-Powell dans ses Recherches pour établir une théorie de la dispersion delà lumière (Ann. de Pogg. XXXYII). Les valeurs de A prises pour point de départ diffèrent un peu de celles rapportées à la page i76 : leurs quatres derniers chiffres sont : 2541^ 2422^ Si 75^ 4945^ 1794^ 1587^ 1464. Les 6 derniers nombres se trouvent dans un mémoire que Frauenhofer a lu en juin i823 à l'Académie de Munich^ mais ne sont pas dans la traduction citée plus haut.

VALEURS

RAYONS

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PRISES POUR

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KILIBUX ISOTROPES. — LOI BB LA DISPERSION.

VALEURS

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