SYSTÈMES CRISTALLINS

tique au premier, mais tourné par rapport à celui-ci de 90° autour de Ijaxe principal. Maintenaot les deux axes secondaires étant de même valeur^ ces deux octaèdres le sont aussi^ et peuvent se produire simultanément; leurs faces en général prennent le même développement et sont regardées comme les faces d^une seule et même forme cristalline^ que l'on nomme une double

Fig. 126.

pyramide symétrique à huit fores : elle est représentée figure i26.

Parmi les prismes du cristal tétragonal^ ceux à axes horizontaux se groupent en couples de même valeur. En effets il est évident que les deux prismes (o, b, C) et (b, 0, C) ne se distinguent pas Tun de l'autre ; leurs faces peuvent dès lors s'unir pour former une forme cristalline : mais celle-ci n'est autre chose qu^un octaèdre tétragonal; dont Taxe principale est sur Taxe des Zy dont les axes secondaires sont inclinées de 45® sur Taxe des x et sur celui des y, de sorte que les arêtes horizontales sont perpendiculaires à ces derniers axes (figure 127).

Les prismes dont Faxe se confond avec Taxe principal^ peuvent se partager suivant que : 1° les coefficients du symbole différents de zéro sont égaux entre eux ou que, 2** cela n'a pas lieu. Le prisme du premier cas, représenté par le symbole (1, 1, 0) a pour section un carré dont les diagonales sont parallèles aux axes secondaires (figure 128).

-, Les autres prismes (û, b, o) se groupent

par couples de même valeur, par exemple (a> b, o) et (b, a, o) dont la réunion forme un prisme à huit pans irrégulier ou symétrique (figure

Parmi les paires de faces des cristaux téiragonaux, celles qui sont perpendiculaires aux axes secondaires (0, 1, 1) et (1, 0, 1) sont dans les mêmes relations par rapport au cristal ; elles se combinent ensemble en un prisme à base carrée dont Taxe est Taxe principal, et dont les pans sont perpendiculaires aux axes secondaires (figure 130).

La troisième paire de facep (1, i, 0) perpendiculaire à Taxe principal,

Fig. i%1.

tifa SISiThVES CStgTALI.tNK.

est unii|ue. On peut lu icgiirder <:uiniiic la Lase des pritnics tcrtir-ain. Fig. 13S. Fig. 130.

3) Les cristaux isocliniçiies ou rhombiques ont trois aies perpendirabnre» entre eux et ta fornie la plus générale du rapport fondamental; l«s trois termes y sont tout à fait inégaux. Puisque d'après cela chatiueau da crin»! ' se présente indépeodaot des autres, alors aussi chaque octaèdre, prisme, ou paire de faces possible est une forme cristalline indépendante. Nous l'avons vu page 185 dans l'exemple de la topaie.

Les cristaux cubiques, tétragonaux et isocliniques sont les seuls qu'on puisse déduire d'un système d'axes rectangulaires. Les cristaux avec tnùs axes inclinés et inégaux, auxquels nous passons maiuteuuit, se subdivisent en formes . mtmocliniques ou trieliniqua suivant qu'un des axes est ou n'e^ pas perpendiculaire sur les deux autres. On ne considère pas le troisième cm imaginable où seulement deux axes seraient perpendiculùres entre eux, parce qu'on n'est pas certain de l'avoir rencontré dans la nature.

i) Dans les formes monocliniqms nous choiùssons comme axe principal celui qui est perpendiculaire sur les deux antres. Cet axe devra être nécessairement un axe de symétrie et le plan des deux autres un pfan de symétrie pour toutes les formes. Parmi celles-ci nous con^dèrerons de nouiean l'octaëdre. I^ figure 131 en représente an dont l'axe principal est dirigé suivant l'axe des y : soit son symbole [a, b, Cf. Les faces de cet octaëdre ne sont évidemment pas dans le même rapport relativement aii cristal. La position de la face qui, par exemple, est dans l'octant (-)- X -|- Y + Z) est toute autre que celle de la face de l'octant [ X -f Y -f Z). Tandis que ces mentes faces, si les axes étaient {icrpendiculaires entre eux, devraient être

SÏSTivJIKS r.UISTALLINS. 207

ntganlCvs (XHiime de même valeur. Mais la première est iam )a même reLtion par rapport au syst^e d'axes, non-seulement avec sa parallèle Fig. iS i. ^^ l'oclanl (— X — Y — Z),

mais avec la face de l'oclani ( X + Y — 2) et avec sa paraliae de l'octant (+ it — Y -\- Z). De mteie à la face de IVtant ( X + Y -f Z) s'adJMgDeat comme étant de même valeur celles des «étants (- X - Y -{- Z), (+ X — Y— ZJ,(+X + Y— Z).

«Ainsi les huit faces conèprises daiu le symbole (0, b, C) se partagent eu deui groupes de quatre faces de même valeur, et déjà un pareil groupe doit être regardé comme limitant par lui-même une Tonne cristalline. Mais un de ces groupes, comprenant les faces (-{- d + b -f- C), {^fi — b -f- C) ( - a — b — C) et { — a -|- b — c) forme un prisme rbombique, dont l'aie placé dans le plan de symétrie XOZ, est parallèle à l'arête K, et dont une diagonale tombe sur l'aie des y. Le second groupe des faces ( — a -)- b -)- t) { a — b + () (+ a — b — C) (+ a + b — C) limite également un priMne rliombique dont une section principale est dans le plan de symétrie : l'axe de ce prisme est parallèle à l'arête K'. Pour distinguer ces deux prismes pir le symbole, nous devons y introduire les ^gnes et nous obtenons pour une face du premier prisme, et aussi pour lui-même, le symbole {-|- a -f b -f- 1) ou simplement [a, b, t) el pour le second prisme i,-}- a -|- b — C)ou ifl, b, - C)-

Parmi les prismes divers, en lesquels d'après ue qui précède se divisent les octaèdres mouocliniques, aucun au point de vue morphol<%ique ne se distingue uEkturellement de l'aulre, et il ea résulte que le cfaotx des axes cristallins n'est limité dans le plan de symétrie qu'eu tant qu'il faut prendre pour eux les axes de deux des prismes en question, muisque le choix de ces prismes est lui-même tout à fait arbitraire.

Aux formes possibles du système monocliaique, appartiennent en outre des prismes dont l'axe est perpendiculaire au plan de symétrie. Un d'entre eux sera représenté par le symbole ((X, 0, t) il est dessiné figure 132. Parmi ses faces il y en a évidemment une paire (-fa, + () et ( — a, — t) qui n'est pas dans le même rapport avec un système d'axes quelconques que

208 svstKmes clllSTALLl^«;.

l'autre pairfi ( — û, 0, -)- C) et (+ û, 0, — C)et(iè9 lors ces priâmes doivent t'trc fiarlagé^ en paires île f^es jiarallèles, de mAme valeiir, i|ui se distinguent l'une de l'antre [lar rintrodiiclion deâ signes.

Fig. iSS.

Aun paires de faces dont uous venons de parler appartiennent aussi celles qui, par le choix d'un système d'aies déterminés sei'ont représentées gtar le symbole (1,0, 0) et (0, 0, 1 ) ; on n'a pas dès lors à les con^dérer en parlinilier et il ne reste plus à mentionner que la paire de faces (1 , 0, 1). Elle esl purallèle au plan de symétrie et existe seule.

D'après ce qui précède, les limites des formes cristallines, ajant uue eiîstence propre dans le système monoclinique, consistent 1' en prismes rlionibiques dont une section principale coïncide avec le plan de symétrie ; 2' en paires de faces parallèles à l'axe de symétde; 3° en une paire île faces perpendiculaires à cet aie.

ft) Si, comme c'est le cas dans le système tricUnique, les (rois axis cristalline sont inclinés l'un sur l'autre, et ont une importance dilTéienle jiar rapport à la surface limitante, alors il n'y a plus que des paires de faces uniques qui puissent être prises pour limites cristalliues propres. En effet, un se convainc facilement que, parmi les faces d'un octaèdre à diagonales tricliniqiies, on ne peut regarder comme de même valeur que celles qui sont dans lus octants diamétralement opposés et qui sont parallèles. A la place de l'oclatidre ou a (lès lors l'ensemble de quatre paires dilTérentes entre elles de faces de raêiiiR valeur. De la même manière les prismes se partagent au^i en paires de faces.

6) Ayant trois axes de même valeur et le rapport fondamental le pliw

SYSTÈMES CniSTALMNS. 200

EHDple, les cristaux hexagonaux se rapprochent par là des cristaux cubiques, de même que^ d'autre part, ils se rapprochent aussi du système tétragonal, en ce que dans ces cristaux héiiagooaux une direction seibblablemeut placée par rapport aui axes propres peut s'étendre et prendre le caraclÈre d'un axe principal : et nous donnerons ce nom à la direcLtoa qui forme des angles fgnux avec les axes cristallins.

Parmi les angles triédres que forment entre eux les trois axes égalemniit inclinés +X — X, + Y — Y, + 7— Z (figure 133), il y en a deux, savoir ceux limités par les arêtes + X, -|- Y, + Z et — X, — Y, — Z, qui se distinguent par ce que les angles dièdres y sont

'Fig. i$3.

égaux. 11 en résulta donc que les faces qui seront représentées par l'équation :

-|- 0^' + by + C3 = 0.

ou par le synJwle {<X, b, (), ne doivent pas Être regardées comme de mSme valeur, mais auront, suivant 1«b sigues des coefficients, des valeurs toutes dilTérentes. En etTet dé{riaçons une de ces faces hors de l'origine, alors suivant ses coefTicients elle sera dans l'un ou l'autre octant, c'est-à-dire qu'elle coupera l'un ou l'autre ensemble des trois demi-axes formant un octant. Pour chercher les faces de même valeur, et disposer les surfaces limites parlicu- ' " lières, il faut donc avoir égard aux

signes des coefTicients, ce qui n'éUiil pas nécessaire dans les trislaux à axes rectangulaires.

Conaidérous d'abord les faces dont les coefiicients ont le même signe, cl qui par suite peuvent se représenter par des coefTicients positifs. Elles tombent toutes dans les deux octants représentés plus haut, de telle manière que chaque face d'un octant a sa parallèle dans l'autre. Nous les partagerons en 1* faces ayant trois coefBcients dilTérenls; S° faces ayant deux coefGcienls égaux; 3* la paire de faces dont tous les coefûcients sont éyau». La dernière (I, 1, 1), est également inclinée sur les sections principales, et est par suite perpendiculaire à l'axe prindpat.

Parmi les faces à deux coefficients égaux, trois ayant la même valeur »e groupent en une seule fonne cristalline propre, ainn, par exemple, la

2IU SySjktlSS ÇB,1STALLI?iK^

face (1 , 2, 2), est d^|Ç>êi|i.p valeur, iï>!,e les faees {% ^i ^.^) j^ {%j 8^ 1),,. Un pareil groupe i)^, faç^s ^limite un rAombçiè^dre «Jonf la dJapopa1^,pTJi|),^j)>aljÇ (la ligne qui joint les, gO|i|i^oi^|a i^^ an^es Irièd^s à Taces égales ou les sommela), lombe sur l'axe principal. Si le^^tlgu^, fperÇicients d'une facË-du i^omttoèdre tonl plus grands que le trui$iâni^j.J^^ ^^1^^^ du sommet du rhomboèdre renruiitrcnt tes aies du cristal (H^i^^^^^'ii'io

A fAli d'un rhomboèdre dft^f^^i^c^gg au sommet sont ainsi disposées,

sVii pince un antre pour lequcl^^£j»^f^çnls égaux seraie^it plus petits que

Fia. 134. X t Je ^":»iyème ; il est lounj|^^^^60*. par

■ ijîKiT^litK'^' au premier,.,i|gjel^|gi|^que

. odHlWÎ^'S- "5). Au .p«f^i^^yi({j^<k ahiiÊ^S ^'^ groupes T l'autre se trotiie ta , Mn^i? A? ^^'^ ^'' '> ')' ^'"''■^ ËBiite

I ,,i,l^'\e> à Ht aie du cristal, tandis que la

^ , , JiilHijIe dn secood groupe ek un rfaoat-

. . biièdre d«nl tes ?acrrsgiirp«n)^i*wn

' plans lies ascsdu rnjl«l.

Les ra^¥« à fK^fticieots mrgxnx se groupeol par âi d'é^de ntowr. Un

pareil ^«ipê e«t terme, («r «veai^e, de (1, i, 31. fi.

AVtf. (,t,V t», S.H. f«. 3, «, i3;V, *»:"

ttai^Tt (flpire 136). Au fans da «ffKtieMieot auas fHks qn mI pimr (a. fc, 0}, ta, 0. t-^. ,0- û. b , .>, a, 0), tb, 0, \À. t, 01 ; elles !»nt {oi^Mef aux vus du

!>nN 4Mts HB ■njSK' i^^nl toi fis le tnikl, m 4mI i» «i^itMT fa dtffrrace twirt tn y / mlk i i ttmsfvmém étf amàts di àfat *t^^ M k nwMie érmt Tuide «si le affKaait îés prtwins. r>r «wfie «ik iMbH t~^3 — T,

f*« MHS ^MIhmi * rartkr O -f £. Dis Im MMB eici: I* VsImvs Abb lH^B|as les

SÏSTÈJCtS'tidSTALLlSS. 2H

Ml^ui; 2* eï fe^'fecJspdur'lèAiftte 'éelain'a (JàBÏteuJ'Panni'lesfaL-es de lJÎ'pi'eirii8Hâ"^)[(efe^;'iJ6il(Airt elfëS^'afWeSï«inttyiii;-îtîl'i'^kieiiW iibMirues des

cellé^i'aîWnW i^^httiëifé ^^e Valeur

"'"(4^"n'^'fel"^'-5);"iif ■■s;'f-f "2, - ly,

"ifif "2^1+ 2), ( i, ^î2, 4\21.

'"■ 'SW'tHireilIes Ifcon tiwilim"«mfa>w- "'SiiMj^l-'Les arêtes du smamet de ce der- ' trier' rfebcoQtreDt les axes du cristal si lir ^'atfrtjf'àbsolue des coefficients égaui est la tUxis gf aude ; daos le cas contraire les arêtes m 'âbtnmet coupent les bissectrices des angles des axes. Au passage de ces déil^ groupes de rbomboèdre, on a la ferme (— 1, — l,-}-2), c'est le /)rt'3meAtaîaj/(7n(l/ régulier, ce dont on peut s'asïufer de la manière suivanle. L'équation y'hhe face de la forme en question, en '' féîsiipposant menée par l'origine, sera :

)l, ^iiMaisi.JVp principal est. r^prcsenté F, f^r (f s^à]iiations : ! ' \

■ 9ii(^,; ^■\,'.x = y = z, - ■•- '' ^^lisqu'il fait des angles égaui avec les ' ' lilànstoordobués. Les coordonnées d'un "' point de Kaxe principal satisfont donc - évidemment la première équation. La ■■'|kié-(— ■),■— l, + 2) est donc pa- ' ■■' Allète à l'aie principal. La même chose a lieu pour" les cinq autres faces de même Valeur :

( 1, t,— \), (2,.- \,~i), {f, 1, - 2), (I, - 2, 1), (— 2, i, i). Lésais f accs' «ont pardlèles deux i deuï {{—\, — i,2) el{l, i, — 2) etc.], et il est évident que ces pures de faces forment entre elles des angles égaux. Portons alors les faces à la même distance de l'ori^ne et nous obtiendrons un prisme régulier à six pans, dont les arêtes sont parallèles à l'axe princi|tnl.

IS SV§Tfc:ilE>i CRISTALLI.NS.

Parmi les faces k coefticiente ioL^ux, si on les suppose Iriinsportées à n\^\m, sh àe. mùnic valeur s'assemblent en une forme cristalline pnqire.

.Fig. 138.

A la face ( — i, — 2, i), par exemple, s'adjoignent ( — 1, i, — i), H, — i, — 2), (— 2, — 1, i\ (4, — 2, — t), (— % 4, — 1). En général ces faces limitent un tealémtèdre (Ogure 138). Celui-ci, dans le cas particulier où 11 somme algébrique de ses cocflicienti est nulle, se transforme en un frismt irrégtdier à douze facfs (figure 139) : ear alors ses faces sont parallèles à l'aie principal. Et ce prisme irregulier dégénère en un pritme régulier à sic faces (figure 140), si dans son s>inbole un des coefûcients affectés du même ^goe disparaît, puisqu'alors le symbole peut toujours être ramené à la fonce ( — I, -)- 1,0). Le prisme tii-ui^onnl que l'on obtient dnst diff^ de celui dont «i a parlé plus haut, en c^> que tes iToh plans de ses paires de faces passant par l'aie du cristal parurent par inuilié les angles des plans coordoonés. Les deni prismes sont ^ig. i40.

ÉTUDE DB CHAQIE STStÈMK CRISTALLm. 2I3

d'après cela tournés de 60'* Tuu par rapport à Tautre. Par rapport au rhomboèdre dont les arêtes au sommet seraient prises pour axes ^u cristal, le premier prisme coupe les angles du contour, le second les arêtes du contour.