DE SES PLANS TANGENTS
Nous regardons ordinairement une surface comme le lieu^ comme Tensemble de tous ses points^ et nous la représentons dès lors par une équation eiprimant la relation qui existe entre les trois coordonnées ordinaires de chacun de ses points et certaines quantités constantes. Biais il est éTÎdent qu'on peut^ a?ec tout autant d'exactitude, considérer la surface comme l'enveloppe de ses plans tangents et^ en partant de là^ on peut la représenter par une équation entre les coordonnées paramétriques de ses plans tangents et des paramètres constants. Par coordonnées paramétriques d'un plan nous entendons les valeurs réciproques des segments que le plan détermine sur les trois axes coordonnés, en ayant égard aux signes suivant que le segment est du côté de la moitié positive ou de la mwtié n^ative de Taxe. Par ce moyen un plan sera déterminé d'une manière tout aussi exacte, toute aussi complète qu'un point l'est par ses coordonnées. Or les équations de la page 261 des vitesses des ondes planes, nous conduisent très-facilement à 'l'équation de la surface de Tonde en coordonnées paramétriques, et l'équation ainsi obtenue nous fait connaître, sans aller plus loin, des propriétés remarquables de cette surface.
Soient 7.^7., 1^ angles que la normale à un plan fait avec les axes optiques, r sa longueur à partir de l'origine de notre système de coordonnées. Posons
pour abréger — — — = « et = t. D'après la construction géné-
raie de la surface de l'onde et les équations de la page 261, le plan déterminé par les quantités r, ^^ et 7^, sera un plan tangent à la surface de l'onde, si Ton a :
r' =s-\-t Cos. (y, -f fi) = r«2, et aussi
r- =s -\- 1 Cos*. (fi — f .) = V3'
En outre il est clair, que de tous les plans qui sont perpendiculaires à la direction complètement déterminée par 7 1 et ^j, il n'y a de tangents à la surface de l'onde que les quatre, mais aussi tous les quatre, pour lesquels on a r- = Va% r^ = t7^2 ^u r = + r«, r =r — ««, r = -f- v^, r = — v^.
D'après cela, l'équation de la surface de l'onde sera représentée par l'équation suivante :
(r- — Va ) (r- — v^ = 0, ou :
SURFACE DE l'oNDE DES CRISTAUX A DEUX AXES. 273
[r^ 5 — ^ Cos. (y, + f,)] [r'^8 — t Cos. (y, — y,)] = 0, et il ne reste plus^ pour avoir l'équation en coordonnées paramétriques^ qu'à remplacer r^^f» et 7, ^^ fonction de celles-ci. Nous y arriverons par le calcul suivant.
Soit : ux + vy + viz = 1,
l'équation en coordonnées ordinaires du plan tangent déterminé par r^ ^, et ^2 ; SLlors u^ v^ w sont les coordonnées paramétriques du plan^ et a, p, y étant les angles de sa normale avec les axes coordonnés^ on a :
r' = — -— , Cos. a = ur, Cos. B = \r, Cos. 7 = wr.
u^ 4" Y + w D'après la formule connue du cosinus de l'angle de deux droites^ on a : Cos. f^ = Cos. X. Cos a + Cos. Z Cos. 7 = r (u Cos. X + w Cos. Z), Cos. y 2 = — Cos. X Cos. a -|- Cos. Z Cos. 7 = r ( — u Cos. X -J- w Cos. Z). Avant de remplacer ces valeurs dans l'équation trouvée pour la surface de l'onde^ transformons-la d'abord en celle-ci :
Mais :
Va» + Vg» — 2 s 4" 2 ^ Cos y, Cos ^3 et tj«»t;^^=:5'-f /^(Cos.'y, Cos.'y,— Sin.'î.,Sin.^y2) + 2s^Cos.y, Cos. y,
=z8^ —t'^t^ (Cos.'y, + CoS.^yJ -\-^St Cos. <f^ CoS^j.
Remplaçons dans cette expression les valeurs trouvées de Cos. 7,^ Cos. 71^ on obtient d'abord :
t;„» -|- t;^2 r= 2 5 -f 2 ^ rî (w' Cos.' Z — u2 C0S.2 X) ou puisque
t;«2 4. y^2 = 2 r' [u' (s — t Cos.' X) -j.- v' s + wMs + ^ Cos.' Z)] = r' [u' (6' -f c') + v' (fl' + c') + w' (a' + b^)] = r' A.
U vient en outre :
Va' t;.' = s' — ^' -f 2 ^V (u' Cos.' X + w' Cos.^ Z) -f 2 s^r» (w' Cos.' Z — u' Cos.' X),
ou bien, à cause de la relation r' (u» -f- v' + ^^) -^^ *^
v«« t;^« = r' (u' [s' — ^' + 2 / (^ — s) Cos.' X] + v' (s' ^ ^)
4. w' [s' — ^' -f 2f (^ -f- s) Cos.' Z]) = r' (u' *' c' -I- v' a' c' + w' a' 6») = r' B.
L'équation de la surface de l'onde est donc enfin
r^ — Ar' + B = 0,
ou, en remplaçant A, B, r par les expressions qu'ils représentent :
S74 SURFACS DB L'oNDB DES CRISTAUX ▲ DEUX ÀXBSv
B (u' + v^ + iw^) — A + 1 =ï
— [u' (6' + c') + V* (a' 4- c') + w^ (a' + 6*)] + 1 =s 0. Nous pouvons lui donner une autre forme remarquable. Puisque r' (u' + v' -f ^^) = ^f *^ ^^^"^^ •
Et ce résultat peut s'écrire : «
ou aussi, si nous représentons par />' l'expression — - = u^ -j- ^' + ^'>
1 — aV' ^ — ^^/>' i — c V Sections principales. — Xes trois groupes de plans tangents qui touchent la surface de Tonde sur les sections principales sont, chacun, parallèles à un des axes coordonnés. Pour les plans tangents sur la section principale xz, par exemple, on aura v = : la combinaison de cette équation avec celle de la surface de Tonde donne, pour les coordonnées u et w de ces plans, la relation :
Cette équation prise en elle-même donne une courbe située dans le plan zx» Pour les coordonnées de ses tangentes on a les mêmes relations que pour les coordonnées des plans tangents correspondants à la section principale de la surface de Tonde. D'après cela, cette dernière équation, considérée comme équation d'une courbe plane, représente la section principale X2, et ses tangentes sont les intersections des plans tangents avec le plan coordonné xz. Mais cette équation peut aussi s'écrire :
La section principale xz se partage donc en deut oourbes distinctes dont les équations sont les suivantes :
(u' 4- w') 6» — 1 = 0- u' c^+ w^ û' — I ce 0.
Ce sont des courbes du second ordre; la première est un cercle de ra^foin ^, décrit de Torigine conmie centre; la seconde est une ellipse dont le grand axe 2 c est sur Tax« des x et le petit 3 a sur Taxe des z (figura 171).
StJlirACB DB l'oNDB bBS CRISTAUX A DEUX AXKSi 278-
Posons w ::=: 0^ nous aufoDs pOuf k sèctioû principale xy :
Cette équation se partage en :
(u'^ + T'Jc' — 1 = et u^é^ + T^a^ — I c=iO,,
qui représentent le cercle et l'ellipse de la figure 172. Enfin l'équation de la section yz, pour laquelle u ^ Ô est v
[y\ + w^] [v^ a" c^ + w' a' fr'] — [v' (a^ + c') + w^ (a' + *^)] + 1 = 0,,
et se partage en :
(v*+w^) «2 — 1 = et v^c^ +w'*' — 1=0.
Ces dernières donnent le cercle et l'ellipse de la figure 173.
Plans tangents singuliers de la surface de l'onde. Ç, *?, Ç étant des coordonnées variables, soit qu^on les considère comme coordonnées paraméttîques ou comme coordonnées ordinaires,
sera Téquation d'une surface. Soient en outre Ç', >?', ç' des valeurs de ces Coordonnées satisfaisant à l'équation, et par conséquent appartenant à la surfece. Formons l'équation î
* Celle-ci représente évidemment, si ç, >? et ç sont les coordonnées d'un point, tm plan tangent à la surface au point ($', >?', ;/). Les coordonnées paramétriques de ce plan, si nous représentons par N l'expression :
seront dès lors :
df df
df
dV rfi'
di<
Mais d'un autre côté, si Ç, v», Ç sont des coordonnées paramétriques, cette même équation représente le point de contact de la surface et du plan tan« geût (Ç', ïj', ç'), et les coordonnées ordinaires de ce point de contact sont :
